江西省赣州市良村中学2019年高二数学文下学期期末试卷含解析

江西省赣州市良村中学2019年高二数学文下学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 双曲线的离心率
为
A． B．2 C． D．3
参考答案：
B
2. 3＜m＜5是方程+=1表示椭圆的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的方程进行判断即可．
【解答】解：若+=1表示椭圆，
则，得，即3＜m＜5且m≠4，
则3＜m＜5是方程+=1表示椭圆的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程是解决本题的关键．
3. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2且与x轴垂直的直线与双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，若△ABF1为等腰直角三角形，且|AB|=4，P（x，y）在双曲线上，M（，），则|PM|+|PF2|的最小值为（）A．﹣1 B．2 C．2﹣2 D．3
参考答案：
D
【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x=c，解得y，可得|AB|，由等腰直角三角形的性质和双曲线的基本量的关系，解得a，b，c，可得双曲线的方程，讨论P在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
渐近线方程为y=±x，
令x=c，解得y=±，
可得|AB|=，
若△ABF1为等腰直角三角形，且|AB|=4，
即有=4，2c=2，c2=a2+b2，
解得a=1，b=2，c=，
即有双曲线的方程为x2﹣=1，
由题意可知若P在左支上，由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|，
|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+2=+2=7，
当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值7；
若P在右支上，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a，
|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|﹣2a≥|MF1|﹣2=﹣2=3，
当且仅当M，P，F1共线时，取得最小值3．
综上可得，所求最小值为3．
故选：D．
4. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.
（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°
（4）sin2（-18°）+cos248°- sin2（-18°）cos248°
（5）sin2（-25°）+cos255°- sin2（-25°）cos255°
则这个常数为（）ks5u
A.B.C.1
D.0
参考答案：
A
略
5. 已知全集=
A．{4} B．{3，4} C．{2，3，
4} D． {1，2，3，4}
参考答案：
D
6.
参考答案：
B
7. 在△ABC中，其中有两解的是（）
A. a=8,b=16,A=30°
B. a=30,b=25,A=150°
C a=72,b=50,A=135° D. a=18,b=20,A=60°
参考答案：
C
8. 与，两数的等比中项是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
9. 已知圆与直线相交，且在圆C上恰有2个点到直线距离为1，则直线被圆C截得的弦的长度取值范围为__________．
参考答案：
略
10. 下列命题中，真命题是-------------------------------------------------------（）
A. B.
C.的充要条件是=-1
D.且是的充分条件
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域为_______________．
参考答案：
12. 设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与C交于A，B两点，若|AF|=3|BF|，则l 的方程为．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合
|AF|=3|BF|得到x1=3x2+2，求出k得答案．
【解答】解：由y2=2x，得F（，0），
设AB所在直线方程为y=k（x﹣），
代入y2=2x，得k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1+，x1x2=
结合|AF|=3|BF|，x1+=3（x2+）
解方程得k=±．
∴直线L的方程为．
故答案为：
13. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AB异面且垂直的棱共有条．
参考答案：
4
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】画出正方体，利用数形结合思想能求出结果．
【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
与AB异面且垂直的棱有：
DD1，CC1，A1D1，B1C1，共4条．
故答案为：4．
14. 已知平行六面体，与平面，交于两点。

给出以下命题，其中真命题有________(写出所有正确命题的序号)
①点为线段的两个三等分点；
②；
③设中点为，的中点为，则直线与面有一个交点；
④为的内心；
⑤若,
则三棱锥为正三棱锥，且.
参考答案：
①⑤
15. 已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为．
参考答案：
15
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=
10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．
【解答】解：∵椭圆方程为，
∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）
连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'|
因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）
∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|
∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15
当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立
综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15
故答案为：15
16. 计算___________
参考答案：
17. 甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：
（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．
可以判断丙参加的比赛项目是．
参考答案：
跑步
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论．
【解答】解：由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛．
故答案为跑步．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．
求：（1）3只全是红球的概率；
（2）3只颜色全相同的概率；
（3）3只颜色不全相同的概率。

参考答案：
19. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．
【解答】（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥A D，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图
则Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0）
设，0＜λ＜1，则M（﹣2λ，，），
平面CBQ的一个法向量=（0，0，1），
设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），
由，得=（，0，），
∵二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°，
∴cos60°=|cos＜＞|=||=，
解得，∴ =，
∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．
【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20. (12分)在平面直角坐标系中，点到两定点F1和F2的距离之和为，设点的轨迹是曲线.求曲线的方程；
参考答案：
解：(1)设，由椭圆定义可知，
点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为2的椭圆．
它的短半轴长，故曲线的方程为：
略
21. 椭圆一个焦点为，离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程式．
（Ⅱ）定点，为椭圆上的动点，求的最大值；并求出取最大值时点的坐标求．
（Ⅲ）定直线，为椭圆上的动点，证明点到的距离与到定直线的距离的比值为常数，并求出此常数值．
参考答案：
见解析
解：（Ⅰ）根据题意得，，
∴，，，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点坐标为，则，
，
∵，
∴当时，取得最大值．
∴最大值为，此时点坐标为．
（Ⅲ）设点，则，
点到的距离为：，
，
到直线的距离为，
∵，
故到的距离与到定直线的距离之比为常数．
22. 设f（x）=x3﹣﹣2x+6，当x∈[﹣1，2]时，求f（x）的最小值．
参考答案：
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求导数，确定函数的单调性，即可求出函数的最小值．
【解答】（本小题满分12分）解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=3（x﹣1）（x+2），
因为x∈[﹣1，2]，
所以令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜1；令f′（x）＞0，解得x＜﹣2或x＞1，
所以f（x）在[﹣1，1）上单调递减；在（1，2]上单调递减．
所以当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是f（1）=．
故答案为：．。