高中数学：3.1.3 两角和与差的正切 教案 新人教B版必修4

3.1.3两角和与差的正切
一、教学目标：
1、知识与技能：
⑴掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。

⑵培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力；自学能力。

2、过程与方法：由学生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式，引导学生推导出两角和与差的正切公式，通过教师的提问，学生观察，分析，讨论及练习。

及时搜集反馈信息，动态调整教学过程，引导学生攻克难点，掌握重点。

3、情感态度、价值观：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。

二、教学重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。

教学难点：公式的逆向和变形应用。

三、教学过程：
1、复习引入
复习：两角和与差的正、余弦公式S
+
,S , C
+
,C
提出问题：复角αβ±与单角α，β的正弦、余弦函数存在以上关系，那么能否用tan tan αβ和来表示()tan αβ±呢？
2、两角和与差正切公式的推导及理解 T
+
,T
⑴tan(+)公式的推导（让学生回答）
∵cos (+)0
tan(+)=β
αβαβ
αβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=
++ 当
cos
cos
0时
分子分母同时除以cos cos
得：()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-
以
代
得：
⑵思考讨论：
①公式是如何推导出来的？有什么限制条件？ ②公式有何特点？如何记忆？ ③公式有何用处？有何变形？ ⑶注意：
1、必须在定义域范围内使用上述公式。

即：tan ，tan ，
tan(
±
)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只
需）用诱导公式来解。

2、注意公式的结构，尤其是符号。

3、()T αβ±公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+- 思考：公式cot ()αβ±=？ 3．公式的应用
例1.求下列各式的值： ①tan15， ②tan75，
③
︒
︒+︒
-︒26tan 71tan 126tan 71tan
解
： tan15= tan(4530)=
3
2636123
3333
3133
1-=-=+-=+
-
tan75=
tan(45+30)=
3
2636123
3333
3133
1+=+=-+=-
+
例2.不查表求值
①
75tan 175tan 1-+
②tan17+tan28+tan17tan28
③tan17tan 43+tan17tan30+tan 43tan30︒︒︒︒︒︒
解：①
()1tan 75tan 45+tan 75==tan 45+75=-31tan 751-tan 45tan 75+︒︒
︒︒-︒︒
②tan17+tan28
+tan17tan28=
()()tan 17+281-tan17tan 28+tan17tan 28=1︒︒︒︒︒︒
③
()
()()
tan17tan 43+tan17tan 30+tan 43tan 30=tan17tan 43+tan 30tan17+tan 433
=tan17tan 43+tan 17+431-tan17tan 433
=1
︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒
巩固练习：P140练习A1，2，3
例3. 如图，三个相同的正方形相接，求证：4
π
αβ+=．
解：由题意：1tan 2α=， 1tan 3
β=，
α
β
∴tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-1123111123
+
=
=-⨯， 0,02
2
π
π
αβ<<
<<
， ∴0αβπ<+<，所以，4
π
αβ+=．
例4：已知2tan()5
αβ+=，1tan()4
4
π
β-=，求tan()4
π
α+的值。

解
：
tan()4πα+tan[()()]4
παββ=+--tan()tan()41tan()tan()4π
αββπαββ+--=++-213542122
154
-==+⨯． 【变题】：已知2
cot 2,tan()3ααβ=-=-，求tan(2)βα-的值。

解：cot 2α=， ∴1
tan 2
α=，
∴tan(2)tan(2)βααβ-=--tan[()]αβα=--+
tan()tan 1
1tan()tan 8
αβααβα-+=-
=--．
巩固练习：P141练习B1，2，3 四、小结：
１．公式（
）的结构类似，应注意符号的差别，可以用
类比的方法记忆．这两个公式的作用在于用单角、的正切来表达复角
的正切．
２．有关两角和差的余切问题，一般都是将它由同角公式的倒数关系化为两角和差的正切，用公式来解决．
３．“化未知为已知”是推导公式和数学解题的常用方法；“公式的逆用”与“１的变式”是数学解题中常用的技巧。

我们应该熟练掌握这些方法和技巧．
五、作业： P141 练习3-1A中5 P142 习题3-1B 1，4，5，6，7。