中考数学复习同步检测(等腰三角形、直角三角形)

中考数学复习同步检测（19）（等腰三角形、直角三角形）
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一、等腰三角形
⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪
⎩腰与底边不等
等腰三角形三角形按边分类等边三角形不等边三角形
⎧⎨⎩判定等腰三角形性质 ⎧⎨⎩判定等边三角形性质 二、直角三角形
⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩锐角三角形斜三角形三角形按角分类钝角三角形直角三角形 301122
ab ch ⎧
⎪⎪⎪⎪⎨
⎪︒⎪
⎪=⎪⎩两锐角互余三边：勾股定理及其逆定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半含角的直角三角形 等腰直角三角形
一、选择题
1.【05绵阳】 如图1，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD =BC . 将此三角形纸
片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
（2题图） （5题图）
2.【05杭州】如图,在等腰Rt ABC 中,AC=BC,以斜边AB 为一边作等边ABD ,使点C,D 在AB 的同
侧;再以CD 为一边作等边CDE ,使点C,E 落在AD 的异侧.若AE=1,则CD 的长为 （ ）
(A)31- (B)
312- (C)62- (D)62
2
- 3.【05临沂课改】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。

，则顶角的度数为 ( )
(A)60︒． (B)120︒． (C)60︒或150︒． (D)60︒或120︒
5.【05湘潭】如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45º，如果梯子底端O 固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60º，则此保管室的宽度AB 为 ( )
图1
A
．52
(
2
+1)米 B ．52
(
3
+
2
)米 C ．3
2
米 D ．52
(
3
+1)米
6.【05毕节】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是 ( ) A ．2，3，5 B ．3，4，5 C ．32，42，52 D ．1，2，3 二、填空题
1. 【05绵阳】如图1，若CD 是RtΔABC 斜边上的高，AD =3，CD =4，则BC =_______ .
（2题图） （3题图）
2.【05河南课改】已知：如图，AC ⊥BC ，BD ⊥BC ，AC ＞BC ＞BD ，请你添加一个条件使△ABC ∽△CDB ，你添加的条件是___________________________。

3.【05河南课改】图⑴、图⑵是两种方法把6根圆形钢管用钢丝捆扎的截面图。

设图⑴、图⑵两种方法捆扎所需钢丝绳的长度是a 、b(不记接头部分），则a 、b 的大小关系为：a b(填“＜”、“＝”或“＞”）。

5.【05苏州】如图，等腰三角形ABC 的顶角为1200，腰长为10，则底边上的高AD= 。

（5题图） （6题图）
6.【05锦州】如图，以Rt△ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为__ __.
11.【05漳州】如图，由Rt △ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，则正方形M 与正方形N 的面积之和为 2cm 。

（11题图） （12题图）
图1
A
B C
D 12
12.【05梅州】如图12，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则
∠AOB+∠DOC= 。

三、解答题
1.【05绵阳】如图8①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
(1) 如图8②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图8③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；
(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.
2.【05内江】如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。

3.【05嘉兴】如图，矩形ABCD中，M是CD的中点。

求证：（1）△ADM≌△BCM；
（2）∠MAB=∠MBA
5.【05十堰课改】如图，已知△ABC，请你增加一个条件，写出一个结论，并证明你写出的结论。

增加的条件为：
已知：
求证：
证明
6.【05河南课改】已知：在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
设△ABC的面积为S，周长为l。

⑴、填表：
⑵、如果a＋b－c＝m，观察上表猜想：
S
l＝__________(用含有m的代数式表示)。

⑶、证明⑵中的结论。

三边a、b、c a＋b－c S
l
3、4、5 2
5、12、13 4
8、15、17 6
C
B
A
D
M
7.【05南通海门】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）． （1）当n = 5时，共向外作出了 个小等边
三角形，每个．．
小等边三角形的面积为 ； （2）当n = k 时，共向外作出了 个
小等边三角形，这些小等边三角形的面积和．．．
为 （用含k 的式子表示）．
8.【05锦州】如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小
不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE.
(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；
(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；
(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； (4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.
n =3 n =4 n =5 （第7题）
……
9.【05临沂课改】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．
11. 【05厦门】如图6，已知：在直角△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D. （1）若∠B AC ＝30°，求证: AD ＝BD ；
（2）若AP 平分∠B AC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数.
14.【05梅山】△ABC 等边三角形，BD 是中线，延长BC 到E ，使CE ＝CD ， 不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论。

图 6
P D C
B
A 图3C
B A
图2
C B
A
图1C B A
答案
一、选择题
1. D
2.D
3.D
4.D
5.A
6.A
二、填空题
1. 203.
2.∠CAB ＝∠BCD 或∠CBA ＝∠BDC 或BC 2＝AC ·BD 等
3.＝
4. 5
5. 5
6.
7. 2或20
8. 30
9. 12 10．8 11. 64 12. 180 13.70 14.6 15.12BD DC ADB ACD ∠=∠=∆≅∆或或 三、解答题
1．【解】设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则c 2=a 2+b 2 .
(1) S 1=S 2+S 3 .
(2) S 1=S 2+S 3 . 证明如下：
显然，S 12，S 22， S 32，∴S 2+S 3222)a b +=S 1 . (3) 当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3 . 证明如下：
∵ 所作三个三角形相似， ∴
22
3222
11,.S S a b S c S c == 22231232
11,S S a b S S S S c ++∴==∴=+.
(4) 分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则S 1
＝S 2＋S 3 . 2．【解】 △ACD ≌△CBE
证：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90° ∴∠CAD=∠BCE
又∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB ∴△ACD ≌△CBE 3．【解】
（1） 证：∵ABCD 是矩形，∴∠ADM=∠BCM ，AD=BC ∵M 是CD 的中点，∴DM=CM ∴△ADM ≌△BCM
（2） 证：∵△ADM ≌△BCM ，∴MA=MB. ∴∠MAB=∠MBA. 4．【解】（1）连AC 交BD 于O ， ∵ABCD 为菱形，∴∠AOB=90°， OA=
2
h
，OB=20
在Rt △AOB 中，∵AO 2+BO 2=AB 2
，
∴222
()20302
h h +=⇒=（2）从a=40开始，螺旋装置顺时针方向旋转x 圈，则BC=40-x
∴2
2
240()(
)3022
h x h -+=⇒=
（3）结论：s 1>s 2 .在h =
令x=0得，044.721;h =≈
令x=1得，145.596h =≈；
令x=2得，246.435.h =
≈
∴110221120.88,0.84,s h h s h h s s =-≈=-≈∴> 也可以如下比较s 1 、s 2的大小：
∵2222
1s ==
2222
2s ==
而79>7712s s <∴>
若将条件“从a=40开始”改为“从任意时刻开始”，则结论s 1>s 2仍成立。

∵
1s ==
，
2s ==
而12212.a a s s ->-∴>
5．【解】增加条件为BD=CE 。

结论为∠B=∠C 证明：在Rt △BEC 和Rt △CDB 中 ∵BD=CE BC=BC ∴Rt △BEC ≌Rt △CDB ∴∠B=∠C 6．【解】⑴ 填表：
⑵ 、S l ＝m 4
⑶ 、证明：∵a ＋b －c ＝m ，∴a ＋b ＝m ＋c ，
∴a 2＋2ab ＋b 2＝m 2＋c 2＋2mc 。

∵a 2＋b 2＝c 2，∴2ab ＝m 2＋2mc
∴ab 2＝14m(m ＋2c) ∴S l ＝12ab a ＋b ＋c ＝14m(m ＋2c)m ＋c ＋c ＝m
4 7．【解】（1）9，
1
25
S ． （2）3（k －2），
2
3(2)
k S k -． 8． 【解】(1)AF=BE.
证明：在△AFC 和△BEC 中，
∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE ，∠ACF=∠BCE=60°. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE. (2)成立.
理由：在△AFC 和△BEC 中，
∵△ABC 和△CEF 是等边三角形， ∴AC=BC，CF=CE ，∠ACB=∠FCE=60°. ∴∠ACB -∠FCB=∠FCE -∠FCB.
即∠ACF=∠BCE. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.
(3)评价要求：此处图形不惟一，仅举几例，只要正确，即可得分. 如图，(1)中的结论仍成立.
(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：
如图a ，大小不等的等边三角形ABC 和等边三角形CEF 有且仅有一个公共顶点C ，则以点C 为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE.
9．【解】若△ABC 是锐角三角形，则有222
a b c +>
若△ABC 是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222a b c +<。

当△ABC 是锐角三角形时，
证明：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设CD 为x ，则有BD ＝a x -
根据勾股定理，得22222()b x AD c a x -==-- 即22222
2b x c a ax x -=-+-。

∴222
2a b c ax +=+
∵0,0a x >>， ∴20ax >。

∴222
a b c +>。

当△ABC 是钝角三角形时，
证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D 。

设CD 为x ，则有222BD a x =- 根据勾股定理，得2222
()b x a x c ++-=．
即222
2a b bx c ++=。

∵0,0b x >>， ∴20bx >， ∴222
a b c +<。

11．【解】(1) 证明：∵∠BAC ＝30°∠C ＝90°
∴ ∠ABC ＝60°
又∵ BD 平分∠ABC ∴∠ABD ＝30° ∴ ∠BAC ＝∠ABD ∴ BD ＝AD
（2）解1： ∵∠C ＝90°∴∠BAC ＋∠ABC ＝90° ∴ 1
2
(∠BAC ＋∠ABC)＝45°
D
B
B
∵ BD 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC
∠BAP ＝12∠BAC ∠ABP ＝12
∠ABC 即∠BAP ＋∠ABP ＝45°
∴∠APB ＝180°－45°＝135°
解2： ∵∠C ＝90° ∴∠BAC ＋∠ABC ＝90° ∴ 12
(∠BAC ＋∠ABC)＝45° ∵ BD 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC
∠DBC ＝12∠ABC ∠PAC ＝12
∠BAC ∴ ∠DBC ＋∠PAD ＝45°
∴ ∠APB ＝∠PDA ＋∠PAD ＝∠DBC ＋∠C ＋∠PAD
＝∠DBC ＋∠PAD ＋∠C ＝45°＋90°＝135°
12．【解】证明：因为 ∠ABD ＝∠ACD
∠BDE ＝∠CDE
而 ∠BDE ＝∠ABD ＋∠BAD
∠CDE ＝∠ACD ＋∠CAD
所以 ∠BAD ＝∠CAD
而 ∠ADB ＝180°－∠BDE
∠ADC ＝180°－∠CDE
所以 ∠ADB ＝∠ADC
在△ADB 和△ADC 中，
∠BAD ＝∠CAD
AD ＝AD
∠ADB ＝∠ADC
所以 △ADB ≌△ADC
所以 BD ＝CD
（注：用“AAS ”证三角形全等，同样给分）
13．【解】作法一：作AB 边上的中线；
作法二：作∠CBA 的平分线；
作法三：在CA 上取一点D ，使CD=CB 。

14．【解】如：①DB ＝DE ； ②BD ⊥AC ；
③∠DBC ＝∠DEC ＝30°； ④△ABD ≌△CBD ； ⑤△DCE ∽△BDE ； ⑥∠CDE ＝30°； ⑦BD 平分∠ABC ； ⑧DE 2＝BE ·CE
A B C
D E。