江西省南昌市教研室命制2014届高三数学交流卷试题 理(九)新人教A版

南昌市教研室命制2014届高三交流卷（九）数学（理）试题
一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1若纯虚数z 满足2(2i)4(1i)z b -=-+（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2-
B ．2
C ．-4
D ．4
2．设集合33
{|
0},{|||},""""122
x P x Q x x m P m Q x =≤=-≤∈∈-那么是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A ，B 是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA ·OB 的值为（ ） A.12π B.19π2
＋1 C.19π2－1 D.13
π2
－1 4．设各项为正的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且653,,a a a 成等差数列，则
6
45
3a a a a ++的值为（ ）
A ．
215+ B.215- C.2
1
D.2 5．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A.163π B.193π C.1912π D.43π 6.已知奇函数)0,()(-∞在x f 上是单调减函数，且0)2(=f ，则
不
等
式
0)1()1(>--x f x 的解集为（ ）
A ．}13|{-<<-x x B.}3111|{<<<<-x x x 或 C ．}3103|{<<<<-x x x 或 D.}213|{><<-x x x 或
7.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3 张，要 求这 3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( )
A.232
B.252
C.472
D.484
8．抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，点M 为这两条
曲线的一个交点，且|MF |＝2p ，则双曲线的离心率为( )．
A.
102 B ．2 C. 5 D.52
9. 在实数集R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( ). A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2
C ．－12＜a ＜32
D ．－32＜a ＜12
10. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0
x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
，设111sgn()1sgn()1
22()()22x x f x f x -+-+=⋅+
2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1
[()][0,)2
f f a ∈，则实数a 的取值范围是
（ ）
A. 1
(0,]4 B. 11(,)42 C. 11(,]42 D. 3[0,]8
二．选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分. 11（1）（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2
x t y t
=⎧⎨
=⎩（t 为参数），若以直角坐标系的原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c 的极坐标方程为（ ）
A. 2
cos
sin 0ραα-= B. cos sin 0ραα-=
C. 2
cos sin 0ραα-= D. 2cos sin 0αρα-=
（2）（不等式选做题）设，若不等式对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是（ ）
A. 3
(,]2
-∞- B. 3
[,)2
+∞ C. 33[,]22-
D. 33
(,][,)22
-∞-+∞
三.填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分）
12．已知二项式5
31()x x -展开式中的常数项为p ,且函数221,10()3,01
10
x x f x p x x ⎧--≤≤⎪
=⎨-<≤⎪⎩
, 则1
1()f x dx -=⎰___________.
13．如图，正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点G ，已知△A ′ED 是△AED 绕
DE 旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：
①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②恒有平面A ′GF ⊥平面BCED ；
③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值； ④直线A ′E 与BD 不可能垂直． 其中正确的命题的序号是________．
14．运行如右图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是 [0, 10]，则输入的x 的值的范围是 ．
15.已知数列{a n }中，a 1＝1，且P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *
)在直线x －y ＋1＝0上，若函数f (n )＝1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋
1n ＋a 3
＋…＋
1n ＋a n
(n ∈N *
，且n ≥2)，函数f (n )的最小值是________． 四、解答题（本题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 16．（本小题满分12分） 已知(cos sin ,3cos )m x x x ωωω=+，
()cos sin ,2sin n x x x ωωω=-，其中ω＞0．设函数f (x )＝m n ⋅，且函数f (x )的周期为π．
(Ⅰ) 求ω的值；
(Ⅱ)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等差数列，当f (B )＝1时，判断△ABC 的形状．
18.（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1. （1）求证：平面AB 1D⊥平面B 1BCC 1；
（2）求证：A 1C//平面AB 1D ；
（3）求平面BAB 1与平面DAB 1夹角的正切值.
19．（本小题满分12分）
数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2
n ＝a n (S n －1)．
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是等差数列；
(2)设b n ＝22
log
n n S S +，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥6的最小正整数n .
20．（本小题满分13分）
设点P 是圆x 2
＋y 2
＝4上任意一点，由点P 向x 轴作垂线PP 0，垂足为P 0，且0MP ＝
3
2
0PP . (1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A ，B . ①若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，求实数m 的取值范围；
②若以AB 为直径的圆过曲线C 与x 轴正半轴的交点Q ，求证：直线l 过定点(Q 点除外)，并求出该定点的坐标．
答案(理)
又∵0＜B ＜π，∴
6
π＜2B ＋
6
π＜
π6
13．∴2B ＋6π＝65π．∴B ＝3π．………………8分
∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ．…………………………………………………9分
∴cos B ＝cos 3π
＝21
2222=-+ac b c a , ∴()4
2
22c a c a ac +-
+=． 化简得a ＝c ，……………………………………………………………………………11分 又∵B ＝
3
π，∴△ABC 为正三角形．…………………………………………………12分
17．(本题满分12分)
（１）60个1×1×1
的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，
61
(0)6010
P ξ==
= … （3分） （２）由（1）可知
1(0)10P ξ==
；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2
(3)15P ξ== … （7分）
分布列
ξ
0 1 2 3
p
1
10 1130 25 215
… （10分）
E ξ=0×
110+1×1130+2×25+3×215=4730
…（12分 18.（本小题满分12分） 解法一：
证明：（1）因为B 1B⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD⊥B 1B （1分）
因为D 为正△ABC 中BC 的中点，所以AD⊥BD （2分） 又B 1B∩BC=B， 所以AD⊥平面B 1BCC 1 （3分） 又AD ⊂平面AB 1D ，故平面AB 1D⊥平面B 1BCC 1 （4分） （2）连接A 1B ，交AB 1于E ，连DE （5分）
因为点E 为矩形A 1ABB 1对角线的交点，所以E 为AB 1的中点 （6分） 又D 为BC 的中点，所以DE 为△A 1BC 的中位线，所以DE//A 1C （7分） 又DE ⊂平面AB 1D ，所以A 1C//平面AB 1D （8分） （3）解：过D 作DF⊥AB 于F ，过F 作FG⊥AB 1于G ，连接DG.
因为平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，DF⊥AB，所以DF⊥平面A 1ABB 1.
又AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以AB 1⊥DF.又FG⊥AB 1，所以AB 1⊥平面DFG ，所以AB 1⊥DG. （9分） 又AB 1⊥FG，所以∠DGF 为二面角B —AB 1—D 的平面角. （10分） 因为AA 1=AB=1，所以在正△ABC 中，34DF =
在332
,48
ABE FG BE ∆==中 （11分） 所以在6,tan 3
DF Rt DFG DGF FG ∆∠==中 （12分） 解法二：
解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：
13311
(((0,,0),(0,,1),22221
(0,,0),(0,0,0)(2)
2A A B B C D --分 （1）证明：由13
(
,0,0),(0,1,0),(0,0,1)2
AD BC BB ===， 得110,
,,0,
AD BC AD BC AD BB AD BB ⎧⋅=⊥⎧⎪⎨⎨⊥⋅=⎩⎪⎩所以
又BC∩⊥BB 1=B ，所以AD⊥平面B 1BCC 1. （4分） 又AD ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D⊥B 1BCC 1 （5分） （2）证明：连接A 1B ，交AB 1于E ，连DE ，
因为点E 为正方形A 1ABB 1对角线的交点，所以E 为AB 1的中点， 即311
(,).442
E - （6分）
11131131
(
,,),(,,1),
422
2,DE A C A C ED ==-=由得所以A C//ED.(7分)
又DE ⊂平面AB 1D ，所以A 1C//平面AB 1D （8分） （3
）解：设平面ABB 1的一个法向量为1111(,,),n x y z =
由11
11111
310,(1,22
0,AB n x y n BB n z ⎧⋅=-=⎪=⎨⎪⋅==⎩得 （9分） 设平面AB 1D 的一个法向量为2222(,,),n x y z =
由1222222231
0,
122(0,1,).23
0,2
AB n y z n AD n x ⎧
⋅=-+=
⎪⎪=⎨
⎪⋅=
=⎪⎩
得 （10分） 所以12cos ,n n <>=
=
（11分） 所以126tan ,3n n <>=
，依图可得二面角B —AB 1—D （12分） 19. (1)证明：∵2n S ＝a n (S n －1)，∴2
n S ＝(S n －S n －1)(S n －1)(n ≥2)．
∴S n S n －1＝S n －1－S n ，即1S n －1
S n －1
＝1.∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)解：由(1)知S n ＝1n ，∴b n ＝log 2n ＋2n
.
∴T n ＝log 2(31×42×53×64×…×n ＋2n )＝log 2(n ＋1)(n ＋2)2≥6.∴(n ＋1)(n ＋2)≥128.
∵n ∈N *
，∴n ≥10.∴满足T n ≥6的最小正整数为10.
20. 解：(1)设点M(x ，y)，P(x 0，y 0)，则由题意知P 0(x 0,0)．
由0MP ＝(x 0－x ，－y)，0PP ＝(0，－y 0)，且0MP ＝3
2
0PP ， 得(x 0－x ，－y)＝3
2(0，－y 0)．∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0－x ＝0，－y ＝－32y 0，于是⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 0＝x ，y 0＝23y.
又x 2
＋y 20
＝4，∴x 2
＋43y 2＝4.∴点M 的轨迹C 的方程为x 2
4＋y
2
3＝1.
(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y
2
3
＝1，
得(3＋4k 2
)x 2
＋8mkx ＋4(m 2
－3)＝0.∴Δ＝(8mk)2
－16 (3＋4k 2
)(m 2
－3)>0，
即3＋4k 2
－m 2
>0.(*),且⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k
2，
x 1x 2
＝4m 2
－3
3＋4k
2
.
①依题意，k 2＝y 1y 2x 1x 2，即k 2
＝kx 1＋m x 1·kx 2＋m x 2
.
∴x 1x 2k 2
＝k 2
x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2
.∴km(x 1＋x 2)＋m 2
＝0，
即km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8mk 3＋4k 2＋m 2＝0.∵m≠0，∴k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8k 3＋4k 2＋1＝0，解得k 2＝34. 将k 2＝34
代入(*)，得m 2
<6.∴m 的取值范围是(－6，0)∪(0，6)．
②证明：曲线x 24＋y
23
＝1与x 轴正半轴的交点为Q(2,0)．
依题意，AQ ⊥BQ ，即AQ ·BQ ＝0.于是(2－x 1，－y 1)·(2－x 2，－y 2)＝0. ∴x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1＋m)·(kx 2＋m)＝0，
∴(k 2
＋1)·4m 2
－33＋4k 2
＋(km －2)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8mk 3＋4k 2＋4＋m 2＝0.化简，得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0. 解得，m ＝－2k 或m ＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2
>0.
当m ＝－2k 时，直线l 的方程为y ＝k(x －2)，直线过定点(2,0)(舍去)；
当m ＝－2k 7时，直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫27，0. ∴直线l 过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫27，0. 21.【解析】（1）因为()2
2ln (0)a f x x a x x x
=+->，
所以()()222222
222()1x a x a a a x ax a f x x x x x +---'=--==． ①若0=a ，()x x f =，()x f 在()+∞,0上单调递增．
②若0>a ，当()0,2x a ∈时，()0f x '<， ()x f 在()a 2,0上单调递减；
当()2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()x f 在()+∞,2a 上单调递增．
③若0<a ，当()0,x a ∈-时，()0f x '<， ()x f 在()a -,0上单调递减；
当(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，()x f 在()+∞-,a 上单调递增．
综上：①当0=a 时，()x f 在()+∞,0上单调递增．
②当0>a 时，()x f 在()a 2,0上单调递减，()x f 在()+∞,2a 上单调递增． ③当0<a 时，()x f 在()a -,0上单调递减，()x f 在()+∞-,a 上单调递增．
（2）当1a =时，()()0ln 2
>-+
=x x x
x x f ． 由（1）知，若1a =，当()0,2x ∈时，()0f x '<，()x f 单调递减，
当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()x f 单调递增，
所以()()2ln 32min -==f x f ．
因为对任意的12,[1,e]x x ∈，都有12()()f x g x ≥成立， 问题等价于对于任意[]1,e x ∈，()()min f x g x ≥恒成立， 即23ln 224ln 2x bx --+-≥对于任意[]1,e x ∈恒成立， 即1
2b x x
+
≥对于任意[]1,e x ∈恒成立， 因为函数x x y 1
+=的导数21'10y x =-≥在[]1,e 上恒成立， 所以函数x x y 1+
=在[]1,e 上单调递增，所以max 11e e x x ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，
所以12e e b +≥，所以e 1
22e
b +≥．。