2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习课时达标检测：第九章 解析几何 (五十一) 圆锥曲线中的定点、

课时达标检测(五十一) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
一、全员必做题
1．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，上、下顶点分别是B 1，B 2，C 是B 1F 2的中点，若11B F ·12B F ＝2，且1CF ⊥12B F .
(1)求椭圆的方程；
(2)点Q 是椭圆上任意一点，A 1，A 2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA 1，QA 2与直线x ＝433
分别交于E ，F 两点，试证：以EF 为直径的圆与x 轴交于定点，并求该定点的坐标． 解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B 1(0，b )，
则C ⎝⎛⎭⎫c 2，b 2.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 11B F ·
12B F ＝2， 1CF ⊥12B F ，
即⎩⎪⎨⎪⎧ (－c ，－b )·
(c ，－b )＝2，⎝⎛⎭⎫－3c 2，－b 2·
(c ，－b )＝0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧ b 2－c 2＝2，
b 2＝3
c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
b 2＝3，
c 2＝1，从而a 2＝4， 故所求椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1. (2)证明：由(1)得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，
设Q (x 0，y 0)，易知x 0≠±2，
则直线QA 1的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，与直线x ＝433的交点E 的坐标为433，y 0x 0＋2⎝⎛⎭
⎫433＋2，
直线QA 2的方程为y ＝y 0
x 0－2(x －2)，与直线x ＝433
的交点F 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫433，y 0x 0－2⎝⎛⎭⎫433－2， 设以EF 为直径的圆与x 轴交于点H (m,0)，m ≠
433
， 则HE ⊥HF ，从而k HE ·k HF ＝－1， 即y 0x 0＋2⎝⎛⎭⎫433＋2433－m ·y 0x 0－2⎝⎛⎭⎫433－2433－m ＝－1， 即43y 20
x 20－4＝－⎝⎛⎭⎫433－m 2，① 由x 204＋y 203＝1得y 20＝3(4－x 20)4
.② 所以由①②得m ＝433
±1， 故以EF 为直径的圆与x 轴交于定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎫433＋1，0或⎝⎛⎭
⎫433－1，0. 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆E ：x 24
＋y 2＝1上的非坐标轴上的点，且4k OA ·k OB ＋1＝0(k OA ，k OB 分别为直线OA ，OB 的斜率)．
(1)证明：x 21＋x 22，y 21＋y 22均为定值；
(2)判断△OAB 的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：依题意，x 1，x 2，y 1，y 2均不为0，
则由4k OA ·k OB ＋1＝0，得4y 1y 2x 1x 2
＋1＝0， 化简得y 2＝－x 1x 24y 1
， 因为点A ，B 在椭圆上，
所以x 21＋4y 21＝4 ①，
x 22＋4y 22＝4 ②，
把y 2＝－x 1x 24y 1
代入②，整理得(x 21＋4y 21)x 22＝16y 21.
结合①得x 22＝4y 21，同理可得x 21＝4y 22，
从而x 21＋x 22＝4y 22＋x 22＝4，为定值，
y 21＋y 22＝y 21＋x 214
＝1，为定值． (2)S △OAB ＝12
|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝1
2x 21＋y 21·x 22＋y 22·1－cos 2∠AOB ＝12
x 21＋y 21·x 22＋y 22· 1－(x 1x 2＋y 1y 2)2(x 21＋y 21)(x 22＋y 22) ＝12 (x 21＋y 21)(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2
＝12
|x 1y 2－x 2y 1|. 由(1)知x 22＝4y 21，x 21＝4y 22，易知y 2＝－x 12，y 1＝x 22或y 2＝x 12，y 1＝－x 22
， S △OAB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12⎪⎪⎪⎪12x 21＋2y 21＝x 21＋4y 214
＝1， 因此△OAB 的面积为定值1.
3．(2017·河北质量检测)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1的右焦点为F (c,0)，且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为
32
，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF |＋|CF |＝4.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP 2＝4PA ·PB 成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)由椭圆的对称性知|GF |＋|CF |＝2a ＝4，
∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为
32， ∴bc a ＝32
，∴bc ＝3， 又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0，
∴b ＝3，c ＝1.
故椭圆E 的方程为x 24＋y 23
＝1. (2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．
故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得
(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，
∴Δ＝32(6k ＋3)＞0，∴k ＞－12
. x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2， ∵OP 2＝4PA ·PB ，
即4(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5，
∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，
即4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，
∴4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2) ＝4×4＋4k 2
3＋4k 2
＝5， 解得k ＝±12，k ＝－12
不符合题意，舍去． ∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12
x . 二、重点选做题
1．A 为曲线y ＝－(x －4)24
上任意一点，点B (2,0)为线段AC 的中点． (1)求动点C 的轨迹E 的方程；
(2)过轨迹E 的焦点F 作直线交轨迹E 于M ，N 两点，在圆x 2＋y 2＝1上是否存在一点P ，使得PM ，PN 分别为轨迹E 的切线？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设C (x ，y )，A (m ，n )，因为B (2,0)是AC 的中点，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝x ＋m 2，
0＝y ＋n 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝4－x ，n ＝－y ， 又n ＝－(m －4)24
，所以所求方程为x 2＝4y . (2)假设存在点P (x 0，y 0)，
设M ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，N ⎝⎛⎭⎫x 2，x 2
24，直线MN 的方程为y ＝kx ＋1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，
切线PM 的方程为y －x 214＝x 12
(x －x 1)， 将点P (x 0，y 0)代入化简得x 21－2x 1x 0＋4y 0＝0，
同理得x 22－2x 2x 0＋4y 0＝0，
所以知x 1，x 2是方程x 2－2x 0x ＋4y 0＝0的两根，
则x 1x 2＝4y 0＝－4，
所以y 0＝－1，代入圆的方程得x 0＝0，
所以存在点P (0，－1)，使得PM ，PN 分别为轨迹E 的切线．
2．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为22
，动直线y ＝x ＋m 交椭圆M 于不同的两点A ，B ，T (1,1)．
(1)求椭圆M 的标准方程；
(2)试问：△TAB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意得c a ＝22
，b ＝1，又a 2＝b 2＋c 2， 所以a ＝2，c ＝1，椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.
由题意得，Δ＝16m 2－24(m 2－1)>0，即m 2－3<0， 所以－3<m < 3.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23
， |AB |＝
(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2|x 1－x 2| ＝ 2 (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4
33－m 2.
又由题意得，T (1,1)到直线y ＝x ＋m 的距离d ＝|m |2
. 假设△TAB 的面积存在最大值，
则m ≠0，S △TAB ＝12|AB |d ＝12×433－m 2×
|m |2＝23(3－m 2)m 2. 由基本不等式得，S △TAB ≤23·(3－m 2)＋m 22＝22
， 当且仅当m ＝±62时取等号，而m ∈(－3，0)∪(0，3)，所以△TAB 面积的最大值为22
. 故△TAB 的面积存在最大值，且当m ＝±62时，△TAB 的面积取得最大值22
. 三、冲刺满分题
1．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝63
，过C 1的左焦点F 1的直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为2 2.
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设C 1的右焦点为F 2，在圆C 2上是否存在点P ，满足|PF 1|＝a 2
b
2|PF 2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．
解：(1)∵直线l 的方程为x －y ＋2＝0，
令y ＝0，得x ＝－2，即F 1(－2,0)，
∴c ＝2，
又e ＝c a ＝63
， ∴a 2＝6，b 2＝a 2－c 2＝2，
∴椭圆C 1的方程为x 26＋y 22
＝1. (2)∵圆心C 2(3,3)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|3－3＋2|2
＝2， 又直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为22， ∴r ＝ d 2＋⎝⎛⎭
⎫2222＝2＋2＝2， 故圆C 2的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.
设圆C 2上存在点P (x ，y )，满足|PF 1|＝a 2
b
2|PF 2|， 即|PF 1|＝3|PF 2|，且F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2，0)，
则(x ＋2)2＋y 2＝3(x －2)2＋y 2，
整理得⎝⎛⎭⎫x －522＋y 2＝94，它表示圆心是C ⎝⎛⎭⎫52，0，半径是32
的圆． ∵|CC 2|＝ ⎝⎛⎭⎫3－522＋(3－0)2＝372
， 故有2－32<|CC 2|<2＋32
，故圆C 与圆C 2相交，有两个公共点． ∴圆C 2上存在两个不同的点P ，满足|PF 1|＝a 2b
2|PF 2|.
2．如图，已知椭圆x 24＋y 2
3
＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与
x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．
(1)若点G 的横坐标为－14
，求直线AB 的斜率； (2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2.
试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？说明理由．
解：(1)由条件可得c 2＝a 2－b 2＝1，故F 点坐标为(－1,0)．
依题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 24＋y 2
3＝1， 整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－8k 2
4k 2＋3.
故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3
＝－14， 解得k ＝±12
， 故直线AB 的斜率为12或－12
. (2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直，即直线AB 斜率存在且不为零．
由(1)可得G ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3. 设D 点坐标为(x D,0)．
因为DG ⊥AB ，
所以3k
4k 2＋3
－4k 24k 2＋3
－x D ×k ＝－1，
解得x D ＝－k 2
4k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0. 因为△GFD ∽△OED ，
所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |.
所以 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝
⎛⎭⎪⎫－3k 4k 2＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3， 整理得8k 2＋9＝0.
因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.。