2025版高考数学一轮复习课后限时集训55变量间的相关关系统计案例文含解析北师大版

课后限时集训(五十五)
(建议用时：60分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )
(1) (2) (3) (4)
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(2)(4) D．(2)(3)
D[(1)为函数关系；(2)明显成正相关；(3)明显成负相关；(4)没有明显相关性．] 2．(2024·成都模拟)已知x，y的取值如下表所示：
x 013 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
A．2.2 B．2.6
C．3.36 D．1.95
B[由表格数据计算得x＝2，y＝4.5，又
由公式a＝y－b x，得a＝2.6，故选B.]
3．(2024·开封模拟)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若全部样本点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－3 B．0
C．－1 D．1
C[在一组样本数据的散点图中，全部样本点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)都在一条直线y ＝－3x＋1上，那么这组样本数据完全负相关，且相关系数为－1，故选C．] 4．(2024·南阳联考)对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：
x 24568
y 2040607080
＝10时，y的估计值为( )
A ．105.5
B ．106
C ．106.5
D ．107
C [因为x ＝
2＋4＋5＋6＋8
5
＝5，
y ＝
20＋40＋60＋70＋80
5
＝54.
故将x ＝5，y ＝54代入y ＝10.5x ＋a 可得a ＝54－52.5＝1.5，则y ＝10.5x ＋1.5，当
x ＝10时，y ＝10.5×10＋1.5＝106.5.]
5．通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 合计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60
50
110
由χ2
＝
n ad －bc 2a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
算得，
χ2
＝
110×40×30－20×20
2
60×50×60×50≈7.8.
附表：
P (χ2≥x 0)
0.050 0.010 0.001 x 0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是 ( )
A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” A [依据独立性检验的定义，由χ2
的观测值为7.8＞6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．]
二、填空题
6．某车间为了规定工时定额，须要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．依据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回来方程y ＝0.67x ＋54.9.
零件数x (个) 10 20
30
40 50 加工时间y (min)
62
75
81
89
68 [由x ＝30，得y ＝0.67×30＋54.9＝75.
设表中的“模糊数字”为a ，
则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68.]
7．某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课程的一些学生的状况，详细数据如下表：
专业
性别
非统计专业
统计专业 男 13 10 女
7
20
为了推断主修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，得到χ2
＝50×13×20－10×7
2
23×27×20×30
≈4.844，因为χ2
≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，
那么这种推断出错的可能性为________．
5% [∵χ2
≈4.844＞3.841，∴有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系，即作出“主修统计专业与性别有关系”的推断出错的可能性不超过5%.]
8．(2024·长沙模拟)某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了比照表：
气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得回来直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝－2，预料当气温为－4 ℃时，用电量约为________度．
68 [依据题意知x ＝18＋13＋10＋－14＝10，y ＝24＋34＋38＋64
4＝40，所以a ＝
40－(－2)×10＝60，y ＝－2x ＋60，所以当x ＝－4时，y ＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度．]
三、解答题
9．(2024·重庆调研)某厂商为了解用户对其产品是否满足，在运用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：
满足 不满足 男用户 30 10 女用户
20
20
求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；
(2)有多大把握认为用户对该产品是否满足与用户性别有关？请说明理由．
P(χ2≥x0)0.1000.0500.0250.010 x0 2.706 3.841 5.024 6.635
注：χ2＝
n ad－bc2
a＋b c＋d a＋c b＋d
，n＝a＋b＋c＋d.
[解] (1)用分层抽样的方法在满足产品的用户中抽取5人，则抽取比例为5
50＝
1
10
.
所以在满足产品的用户中应抽取女用户20×1
10＝2(人)，男用户30×
1
10
＝3(人)．
抽取的5人中，三名男用户记为a，b，c，两名女用户记为r，s则从这5人中任选2人，共有10种状况：ab，ac，ar，as，bc，br，bs，cr，cs，rs.
其中恰好是男、女用户各1人的有6种状况：ar，as，br，bs，cr，cs.
故所求的概率为P＝6
10
＝0.6.
(2)由题意，得
χ2＝
80×30×20－20×102
30＋20×10＋20×30＋10×20＋20
＝16
3
≈5.333＞5.024.
又P(χ2≥5.024)＝0.025.
故有97.5%的把握认为“产品用户是否满足与性别有关”．
10．某测试团队为了探讨“饮酒”对“驾车平安”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外状况到车子完全停下所须要的距离)．无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.
表1：无酒状态
停车距离
d(米)
(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60] 频数26m n 8 2 平均每毫升血液酒精含量x(毫克)1030507090 平均停车距离y(米)3050607090
(1)求m，n的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
(2)依据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回来方程y＝bx＋a；
(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停
车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请依据(2)中的回来方程，预料当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？
(附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回来直线y ＝bx ＋a 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为b ＝
∑n
i ＝1
x i －x
y i －y
∑n
i ＝1
x i －x 2
＝
∑n
i ＝1
x i y i －n x y
∑n
i ＝1
x 2
i －n x
2
，a ＝y －b x )
[解] (1)依题意，得6
10m ＝50－26，
解得m ＝40，
又m ＋n ＋36＝100，解得n ＝24. 故停车距离的平均数为
15×26100＋25×40100＋35×24100＋45×8100＋55×2
100＝27.
(2)依题意，可知x ＝50，y ＝60，
∑5
i ＝1x i y i ＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17 800，
∑5
i ＝1
x 2i ＝102＋302＋502＋702＋902
＝16 500，
所以b ＝17 800－5×50×6016 500－5×50
2
＝0.7， a ＝60－0.7×50＝25，
所以回来直线方程为y ＝0.7x ＋25.
(3)由(1)知当y >81时认定驾驶员是“醉驾”．令y >81，得0.7x ＋25＞81，解得x >80，当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．
B 组 实力提升
1．(2024·张掖模拟)如表是我国某城市在2024年1月份至10月份各月最低温与最高温(℃)的数据一览表． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温
－12
－3
1
－2
7
17
19
23
25
10
( )
A ．最低温与最高温为正相关
B ．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C ．月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D．1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月，波动性更大
B[依据题意，依次分析选项：
对于A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，
由数据分析可得最低温与最高温为正相关，则A正确；
对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：－3.5,3,5,4.5,12,20.5,23,26.5,28,15.5，在前8个月不是逐月增加，则B错误；
对于C，由表中数据，月温差依次为：17,12,8,13,10,7,8,7,6,11；月温差的最大值出现在1月，C正确；
对于D，有C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D正确，故选B.]
2．(2024·贵阳模拟)随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A市的运用状况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参加调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表(单位：人)：
常常运用间或或不用合计30岁及以下7030100
30岁以上6040100 合计13070200 依据以上数据，________(填“能”“不能”)在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市运用共享单车状况与年龄有关．
附：
P(χ2≥x0)0.150.100.050.0250.010 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
χ2＝
n ad－bc2
a＋b c＋d a＋c b＋d
，其中n＝a＋b＋c＋d.
能[由列联表可知，χ2＝200×70×40－30×602
100×100×130×70
≈2.198.因为2.198＞2.072，
所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市运用共享单车状况与年龄有关．]。