六年级 第3讲 目标人大附 几何二-圆与立体 定稿
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直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．
在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维 和抽象思维结合起来.
【例 4】（★★★）第 9 届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于 2 面 4 年 5 月 10 日在潮州举行，北京的 选手们用 N 个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是 2004，从左面看是 9 的模型(如图)．问：N 最大为多少？N 最小为多少？（第十届华杯赛 学而思整理）
乙 4. 【解】如图将圆对称分割后，B 与 A 中的部分区域能对应，B 仅比
丙 1
乙
A 多出一块矩形，所以两部分的面积差为：（2×2）×（1×2）=8 cm2．
2
甲
甲
5. 【解】阴影部分的面积等于以 AB 为半径的半圆加上扇形 ADE 减
去三角形 ABD，
所以阴影部分的面积= 2.52π ÷ 2 + 52π ÷ 8 − 5× 5 ÷ 2 =7.125（平方 乙
所以面积=π ×5÷6
学而思教育 08 年寒假 六年级
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讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组
【例 3】（★★★）草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴 着一只羊（见左下图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？
4 如图所示，在半径为 4cm 的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积 A 与其它部分面积 B 之差(大
减小)是
cm2． （实验中学 07 年期末考试题）
A 1B
2
B
A
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[总 结]：这种结论的运用对解题速度的提高有很大的提升，所以见过以后尽量学会运用！
【例 2】（★★★★）如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1．求阴影 部分的面积．
[方 法]：面积的加减 [思 路]：由于直接求阴影面积太麻烦,所以我们考虑用增加面积的方法来构造新图形．
【解】:由图可见,阴影面积等于 1 大圆面积减去一个小圆面积,再加上 120°的小扇形面积 6
所以左图阴影部分的面积等于 6.88÷2=3.44 平方厘米.
2. 【解】所以上面的正方体单个面的面积等于下面正方体单个面面积的 1/2，而塔形几何体每向上增 加一层，实际增加的表面积相当于增加该层 4 个正方形面的面积，所以塔形几何体的面积可以表示 为：
2
×
2
×
6
+
2
×
2
×
4
×
⎛ ⎜⎝
1 2
+
1 4
【例 5】右图是一个 5×4×4 的长方体，若上面有 2×1×4、2×1×5、3×1×4 的穿透的洞，则剩下部 分的表面积为多少平方单位？（人大附中考题 学而思整理）
【考点分析】立体几何：不规则形体的体积与表面积、穿透与空间想象，容斥原理
【解】： 内空=8+10+12-（2+3+2）+1=24（块） 所以，5×4×4-24=56（块） 表面积： 从内部向六个方向，整体观照： 前后：（3×4+2-2）×2=24（平方单位） 左右：（2×4+2-2）×2=16（平方单位） 上下：（2×5+2-3）×2=18（平方单位） 所以，内部表面积为 24+16+18=58(平方单位) 外部表面积为 5×4×4+4×4×2-2×(2+2+3)=98(平方单位) 所以，总表面积为 58+98=156(平方厘米)．
四、典型例题解析
【典型题目解析】 一、圆与扇形 【例 1】．（★★★） 在图中，一个圆的圆心是 O，半径 r＝9 厘米，∠1＝∠2＝15º．那么阴影部分的面 积是多少平方厘米？（π取 3.14．）
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2 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如左下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下 层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底 面面积）超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是_______.（实验中学 06 年期末考试题）
3 有一个棱长为 1 米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为 60 个小长方体(见左 下图)．这 60 个小长方体的表面积总和是______平方米．（06 年三帆中学考试题）
[总 结]：基础知识一定要牢记，象这种题就是考察学生的基础知识能力． [方法二]：运用 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【解】圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．这样的话，我们很快发现 ∠7＝2×（∠1+∠2）＝2×（15º+15º）=60°，所以面积=（60÷360）×π×9×9=42.39
丙
乙
厘米）．
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第三讲 小升初专项训练 几何二：圆和立体
一、小升初考试热点及命题方向
圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面．因为立体图形考察学生的空 间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可 以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生．
+
1 "#
时，塔形几何体的面积为：
2
×
2
×
6
+
2
×
2
×
4
×
⎛ ⎜⎝
1 2
+
1 4
+
1 8
+
1 16
⎞ ⎟⎠
=
24
+
8
+
4
+
2
+
1
=
39
，所以表面积要超过
39，个数至少为
6.
3. 【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了 2＋3＋4＝9（次），每切一次增加 2 个 面：2 平方米．所以表面积： 6＋2×9＝24（平方米）．
二、2008 年考点预测
2008 年的小升初考试如果考察圆与立体几何，不会难度太大，只需掌握我们本讲中所介绍的几类 基本题型，就可成功在握．考试热点将会出现在诸如水位问题和三维视图问题等题型．
三、主要常用数学方法
圆面积相关方法： 1. 割补法：涉及到圆或扇形与其他图形的组合图形的面积无法用公式直接求出，但通过几个基
【解】：由正面图形抽出的小正方体有 5×5=25 个，由侧面图形抽出的小正方体有 5×5=25 个，由底面 图形抽出的小正方体有 4×5=20 个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有 1×2+2×1+2×2=8 个，正 面图形和底面图形重合抽出的小正方体有 1×3+2×2=7 个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有 1×2+1×1+2×2=7 个 ， 三 个 面 的 图 形 共 同 重 合 抽 出 的 小 正 方 体 有 3 个 ． 根 据 容 斥 原 理 ， 25+25+20-8-7-7+3=51，所以共抽出了 51 个小正方体． 125-51=74，所以右图中剩下的小正方体有 74 个．
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名校真题 测试卷 3 （几何篇二）
测试时间：15 分钟
姓名_________ 测试成绩_________
1 如图 6 所示，长方形 ABCD，长是 8 cm，则阴影部分的面积 年期末考试题）
.（π = 3.14 ）（实验中学 07
[方法一]： [思 路]：要求扇形面积，只有知道圆心角的度数，所以我们退求圆心角．
【解】各角标号后见下图，因为 OA=OB=OC=半径，∠1＝∠2＝15º，所以∠3＝∠1＝∠2＝∠4＝15º ∠1+∠3＝15º+15º =30º，∠5＝∠6＝180º-30º=150°，所以∠7＝360º-150°×2=60° 所以面积=（60/360）×π×9×9=42.39
【解】可以将 2004 这个模型分为 5 行，第一行有 11 个方块，第二行有 7 个方块，第三行有 10 个方块，第四行有 6 个方块，第五行有 10 个 方块．因为从左边看是 9 的模型，所以第一行的宽度为 3 个方块，第二 行的宽度为 2 个方块，第三行的宽度为 3 个方块，第四行的宽度为 1 个方块，第五行的宽度为 3 个方 块．11×3+7×2+10×3+6×1+10×3=113，所以 N 最大为 113． 11+7+10+6+10=44，所以 N 最小是 44 块．但是，仅用 44 块显然不能满足从左边看是 9 的模型．由于模 型是粘贴出来而不是摆出来的，所以加上第二排的 3 块并不能减少第一排的方块．而加上第三排的 4 块 后，由于上面三块是连续的，所以可以在第一排去掉 2 块，仍然不会改变从正面看是 2004 的效 果．44+3+4-2=49，所以 N 最小为 49．
【巩固】一个由 125 个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大 正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右 图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？
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【前铺】（★★）用棱长是 1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方 厘米？
[方法一]： [思 路]：整体看待面积问题． 【解】：不管叠多高，上下两面的表面积总是 3×3；再看上下左右四个面，都是 2×3+1， 所以，总计 9×2+7×4=18+28=46． [方法二]： [思 路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积 【解】：从图中我们可以发现，总共有 14 个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=64，但总 共粘合了 18 个面，这样就减少了 18×1=18，所以剩下的表面积是 64-18=46． [方法三]：直接数数． [思 路]：通过图形，我们可以直接数出总共有 46 个面，每个面面积为 1，这样总共的表面积就是 46．
本图形的割补，即可将不规则的图形面积化作规则图形的面积进行加减计算. 2. 差不变原理：类似于直线型面积中的类似问题. 3. 容斥关系法：本质上还是割补法，只是涉及到面积的重复统计，只要将多计的面积去除.
立体几何相关数学方法： 1. 拼接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算. 2. 三视图法：主要适用于求正方体积木塔建图形的表面积计算.从上、前、左（下、后、右）这 几个基本视角，分析图形的表面. 3. 切片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算,将立体图形沿某个方向切 成多片，化立体为平面. 4. 套模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图,从最适合该立体图形的基本几何图形为模型. 再在该图形上进行切割.
5 如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是 年 101 中学试题）
A
D
平方厘米．( π 取 3．14) （2007
F E
B
C
【附答案】 1. 【解】阴影部分的面积实际上是右图阴影部分面积的一
半，长方形的长等于两个圆直径，宽等于 1 个圆直径， 所以右图的阴影部分的面积等于：
8×8 ÷ 2 − (8 ÷ 2 ÷ 2)2 ×π × 2 = 6.88
【解】：如右上图所示，羊活动的范围可以分为 A，B，C 三部分，
其中 A 是四分之三的圆，B、C 是四分之一的圆.所以羊活动的范
围是:
π × 302 × 3 + π × 202 × 1 + π ×102 × 1
4
4
4
= 3.14×（675+100+25）=2512 (米 2)
二、立体几何 小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、
在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维 和抽象思维结合起来.
【例 4】（★★★）第 9 届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于 2 面 4 年 5 月 10 日在潮州举行，北京的 选手们用 N 个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是 2004，从左面看是 9 的模型(如图)．问：N 最大为多少？N 最小为多少？（第十届华杯赛 学而思整理）
乙 4. 【解】如图将圆对称分割后，B 与 A 中的部分区域能对应，B 仅比
丙 1
乙
A 多出一块矩形，所以两部分的面积差为：（2×2）×（1×2）=8 cm2．
2
甲
甲
5. 【解】阴影部分的面积等于以 AB 为半径的半圆加上扇形 ADE 减
去三角形 ABD，
所以阴影部分的面积= 2.52π ÷ 2 + 52π ÷ 8 − 5× 5 ÷ 2 =7.125（平方 乙
所以面积=π ×5÷6
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讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组
【例 3】（★★★）草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴 着一只羊（见左下图）．问：这只羊能够活动的范围有多大？
4 如图所示，在半径为 4cm 的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积 A 与其它部分面积 B 之差(大
减小)是
cm2． （实验中学 07 年期末考试题）
A 1B
2
B
A
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讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组
[总 结]：这种结论的运用对解题速度的提高有很大的提升，所以见过以后尽量学会运用！
【例 2】（★★★★）如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1．求阴影 部分的面积．
[方 法]：面积的加减 [思 路]：由于直接求阴影面积太麻烦,所以我们考虑用增加面积的方法来构造新图形．
【解】:由图可见,阴影面积等于 1 大圆面积减去一个小圆面积,再加上 120°的小扇形面积 6
所以左图阴影部分的面积等于 6.88÷2=3.44 平方厘米.
2. 【解】所以上面的正方体单个面的面积等于下面正方体单个面面积的 1/2，而塔形几何体每向上增 加一层，实际增加的表面积相当于增加该层 4 个正方形面的面积，所以塔形几何体的面积可以表示 为：
2
×
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6
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⎛ ⎜⎝
1 2
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【例 5】右图是一个 5×4×4 的长方体，若上面有 2×1×4、2×1×5、3×1×4 的穿透的洞，则剩下部 分的表面积为多少平方单位？（人大附中考题 学而思整理）
【考点分析】立体几何：不规则形体的体积与表面积、穿透与空间想象，容斥原理
【解】： 内空=8+10+12-（2+3+2）+1=24（块） 所以，5×4×4-24=56（块） 表面积： 从内部向六个方向，整体观照： 前后：（3×4+2-2）×2=24（平方单位） 左右：（2×4+2-2）×2=16（平方单位） 上下：（2×5+2-3）×2=18（平方单位） 所以，内部表面积为 24+16+18=58(平方单位) 外部表面积为 5×4×4+4×4×2-2×(2+2+3)=98(平方单位) 所以，总表面积为 58+98=156(平方厘米)．
四、典型例题解析
【典型题目解析】 一、圆与扇形 【例 1】．（★★★） 在图中，一个圆的圆心是 O，半径 r＝9 厘米，∠1＝∠2＝15º．那么阴影部分的面 积是多少平方厘米？（π取 3.14．）
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讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组
2 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如左下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下 层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底 面面积）超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是_______.（实验中学 06 年期末考试题）
3 有一个棱长为 1 米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为 60 个小长方体(见左 下图)．这 60 个小长方体的表面积总和是______平方米．（06 年三帆中学考试题）
[总 结]：基础知识一定要牢记，象这种题就是考察学生的基础知识能力． [方法二]：运用 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【解】圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．这样的话，我们很快发现 ∠7＝2×（∠1+∠2）＝2×（15º+15º）=60°，所以面积=（60÷360）×π×9×9=42.39
丙
乙
厘米）．
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讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组
第三讲 小升初专项训练 几何二：圆和立体
一、小升初考试热点及命题方向
圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面．因为立体图形考察学生的空 间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可 以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生．
+
1 "#
时，塔形几何体的面积为：
2
×
2
×
6
+
2
×
2
×
4
×
⎛ ⎜⎝
1 2
+
1 4
+
1 8
+
1 16
⎞ ⎟⎠
=
24
+
8
+
4
+
2
+
1
=
39
，所以表面积要超过
39，个数至少为
6.
3. 【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了 2＋3＋4＝9（次），每切一次增加 2 个 面：2 平方米．所以表面积： 6＋2×9＝24（平方米）．
二、2008 年考点预测
2008 年的小升初考试如果考察圆与立体几何，不会难度太大，只需掌握我们本讲中所介绍的几类 基本题型，就可成功在握．考试热点将会出现在诸如水位问题和三维视图问题等题型．
三、主要常用数学方法
圆面积相关方法： 1. 割补法：涉及到圆或扇形与其他图形的组合图形的面积无法用公式直接求出，但通过几个基
【解】：由正面图形抽出的小正方体有 5×5=25 个，由侧面图形抽出的小正方体有 5×5=25 个，由底面 图形抽出的小正方体有 4×5=20 个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有 1×2+2×1+2×2=8 个，正 面图形和底面图形重合抽出的小正方体有 1×3+2×2=7 个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有 1×2+1×1+2×2=7 个 ， 三 个 面 的 图 形 共 同 重 合 抽 出 的 小 正 方 体 有 3 个 ． 根 据 容 斥 原 理 ， 25+25+20-8-7-7+3=51，所以共抽出了 51 个小正方体． 125-51=74，所以右图中剩下的小正方体有 74 个．
讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组
名校真题 测试卷 3 （几何篇二）
测试时间：15 分钟
姓名_________ 测试成绩_________
1 如图 6 所示，长方形 ABCD，长是 8 cm，则阴影部分的面积 年期末考试题）
.（π = 3.14 ）（实验中学 07
[方法一]： [思 路]：要求扇形面积，只有知道圆心角的度数，所以我们退求圆心角．
【解】各角标号后见下图，因为 OA=OB=OC=半径，∠1＝∠2＝15º，所以∠3＝∠1＝∠2＝∠4＝15º ∠1+∠3＝15º+15º =30º，∠5＝∠6＝180º-30º=150°，所以∠7＝360º-150°×2=60° 所以面积=（60/360）×π×9×9=42.39
【解】可以将 2004 这个模型分为 5 行，第一行有 11 个方块，第二行有 7 个方块，第三行有 10 个方块，第四行有 6 个方块，第五行有 10 个 方块．因为从左边看是 9 的模型，所以第一行的宽度为 3 个方块，第二 行的宽度为 2 个方块，第三行的宽度为 3 个方块，第四行的宽度为 1 个方块，第五行的宽度为 3 个方 块．11×3+7×2+10×3+6×1+10×3=113，所以 N 最大为 113． 11+7+10+6+10=44，所以 N 最小是 44 块．但是，仅用 44 块显然不能满足从左边看是 9 的模型．由于模 型是粘贴出来而不是摆出来的，所以加上第二排的 3 块并不能减少第一排的方块．而加上第三排的 4 块 后，由于上面三块是连续的，所以可以在第一排去掉 2 块，仍然不会改变从正面看是 2004 的效 果．44+3+4-2=49，所以 N 最小为 49．
【巩固】一个由 125 个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大 正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右 图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？
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【前铺】（★★）用棱长是 1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方 厘米？
[方法一]： [思 路]：整体看待面积问题． 【解】：不管叠多高，上下两面的表面积总是 3×3；再看上下左右四个面，都是 2×3+1， 所以，总计 9×2+7×4=18+28=46． [方法二]： [思 路]：所有正方体表面积减去粘合的表面积 【解】：从图中我们可以发现，总共有 14 个正方体，这样我们知道总共的表面积是：6×14=64，但总 共粘合了 18 个面，这样就减少了 18×1=18，所以剩下的表面积是 64-18=46． [方法三]：直接数数． [思 路]：通过图形，我们可以直接数出总共有 46 个面，每个面面积为 1，这样总共的表面积就是 46．
本图形的割补，即可将不规则的图形面积化作规则图形的面积进行加减计算. 2. 差不变原理：类似于直线型面积中的类似问题. 3. 容斥关系法：本质上还是割补法，只是涉及到面积的重复统计，只要将多计的面积去除.
立体几何相关数学方法： 1. 拼接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算. 2. 三视图法：主要适用于求正方体积木塔建图形的表面积计算.从上、前、左（下、后、右）这 几个基本视角，分析图形的表面. 3. 切片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算,将立体图形沿某个方向切 成多片，化立体为平面. 4. 套模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图,从最适合该立体图形的基本几何图形为模型. 再在该图形上进行切割.
5 如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是 年 101 中学试题）
A
D
平方厘米．( π 取 3．14) （2007
F E
B
C
【附答案】 1. 【解】阴影部分的面积实际上是右图阴影部分面积的一
半，长方形的长等于两个圆直径，宽等于 1 个圆直径， 所以右图的阴影部分的面积等于：
8×8 ÷ 2 − (8 ÷ 2 ÷ 2)2 ×π × 2 = 6.88
【解】：如右上图所示，羊活动的范围可以分为 A，B，C 三部分，
其中 A 是四分之三的圆，B、C 是四分之一的圆.所以羊活动的范
围是:
π × 302 × 3 + π × 202 × 1 + π ×102 × 1
4
4
4
= 3.14×（675+100+25）=2512 (米 2)
二、立体几何 小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、