9.1 空间几何体的直观图、表面积与体积(原卷版)

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第9章立体几何与空间向量
9.1 空间几何体的直观图、表面积与体积
1．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．2．简单几何体
(1)多面体的结构特征
名称棱柱棱锥棱台
图形
底面互相平行且相等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形
(2)旋转体的结构特征
名称圆柱圆锥圆台球▲
图形
母线
互相平行且相
等，垂直于底面
长度相等且相交
于一点
延长线交于一点
轴截面全等的矩形全等的等腰三角
形
全等的等腰梯形圆
侧面展开图矩形扇形扇环
题型一.有关斜二测图形的计算
1．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（）
A．8cm B．6cm C．2（1+√3）cm D．2（1+√2）cm 2．如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（）
A．14B．10√2C．28D．14√2
题型二.表面展开与最短距离
（多选）1．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）
A ．AE ∥CD
B ．CH ∥BE
C ．DG ⊥BH
D ．BG ⊥DE
2．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为（ ）cm ．
A ．12
B ．13
C ．√61
D ．15
3．如图所示，已知在圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A ，求绳子最短时，顶点到绳子的最短距离 （用x 表示）．
题型三.空间几何体的表面积
1．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7
8，SA 与圆锥底面所成角为45°，
若△SAB 的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．40√2π
B ．80√2
C ．40√3π
D ．80√3π
2．在梯形ABCD 中，∠ABC =π
2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ） A ．4π
B ．（4+√2）π
C ．6π
D ．（5+√2）π
3．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1
是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为（ ）
A ．2
B ．1
C ．√2
D ．
√22
题型四.空间几何体的体积 考点1.直接法
1．已知正四棱台的侧棱长为3cm ，两底面边长分别为2cm 和4cm ，则该四棱台的体积为 ．
2．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°．若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为（ ） A ．8π
B ．16π
C ．24π
D ．32π
考点2.割补法
1．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的体积为 ．
2．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为（ ）
A ．√2
3
B ．
√33
C ．4
3
D ．3
2
考点3.等体积法
1．如图所示，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则 三棱锥B 1﹣ABC 1的体积为 ．
2．如图，三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，P 是侧棱BB ′上任意一点，则四棱锥P ﹣ACC ′A ′的体积是（ ）
A ．2
3V
B ．1
3
V
C ．1
2
V
D ．3
4
V
题型五.球的截面问题
1．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为√2，则此球的体积为（ ） A ．√6π
B ．4√3π
C ．4√6π
D ．6√3π
2．已知边长为√3的正三角形ABC 三个顶点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，则球O 的表面积为 ．
题型六.动点与最值问题
1．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1=√3，点E 为AB 上的动点，则D 1E +CE 的最小值为 ．
2．如图所示，在棱长均为2的正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点D 为棱AC 的中点，点P 是侧棱AA 1上的动点，求△PBD 面积的最大值．
3．在棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是正方体的表面DCC 1D 1
（包括边界）上的动点，且满足∠APD ＝∠MPC ，则三棱锥P ﹣BCD 体积的最大值是（ ） A ．12√3 B ．36 C ．24 D ．18√3
1．已知圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥表面积为（ ） A ．3π
B ．π
C ．π
2
D ．3π4
2．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA 1＝8．若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点．当底面ABC 水平放置时，液面高为 ．
3．圆锥底面半径为1，高为2√2，点P 是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离是 ．
4．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1
2R ，
AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，则球O 的表面积为（ ） A ．48π
B ．16π
C ．64π
D ．36π
5．已知圆台上、下底面半径分别为1和3，母线长为4，AB 是下底面的直径，若点C 是下底面圆周上的动点，点D 是上底面内的动点，则四面体ABCD 的体积最大值为（ ） A ．2√3 B ．3√3
C ．4√3
D ．6√3。