高考数学二轮复习简易通 倒数第9天 理 新人教A版

倒数第9天 函数与导数
[保温特训] (时间：45分钟)
1．函数f (x )＝
1
ln
x ＋1
＋4－x 2
的定义域为
( )．
A ．[－2,0)∪(0,2]
B ．(－1,0)∪(0,2]
C ．[－2,2]
D ．(－1,2]
解析 由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
ln x ＋1≠0，x ＋1>0，
4－x 2≥0，解得x ∈(－1,0)∪(0,2]．
答案 B
2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，
g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1，x 为有理数，
0，x 为无理数，
则f (g (π))的值为
( )．
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．π 解析 g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0. 答案 B
3．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x
＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝
( )．
A ．2 B.154 C.174
D ．a 2
解析 依题意有f (－2)＋g (－2)＝－f (2)＋g (2)＝a －2
－a 2
＋2， ① 又f (2)＋g (2)＝a 2
－a －2
＋2，
②
∴①＋②得：2g (2)＝2a ＝4，∴a ＝2，②－①得：2f (2)＝2(a 2－a －2
)，∴f (2)＝4－14＝
154. 答案 B
4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝ ( )．
A ．－12
B ．－14 C.14 D.12
解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝ －2×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－1
2.
答案 A
5．设a ＝0.50.5
，b ＝0.30.5
，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是
( )．
A ．a >b >c
B ．a <b <c
C ．b <a <c
D ．a <c <b
解析 根据幂函数y ＝x 0.5
的单调性，可得0.30.5
<0.50.5
<10.5
＝1，即b <a <1，根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，所以b <a <c . 答案 C
6．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是
( )．
解析 只有零点两侧的函数值符号相反且在零点附近连续时才可用二分法． 答案 C
7．函数y ＝x e x
在点(1，e)处的切线方程为
( )．
A ．y ＝e x
B ．y ＝x －1＋e
C ．y ＝－2e x ＋3e
D ．y ＝2e x －e
解析 y ′＝e x
＋x e x
，∴y ′|x ＝1＝1＝e ＋e ＝2e ，所以在点(1，e)处的切线方程为：y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e. 答案 D
8．已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝
( )．
A ．－e
B ．－1
C ．1
D ．e
解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x
，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.
答案 B
9．由直线x ＝－π3，x ＝π
3
，y ＝0与曲线y ＝cos x 围成的封闭图形的面积为
( )．
A.12 B ．1 C.3
2
D. 3 解析 ∫π3－π
3
cos x d x ＝sin x
⎪⎪⎪⎪
π3
－π3
＝
32－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32＝ 3. 答案 D
10．函数f(x)的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为
( )．
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
解析 由f ′(x )>2转化为f ′(x )－2>0，构造函数F (x )＝f (x )－2x ，得F (x )在R 上是增函数，又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )>2x ＋4，即F (x )>4＝F (－1)，所以x >－1. 答案 B
11．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x
)(x ∈R )是偶函数，则实数a ＝________.
解析 g (x )＝e x ＋a e －x
为奇函数，由g (0)＝0得a ＝－1. 答案 －1 12．已知函数f (x )＝e |x －a |
(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范
围是________．
解析 f (x )＝e |x －a |
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x －a
，x ≥a ，e －x ＋a
，x <a ，当x ≥a 时函数递增，而已知函数f (x )在区间[1，
＋∞)上是增函数，则[1，＋∞)⊂[a ，＋∞)，∴a ≤1. 答案 (－∞，1]
13．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4x －4，x ≤1，
x 2
－4x ＋3，x >1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是
________．
解析 作图，观察函数f (x )与g (x )的交点个数是3个． 答案 3
14．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2
在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.
解析 f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，当x ＝1时，函数取得极值10，得
⎩⎪⎨⎪⎧
f ′1＝3＋2a ＋b ＝0，f 1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝－11
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝3.
当a ＝－3，b ＝3时，
f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题
意舍去．而a ＝4，b ＝－11满足f ′(x )在x ＝1两侧异号，故a ＋b ＝－7. 答案 －7
15．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3
＋ax 2
－x ＋2.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )<0，得0<x <1e ，所以f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .令f ′(x )>0得x >1e ，所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.
(2)由题意得：2x ln x ≤3x 2
＋2ax －1＋2，即2x ln x ≤3x 2
＋2ax ＋1， 又x ∈(0，＋∞)，∴a ≥ln x －32x －1
2x
.
设h (x )＝ln x －32x －12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－x －13x ＋1
2x 2
. 令h ′(x )＝0得x ＝1或－1
3
(舍)，
当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0 ，所以当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2，所以a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2，＋∞)．
[知识排查]
1．求解与函数有关的问题应注意定义域优先的原则．
2．判断函数奇偶性时，注意检验函数定义域是否关于原点对称．
3．求函数单调区间时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．
4．三个二次的关系和应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值，注意到对二次项的系数和对称轴位置的讨论了吗？
5．函数图象的平移、方程的平移以及点的平移易混，应特别注意：
(1)函数图象的平移为“左＋右－，上＋下－”； (2)方程表示图形的平移为“左＋右－，上－下＋”． 6．以下结论你记住了吗？
(1)如果函数f (x )满足f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )的图象关于x ＝a 对称．
(2)如果函数f(x)满足f(x－a)＝f(x－b)，那么函数f(x)为周期函数，周期T＝|a－b|. 7．常见函数的求导公式及和、差、积、商的求导法则及复合函数的求导法则你都记熟了吗？8．“函数在极值点处的导数为0”是否会灵活运用？
9．定积分的几何意义是什么？能熟练地进行定积分的计算吗？。