安徽省滁州市2020-2021学年度高二上学期期末联考试题 理科数学【含答案】

安徽省滁州市2020-2021学年度高二上学期期末联考试题 理科数学
【含答案】
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域．．．．．．书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

3.本卷命题范围：必修①、②、④、⑤（占30%）；必修③、选修2-1（占70%）。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.“3
π
α=
”是“()tan 3πα-=-”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.与双曲线2
212x y -=共焦点，且离心率互为倒数的椭圆方程是 A.2
212
x y +=
B.2
214x y += C.22
22193
x y +=
D.22
163
x y += 3.执行如图所示的程序框图，输出s 的值为
A.2
B.
4
3
C.53
D.
95
4.一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是 A.64π B.32π C.16π
D.8π
5.生物等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，
B 等级40%，
C 等级30%，
D 等级14%，
E 等级1%.现采用分层抽样的方法，从参加生物等级性考试
的学生中抽取300人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为 A.95
B.144
C.120
D.165
6.双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的
直线与双曲线在第四象限交于点C ，若AFC △为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为 A.3
B.2
C.5
D.22
7.“脱口秀大赛”上选手的分数分为观众评分和嘉宾评分.组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，
[]90,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.嘉宾评分的平均数为1x ，观众评分的平均数为2x ，中位数
为x 中，则下列选项正确的是
嘉宾 A
B
C
D
E
F
评分
96
97 96 89 97
98
A.12x x x >>中
B.21x x x >>中
C.12x x x >>中
D.21x x x >>中
8.已知0.3log 6a =，2log 6b =，则 A.22b a ab b a ->>+ B.22b a b a ab ->+> C.22b a b a ab +>->
D.22ab b a b a >->+
9.在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，12CC =，若点M
为11A B 的中点，则直线AM 与平面1ABC 所成的角为 A.
6
π
B.
4
π C.
3
π D.
12
π 10.已知圆2
2
:1C x y +=，从点()2,0A 观察点()2,B b -，若视线不被圆C 挡住（视线所在直线与圆C 无公共点），则实数b 的取值范围是 A.(()
,43
4
3,-∞-+∞
B.(43,43-
C.4343,,3⎛⎛⎫
-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D.4343⎛ ⎝⎭
11.函数()sin cos f x x x ωω=+，0ω>，当[]0,1x ∈时，()f x 恰好取到5个最大值，则实数ω的取值范围是 A.925,44ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
B.1927,22ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
C.3341,44ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
D.4150,44ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
12.已知抛物线2
:2C y px =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足为
M ，N ，且()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，当直线AB 经过点F 且点F 到抛物线C 准线的距离为4
时，直线l 的斜率为 A.2±
B.22±
C.8±
D.23±第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.命题“0x ∀≥，sin cos 1x x +≤”的否定是______，且是______命题（填：真、假）. 14.设向量a ，b 满足2a =，1b =，()
3a a b ⋅-=，则cos ,a b =______.
15.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，又称底是“广”，高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，则该株茶树恰好种在圭田内的概率为______.
16.在ABC △中，G 为ABC △的重心，2AG BG =
，4BC =，则ABC △面积的最大值为______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）
设p ：“关于x 的不等式2
0x ax a -+>的解集为R ”；q ：“函数()2x
f x x a =+-在区间()0,2上有零
点”.
（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）
为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通人中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：
处罚金额x （单位：元） 5 10 15 20 会闯红灯的人数y
50
40
20
若用表中数据所得频率代替概率.
（1）当处罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其它市民.现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少？
19.（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足()12
1*4
n n a n N a +=-
∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫
-
⎨⎬-⎩⎭
是等比数列； （2）令3
2
n n n a b a -=
-，设数列(){}21n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值. 20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2
:20C x py p =>，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线相交于
M 、N 两点.
（1）若l 与y 轴垂直，且OMN △的周长为425+C 的方程；
（2）在第一问的条件下，过点()1,2P 作直线m 与抛物线C 交于点A ，B ，若点P 是AB 的中点，求直线m 的方程.
21.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为矩形，且122AA AC ==，平面11AA B B ⊥平面
11ACC A ，2AB =，14
BAA π
∠=
.
（1）证明：AB ⊥平面11BA C .
（2）求异面直线CB 与1AC 所成角的余弦值.
（3）线段1A B 上是否存在一点D ，使得平面1DAC 与平面11ACC A 70
在，求出
1A D
DB
的值；若不存在，请说明理由. 22.（本小题满分12分）
已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为(),0F c -，离心率为3
，经过F 的直线FM 与圆
2
2
2
4
a x y +=的上半圆相交并截圆所得的线段长为
b ，直线与椭圆交于x 轴上方一点M ，且2FM =.
（1）求椭圆的方程；
（2）A ，B ，C ，D 为椭圆上四个动点，且AC ，BD 交于原点O ，设()11,A x y ，()22,B x y ，且
12124x x y y =，判断AB BC k k +的值是否为定值.若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
参考答案、提示及评分细则
1.A
2.C 由条件，双曲线的焦点坐标为()
3,0±，离心率为
62
. 3.C 当0k =时，03<成立，第一次进入循环：1k =，11
21
s +==，13<成立； 第二次进入循环：2k =，213
22s +=
=，23<成立； 第三次进入循环：3k =，31
52332
s +==，33<不成立，输出5
3s =.
4.C 因为轴截面的面积为16，所以圆柱的底面直径和高均为4，所以圆柱的体积为22416ππ⋅⨯=.
5.D 设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则
1540
300100
x +=
，∴165x =. 6.B 由题意，AF FC =，故2b a c a +=，解得2c
e a
==.
7.C 由表格中的数据可知，1969796899798573
95.566
x +++++=
==，
由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，90x =中，则12x x x >>中。

8.B ∵0.3log 60a =<，2log 60b =>，∴0ab <. ∵
666612log 0.32log 2log 1.2log 61a b +=+⨯=<=，即21b a
ab
+<. ∵0ab <，∴2b a ab +>，∴()()2240b a b a a --+=->， ∴22b a b a ->+，∴22b a b a ab ->+>
9.A 以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴建立空间坐标系，则(2AM =-，平面1ABC 的法向量为(1,1,2n =，∵1cos ,2AM n =
，故直线AM 与平面1ABC 所成的角为6
π
. 10.C 设过点()2,0A 且与圆22
1x y +=相切的直线方程为()2y k x =-，则
2
211
k k -=+，解得
3k =，所以切线方程为)32y x =-.由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，且点B 在直线2x =-上，在)32y x =-中，取2x =-，得43
y =b 的
取值范围为33b <-
或3
3
b >. 11.C ()24f x x πω⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭，2T πω=，故2241544ππππωωωω+⨯≤<+⨯，∴3341,4
4ππω⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭.
12.B 因为点F 到抛物线C 准线的距离为4，所以2
8y x =，设抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，因为
()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，所以
()()11
422192
M N A B
OMN OAB
ABMN
M N OH y y OF y y S S S AM BN y y ⋅-+⋅-+==+⋅-梯形△△，因为
2OH OF ==，M N A B y y y y -=-，AM BN AB +=，所以
44
9
OMN OAB ABMN S S S AB +==梯形△△，则
9AB =，显然直线AB 的斜率存在，不妨设为k ，则():2AB y k x =-，与抛物线联立可得：
()22224840k x k x k -++=，从而284A B x x k +=+
，所以2
8
489A B AB x x k =++=+=，解得22k =±.
13.0x ∃≥，sin cos 1x x +> 真
14.
12 由题得()
2421cos ,42cos ,3a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯=-=，所以1
cos ,2a b =. 15.2
15
∵邪田的广分别为十步和二十步，正从为十步，
∴邪田的面积为()1
1020101502
⨯+⨯=.
又∵圭田的广为八步，正从为五步，∴圭田的面积为185202⨯⨯=，所求概率202
15015
P ==.
16.2设D 为BC 的中点，DG x =，由重心性质得，2AG x =，
22
BG AG x =
=.设BGD θ∠=，则2224222cos x x x θ=+-， ∴22
cos 22x
θ=2
2sin 2BDG S x θ=△， ∴()()()222
2
442243499181241612128844ABC
x S x x x x x ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⋅-=--+=---⎢
⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
△， 经检验可知，当2
12x =时，2ABC S △取得最大值288，则ABC △面积的最大值为2.
17.解：（1）函数()f x 是增函数，所以若q 为真命题，则()()
010,
260,f a f a =-<⎧⎪⎨
=->⎪⎩解得16a <<，故
()1,6a ∈.…………………………5分
（2）若p 为真命题，则240a a -<，解得04a <<.
因为p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，所以p ，q 中一真一假. 若p 真q 假，则01a <≤； 若p 假q 真，则46a ≤<. 综上可得，a 的取值范围是(]
[)0,14,6.………………………10分
18.解：（1）设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，则()401
2005
P A ==. ∴当罚金定为10元时，比不制定处罚行人闯红灯的概率会降低
1
5
.……………………6分 （2）由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民中各抽出两人， 设从A 类市民抽出的两人分别为1A 、2A ，设从B 类市民抽出的两人分别为1B 、2B . 设从“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，
则事件M 中首先抽出1A 的事件有()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()1122,,,A B A B ，()1122,,,A B B A ，
()1221,,,A B A B ，()1212,,,A B B A ，共6种.
同理首先抽出2A 、1B 、2B 的事件也各有6种，故事件M 共有4624⨯=（种）.
设从“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有()1212,,,B B A A ，()1221,,,B B A A ，
()2112,,,B B A A ，()2121.,,B B A A .∴()41
246
P N =
=. ∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是1
6
.…………………………………12分 19.解：（1）∵()162
1*44
n n n n a a n N a a +-=-
=∈--，…………………………………2分 ∴()()1116
3
23346312311122162262822224
n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫
----+--======- ⎪-----+----⎝⎭
--.…4分
∴112n a ⎧⎫-
⎨⎬
-⎩
⎭是首项为11
313
2212a a --==--，公比为2的等比数列.…………………6分 （2）由（1）知，1
122
n n a -
=-， 即
3211
12222
n n n n n n n a a b a a a ---==-==---，…………………………………………8分 ∴()()21212n
n n b n -⋅=-⋅，
()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅+
+-⋅，②
①减②得
()()()()1
1
2
31
1142122222212
22212322612
n n
n n n n S n n n ++++--=⋅+++
+--⋅=+⋅--⋅=-⋅=--.
∴()1
232
6n n S n +=-⋅+.…………………………………………………………………………10分
∴()()()2
1112122322210n n n n n S S n n n ++++-=-⋅--⋅=+>，
∴n S .单调递增.
∵7
692611582021S =⨯+=<，
87112628222021S =⨯+=>.
故使2021n S <成立的最大自然数6n =.………………………………………………………12分 20.解：（1）由题意，焦点0,2p F ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，将2p y =代入抛物线C 的方程可求得,2p M p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2p N p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
……2分
∴2MN p =，2
2
52p OM ON p p ⎛⎫==
+= ⎪⎝⎭
，………………………………………4分
所以QMN △的周长为25425p =+2p =，故抛物线方程为2
4x y =.………6分
（2）设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,4x B x ⎛⎫ ⎪
⎝
⎭，直线m 的斜率为22
12
121244x x x x x x -+=-，……………8分
由条件
1212x x +=，故直线m 的斜率为1
2
，………………………………………………10分 从而直线m 的方程为230x y -+=.…………………………………………………………12分
21.解：（1）因为平面11AA B B ⊥平面11ACC A ，四边形11ACC A 为矩形，所以11C A ⊥平面1ABA ，所以
11C A AB ⊥，……………………………………………………………………………………2分
又因为2AB =，14
BAA π
∠=
，12AA =，所以1A B AB ⊥，
因为11
11C A A B A =，所以AB ⊥平面11BA C .……………………………………………4分
（2）记1AA ，1CC 的中点分别为O ，E ，连接OB ，OE ，由题知，OB ，1OA ，OE 两两垂直，以O 为坐标原点，OE 所在直线为x 轴，1OA 所在直线为y 轴，OB 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()1,1,0C -，()0,0,1B ，()0,1,0A -，()11,1,0C ，
所以()1,1,1CB =-，()11,2,0AC =，………………………………………………………6分 因为111
115
cos ,15
35CB AC CB AC CB AC ⋅=
=
=⨯，
所以异面直线CB 与1AC 所成角的余弦值为
15
15
.……………………………………………8分
（3）假设存在，设()101BD BA λλ=≤≤，
所以()0,,1D λλ-，()0,1,1AD λλ=+-，设平面1DAC 的法向量()1111,,e x y z =，所以11100e AC e AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()111120110x y y z λλ+=⎧⎨++-=⎩，令11z λ=+，解得11y λ=-，
122x λ=-，所以()122,1,1e λλλ=--+，平面11ACC A 的法向量()20,0,1e =，因为平面1DAC 与平
面11ACC A 所成锐二面角的余弦值为
70
14
，………………………………………………10分
所以()()()12
1222212170cos ,14
4111e e e e e e λλλλ+⋅===-+-++， 整理化简得241740λλ-+=，解得14λ=
或4λ=（舍去）， 所以线段1A B 上存在一点D ，且13A D DB
=.…………………………………………………12分 22.解：（1）由题意知32c a =，即2243
a c =，又由222a
b
c =+，可得223c b =.设直线FM 的斜率为()0k k >，(),0F c -，可得直线FM 的方程为()y k x c =+. ∴2222241b a k ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎝⎭
+，解得3k =或3k =（舍去）.…………………………………2分 将椭圆22223314x y c c
+=与)33y x c =+两方程联立，消去y ，整理得2780x cx +=， 解得0x =或87c x =-，因为点M 位于x 轴上方，可得3c M ⎛ ⎝
⎭.…………………………4分 由2FM =，即22343c c ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得3c =.∴24a =，21b =，故椭圆方程为2
214x y +=.……6分（2）当直线AB 的斜率不存在，或斜率为0时，不满足12124x x y y =.…………………………7分
当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y tx m =+，联立y tx m =+和2
214
x y +=，得()()222148410t x tmx m +++-=， ∴()()()()
2222284414116410tm t m t m ∆=-+⋅-=-+>， ∴122814tm x x t +=-+，()
21224114m x x t
-=+.…………………………………………………………9分 ∵12124x x y y =且()()()2212121212y y tx m tx m t x x tm x x m =++=+++， ∴()()22121241440t x x tm x x m -+++=，∴()()22
222418414401414m tm t tm m t t ---⋅+⋅+=++， 整理得241t =，∴12t =±，同理用1x -换1x ，用1y -换1y ，可求得直线BC 的斜率为12
±，……11分 因为直线AB ，BC 的斜率不相等，∴11022AB BC k k ⎛⎫+=
+-= ⎪⎝⎭.………………………………12分。