福建省莆田市重点中学2025届高三教学质量检测试题第二次联考数学试题

福建省莆田市重点中学2025届高三教学质量检测试题第二次联考数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2
2cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =
（ ） A ．5
B ．3
C ．10
D ．4
2．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a <
D ．b a >
3．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．既不充分也不必要条件
D ．充要条件
4．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则22
2
2a b
c
-=（ ） A ．
3
2
B ．
12
C ．
14
D ．
18
7．方程()()f x f x '
=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）
A ．1a =
B ．01a <<
C ．23a <<
D ．12a <<
8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T 取最
大值时n 的值为( ) A ．2020
B ．20l9
C ．2018
D ．2017
9．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6
π
=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）
A ．
5
14
B ．
314
C ．
328
D ．
528
11．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，
O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．5
C ．6
D ．7
12．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数
2i
z
的点是（ ）
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，则这段曲线的函数解析式为
______________．
14．（5分）已知曲线C 的方程为3()=-+∈y ax x a R ，其图象经过点(1,0)P ，则曲线C 在点P 处的切线方程是____________．
15．已知F 是抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，过F 作直线与C 相交于,P Q 两点，且Q 在第一象限，若2PF FQ =，则直线PQ 的斜率是_________．
16．已知椭圆221164
x y +=的下顶点为A ，
若直线4x ty =+与椭圆交于不同的两点M 、N ，则当t =_____时，AMN ∆外心的横坐标最大．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设2
()x f x xe ax =-，2
ln ()1(0)e
g x x x a a
x =+-+-
> （1）求()g x 的单调区间；
（2）设()()()0h x f x ag x =-≥恒成立，求实数a 的取值范围.
18．（12分）已知点()12P ，到抛物线C ：y 1=1px ()0p >准线的距离为1．
（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；
（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点A ，B ，直线PA ，PB ，分别交x 轴于M ，N 两点，求MF NF ⋅的值．
19．（12分）如图，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，DE ⊥平面ABCD ，//CF DE ，2DE CF =，BE 与平面ABCD 所成的角为45︒.
（1）求证：平面BEF ⊥平面BDE ； （2）求二面角B-EF-D 的余弦值.
20．（12分）已知抛物线()2
1:20C x py p =>和圆()2
22:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，
且1l 与圆2C 相切． （1）求p 的值；
（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．
21．（12分）已知函数()sin x
f x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，证明：对[0,),()1x f x ∀∈+∞； （2）若函数()f x 在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上存在极值，求实数a 的取值范围。

22．（10分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12
22
AA AC CB AB ===
=.
（1）证明：1BC 平面1A CD ； （2）求二面角1D A C E --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
由正弦定理及条件可得()2sin cos sin cos sin B A A B c C +=， 即()2sin 2sin sin A B C c C +==.
sin 0C >，
∴2c =，
由余弦定理得22222
1
2cos 2322393
a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=。

∴3a =.选B 。

2、C 【解题分析】
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【题目详解】
令23a
b
t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==
，3
lg log lg 3
t
b t ==， ()
lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3
t t t a b -∴-=
-=>⋅，因此，a b >. 故选：C.
【题目点拨】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 3、A
向量1a m =（，），32b m =-（，），//a b ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可． 【题目详解】
解：向量1a m =（，），32b m =-（,）， //a b ，则32m
m =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，
所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【题目点拨】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 4、A 【解题分析】
由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【题目详解】
由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项. 【题目点拨】
考查集合并集运算，属于简单题. 5、D 【解题分析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果 【题目详解】
故选 【题目点拨】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

6、D 【解题分析】
利用余弦定理角化边整理可得结果.
由余弦定理得：222222224
a c
b b
c a c
a b ac bc +-+-⋅-⋅=，
整理可得：22
2
4
c a b -=，222
1
28a b c -∴=. 故选：D . 【题目点拨】
本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题. 7、D 【解题分析】
由题设中所给的定义，方程()()f x f x '
=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出a 的大致
范围 【题目详解】
解：由题意方程()()f x f x '
=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，
对于函数()g x lnx =，由于1()g x x
'=， 1lnx x
∴=
， 设1
()h x lnx x
=-
，该函数在(0,)+∞为增函数， ()110h ∴=-<， (
)1
22202
h ln ln =-
=-， ()h x ∴在(1,2)上有零点，
故函数()g x lnx =的“新驻点”为a ，那么12a << 故选：D ． 【题目点拨】
本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出a 存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题.. 8、B 【解题分析】
根据题意计算20190a >，20200a <，201920200a a +>，计算2018
10b <，
2019
10b >，
2018
2019
110b b +
>，得到答案.
【题目详解】
n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，
故20190a >，20200a <，201920200a a +>，12n n n n b a a a ++=，故
12
11n n n n a a b a ++=， 当2017n ≤时，
1
0n
b >，
2018201820192020110a a a b =<，2019201920202021110a a a b =>， 20192020
2018
2019
201820192020
201920202021
2018201920202021
111
10b a a a a a a a a a a a a b ++
=
+
=
>，
当2020n ≥时，1
0n
b <，故前2019项和最大. 故选：B . 【题目点拨】
本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 9、A 【解题分析】
求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【题目详解】
将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移
9
π
个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
若函数()y f x =为偶函数，则()3
2
k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，解得()6
k k Z π
ϕπ=+
∈，
当0k =时，6
π=ϕ. 因此，“6
π
=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 10、B 【解题分析】
根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解. 【题目详解】
从八卦中任取两卦基本事件的总数2
828n C ==种，
这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，
分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮）， 所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是63
2814
p ==. 故选：B 【题目点拨】
本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11、D 【解题分析】
作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值 【题目详解】
解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ， 设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ，
所以x ＝2a ，则EF 2＝a ，
由勾股定理可得（4a ）2+（）2＝（2c ）2， 所以c 2＝7a 2，
则e c
a
=
= 故选：D ．
【题目点拨】
本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 12、C 【解题分析】
由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2i
z
化简后可找到其对应的点. 【题目详解】 由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i
==--=--+，对应点G . 故选：C 【题目点拨】
此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、310sin 208
4y x ππ⎛⎫
=+
+ ⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈ 【解题分析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得max min 2y y A -=，max min
2
y y b +=，结合图象求得该函数的最小正周期T ，
可得出2T
π
ω=
，再将点()10,20代入函数解析式，求出ϕ的值，即可求得该函数的解析式. 【题目详解】
由图象可知，max 30y =，min 10y =，max min 102y y A -∴=
=，max min
202
y y b +==，
从题图中可以看出，从614时是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期，则()214616T =⨯-=，28
T ππω∴==. 又
10228
k π
ϕππ⨯+=+，k Z ∈，得()324k k Z π
ϕπ=
+∈，取34
πϕ=， 所以310sin 208
4y x π
π⎛⎫
=+
+
⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈． 故答案为：310sin 208
4y x ππ⎛⎫
=+
+ ⎪⎝⎭
，[]6,14x ∈． 【题目点拨】
本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 14、220x y +-= 【解题分析】
依题意，将点(1,0)P 的坐标代入曲线C 的方程中，解得1a =.由3=-+y x x ，得231'=-+y x ，则曲线C 在点P 处切线的斜率1|2='==-x k y ，所以在点P 处的切线方程是2(1)y x =--，即220x y +-=．
15、【解题分析】
作出准线，过,P Q 作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率． 【题目详解】
设l 是准线，过P 作PM l ⊥于M ，过Q 作QN l ⊥于N ，过P 作PH QN ⊥于H ，如图， 则PM PF =，QN QF =，∵2PF FQ =，∴2QF PF =，∴2QN PM =，
∴QH NH PM PF ===，PH ==，
∴tan PH
HQF QH
∠=
=PQ 斜率为
故答案为：
【题目点拨】
本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解． 16、222- 【解题分析】
由已知可得A 、M 的坐标，求得AM 的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得MN 的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得AMN ∆外心的横坐标，再由导数求最值． 【题目详解】 如图，
由已知条件可知()0,2A -，不妨设()4,0M ，则AMN ∆外心在AM 的垂直平分线上， 即在直线()122y x +=--，也就是在直线23y x =-+上，
联立224
1164
x ty x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，得0y =或()2804t y t t =-<+，
MN ∴的中点坐标为22
164,44t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，
则MN 的垂直平分线方程为22
41644t y t x t t ⎛
⎫+
=-- ⎪++⎝⎭
， 把23y x =-+代入上式，得236
4
t x t -+=
+，
令()236
4t g t t -+=+，则()()
222344(4)
t t g t t -'-=+，
由()0g t '=，得2t =+2=-t
当2t <-()0g t '>，当20t -<<时，()0g t '<.
当2=-t ()y g t =取极大值，亦为最大值．
故答案为：2-【题目点拨】
本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞；（2）0a e <≤ 【解题分析】 （1）'
(21)(1)()x x g x x
-+-=
，令()'0g x >，()'
0g x <解不等式即可；
（2）'
(1)()(1)(1)()x
x
a x a h x x e x e x x
+=+-=+-，令()0h x '=得0x ，即00x a e x =，且()h x 的最小值为
()00000ln x h x x e a x ax a e =---+，令()00h x ≥，结合00
x
a
e x =
即可解决. 【题目详解】 （1）'
1(21)(1)()12x x g x x x x
-+-=+
-=，(0,)x ∈+∞ 当()0,1x ∈时，()'
0g x >，()g x 递增， 当(1,)x ∈+∞时，()'
0g x <，()g x 递减.
故()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞. （2）()()()ln x
h x f x ag x xe a x ax a e =-=---+，
'(1)()(1)(1)()x x a x a
h x x e x e x x
+=+-
=+-， 0a >，设()0h x '=的根为0x ，即有0
x
a
e x =
可得， 00ln ln x a x =-，当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 递减，
当0(,)x x ∈+∞时，()'
0h x >，()h x 递增.
()0min 0000()ln x h x h x x e a x ax a e ∴==---+
()0
000
ln a
x a x a ax a e x =+---+ ln 0e a a =-≥，
所以ln a a e ≤，
①当(0,1],ln 0a a a e ≤≤<；
②当1a >时，设()ln a a a ϕ=，()1ln 0a a ϕ'=+>
()ln a a a ϕ=递增，ln a a e ≤，所以1a e <≤.
综上，0a e <≤. 【题目点拨】
本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理.
18、 (Ⅰ)C 的方程为2
4y x =,焦点F 的坐标为(1,0)；（Ⅱ）1
【解题分析】
（Ⅰ）根据抛物线定义求出p ，即可求C 的方程及焦点F 的坐标；
（Ⅱ）设点A (x 1,y 1),B (x 1,y 1),由已知得Q (−1,−1)，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y =k (x +1)−1(k ≠0)，与抛物线联立可得ky 1-4y +4k -8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF |•|NF |的值． 【题目详解】
(Ⅰ)由已知得122
p
+
=，所以p =1. 所以抛物线C 的方程为2
4y x =,焦点F 的坐标为(1,0)； (II )设点A (x 1,y 1),B (x 1,y 1),由已知得Q (−1,−1)， 由题意直线AB 斜率存在且不为0. 设直线AB 的方程为y =k (x +1)−1(k ≠0).
由()2412
y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=， 则124
y y k
+=
,1284y y k =-.
因为点A ,B 在抛物线C 上,所以22
11224,4,y x y x ==
112111224
121
4
PA y y k y x y --=
==
-+-,2222412PB y k x y -==-+. 因为PF ⊥x 轴， 所以()()12224
4
PA
PB
PA PB y y PF PF MF NF k k k k ++⋅=
⋅
=
=⋅
()12128844
24
2
4
4
y y y y k k
-+++++=
=
=， 所以|MF |⋅|NF |的值为1. 【题目点拨】
本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题. 19、（1）证明见解析；（2）6
4
【解题分析】
（1）要证明平面BEF ⊥平面BDE ，只需在平面BEF 内找一条直线垂直平面BDE 即可；
（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF 的法向量n ，平面CDEF 的法向量m ，算出cos ,n m <>即可. 【题目详解】
（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD. ∴DE AC ⊥.
又∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥. ∵BD DE D ⋂=，∴AC ⊥平面BDE ，
设AC ，BD 交于O ，取BE 的中点G ，连FG ，OG ，
//OG CF ，OG CF =，四边形OCFG 是平行四边形
//FG AC ，AC ⊥平面BDE
∴FG ⊥平面BDE ， 又因FG ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面BDE.
（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系 ∵BE 与平面ABCD 所成的角为45︒，60BAD ∠=︒
2DE BD AB ===，3OA =()0,1,0D -，()0,1,0B ，(3,0,0)C -，()0,1,2E -，(3,0,1)F .
(0,2,2)BE =-，(3,1,1)BF =--
设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =
，220
0y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，(0,1,1)n =
(3,1,0)DC =-，(0,0,2)DE =
设平面CDEF 的法向量(,,)m x y z =
(1,3,0)0y m z ⎧+=⎪⇒=⎨
=⎪⎩
设二面角B EF D -
-的大小为θ.
3cos |cos ,|422
n m θ=<>=
=. 【题目点拨】
本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角的计算，考查学生的计算能力，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题. 20、（1）6p
；（2）点N 在定直线3y =上．
【解题分析】
（1）设出直线1l 的方程为2
p
y x =+
，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ； （2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上； 【题目详解】
解：（1）依题意设直线1l 的方程为2
p
y x =+
， 由已知得：圆222:(
1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径r =
因为直线1l 与圆2C 相切，
所以圆心到直线1:2
p
l y x =+
的距离
d
==，
6p 或2p =-（舍去）．
所以6p ；
（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为2
12x y =，
所以2
12
x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，
所以切线2l 的方程为1111
()6y x x x y =-+．
令0x =，21111111
1266
y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，
所以11(,3)MA x m y =-+， 1(,3)MB m y =--+，
∴()12,6MN MA MB x m =+=-， ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-．
设N 点坐标为(,)x y ，则3y =， 所以点N 在定直线3y =上． 【题目点拨】
本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题． 21、 (1)见证明；(2) ()0,1a ∈ 【解题分析】
（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；
（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a 分类讨论，分别研究a 的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值． 【题目详解】
(1)当1a =时，()sin x
f x e x =-，于是，()cos x
f x e x '=-.
又因为，当()0,x ∈+∞时，1x e >且cos 1x ≤. 故当()0,x ∈+∞时，cos 0x e x ->，即()0f x '>.
所以，函数()sin x
f x e x =-为()0,+∞上的增函数，于是，()()01f x f ≥=.
因此，对[
)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥； (2) 方法一：由题意()f x 在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上存在极值，则()cos x
f x ae x '=-在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上存在零点， ①当()0,1a ∈时，()cos x
f x ae x '=-为0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的增函数，
注意到()010f a -'=<，202f a e π
π⎛⎫
=⋅> ⎪'⎝⎭，
所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00f x '=成立.
于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数； 当0,
2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的增函数； 所以00,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
为函数()f x 的极小值点； ②当1a ≥时，()cos cos 0x x
f x ae x e x ≥-'=->在0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
上成立， 所以()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，所以()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上没有极值； ③当0a ≤时，()cos 0x
f x ae x =-<'在0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
上成立， 所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上没有极值， 综上所述，使()f x 在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上存在极值的a 的取值范围是()0,1. 方法二：由题意，函数()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()cos x
f x ae x '=-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在零点. 即cos x x a e =
在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上存在零点. 设()cos x
x g x e =
，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上的减函数. 即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()cos x
f x ae x '=-在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上存在零点. 下面证明，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭上存在极值. 事实上，当()0,1a ∈时，()cos x
f x ae x '=-为0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的增函数，
注意到()010f a -'=<，202f a e π
π⎛
⎫=⋅> ⎪'⎝⎭
，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
使得()00f x '=成立.于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数； 当0,
2x x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()0f x '>，()f x 为0,
2x π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的增函数； 即00,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
为函数()f x 的极小值点. 综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上存在极值. 【题目点拨】
本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题．
22、 (1)证明见解析 (2) 【解题分析】
（1）连接1AC 交1A C 于点F ，由三角形中位线定理得1//BC DF ，由此能证明1//BC 平面1A CD ．
（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，CB 的方向为y 轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -．分别求出平面1A CD 的法向量和平面1A CE 的法向量，利用向量法能求出二面角1D A C E --的余弦值． 【题目详解】
证明：证明：连接1AC 交1A C 于点F ， 则F 为1AC 的中点．又D 是AB 的中点， 连接DF ，则1//BC DF ．
因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊂平面1A CD ， 所以1//BC 平面1A CD ．
（2）由12
AA AC CB AB ====2AB =，即222AC BC AB += 所以AC BC ⊥
又因为111ABC A B C -直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线1CA CB CC 、、为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()
12220,0,02,0,2),,00,2,222C A D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、、， ()
12222,0,2,,,0,0,2,222CA CD CE ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =，则0n CD ⋅=且10n CA ⋅=，可解得y x z =-=，令1x =，得平面1A CD 的一个法向量为()1,1,1n =--，
同理可得平面1A CE 的一个法向量为()2,1,2m =-，
则3cos ,3
n m <>= 所以二面角1D A C E --的余弦值为33
. 【题目点拨】
本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．。