概率公式大全

概率公式大全
第一章随机事件和概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验
公式整理
1．随机事件及其概率 吸收律：
A
AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( A
B A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)(
)
(AB A B A B A -==-
反演律：B
A B A =⋃
B
A A
B ⋃=
n
i i
n
i i A A 1
1
=== n
i i
n
i i A A 1
1
===
2．概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ⊂
)
()()(A P B P A B P -=-⇒
对任意两个事件A , B , 有 )
()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃
)
()()(B P A P B A P +≤⋃
)()1()()()()(211
111
1
n n n
n
k j i k
j i n
j i j i n
i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++
-
=∑∑∑3
．条件概率 ()=A B P )
()(A P AB P
乘法公式
())
0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式
∑==n
i i AB P A P 1)
()( )
()(1
i n
i i
B A
P B P ⋅=∑=
Bayes 公式
)(A B P k )
()(A P AB P k =
∑==
n
i i
i
k k B A P B P B A P B P 1
)
()()
()(
4．随机变量及其分布 分布函数计算
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布
1
,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 )
,(p n B
若P ( A ) = p
n
k p p C k X P k n k
k n ,,1,0,)1()( =-==-
*Possion 定理 0lim >=∞
→λn
n np
有
,2,1,0!
)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C k
k
n n k n
k n n λλ
(3) Poisson 分布
)
(λP
,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λλ
6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U
⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-=其他,0,1
)(b x a a
b x f
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=1,
,0)(a b a x x F
(2) 指数分布
)
(λE
⎪⎩⎪⎨
⎧>=-其他,
00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0
,10,0)(x e x x F x
λ
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
+∞
<<∞-=
--x e x f x 2
22)(21)(σμσ
π
⎰
∞
---
=
x
t t
e
x F d 21)(2
22)(σμσ
π
*N (0,1) — 标准正态分布
+∞
<<∞-=-
x e
x x 2
221)(π
ϕ
+∞
<<∞-=
Φ⎰
∞
--
x t e
x x
t d 21
)(2
2π
7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞
-=x
y dvdu v u f y x F ),(),(
边缘分布函数与边缘密度函数 ⎰⎰∞-+∞
∞-=x
X
dvdu v u f x F ),()(
⎰+∞
∞-=dv
v x f x f X ),()( ⎰
⎰
∞-+∞
∞-=y
Y dudv
v u f y F ),()( ⎰+∞
∞
-=du
y u f y f Y ),()(
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,
0),(,1
),(G
y x A
y x f
(2)二维正态分布
+∞
<<-∞+∞<<∞-⨯-=
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x e
y x f y y x x ,121),(2
222212121212)
())((2)()1(212
21σμσσμμρσμρρ
σπσ9. 二维随机变量
的 条件分布
)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X
)()
()(>=y f y x f y f Y Y X Y ⎰⎰+∞∞
-+∞
∞
-==dy
y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(
⎰⎰+∞
∞
-+∞∞
-==dx
x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()(
)
(y x f Y X )
(),(y f y x f Y =
)
()
()(y f x f x y f Y X X Y =
)
(x y f X Y
)
(),(x f y x f X =
)
()
()(x f y f y x f X Y Y X =
10.随机变量的数字特征 数学期望
∑+∞
==1)(k k
k p x X E ⎰+∞
∞
-=dx
x xf X E )()(
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩)(k
X E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k
X E
X 的 k 阶中心矩)))(((k
X E X E -
X 的 方差)()))(((2
X D X E X E =-
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l
k
Y X E
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()l
k
Y E Y X E X E ))(())((--
X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY E
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数
XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--)()())())(((
X 的方差
D (X ) =
E ((X - E (X ))2) )()()(2
2
X E X E X D -=
协方差
()
))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=
)
()()(Y E X E XY E -=
())()()(2
1
Y D X D Y X D --±±
=
相关系数)
()(),cov(Y D X D Y X XY
=
ρ
⎰
∞
---
=
x
t t
e
x F d 21)(2
22)(σμσ
π
*N (0,1) — 标准正态分布 +∞
<<∞-=-
x e
x x 2
221)(πϕ
+∞
<<∞-=
Φ⎰
∞
--x t e x x
t d 21)(2
2π
7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞
-=x
y dvdu v u f y x F ),(),(
边缘分布函数与边缘密度函数 ⎰⎰∞-+∞
∞-=x
X
dvdu v u f x F ),()(
⎰+∞
∞
-=dv
v x f x f X ),()(
⎰
⎰
∞-+∞
∞-=y
Y dudv
v u f y F ),()(
⎰+∞
∞
-=du
y u f y f Y ),()(
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,
0),(,1
),(G
y x A
y x f
(2)二维正态分布
+∞
<<-∞+∞<<∞-⨯-=
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x e
y x f y y x x ,121),(2
222212121212)
())((2)()1(212
21σμσσμμρσμρρ
σπσ9. 二维随机变量
的 条件分布
)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X
)()
()(>=y f y x f y f Y Y X Y ⎰⎰+∞∞
-+∞
∞
-==dy
y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞
∞
-+∞∞
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)
(y x f Y X )()
,(y f y x f Y =
)
()
()(y f x f x y f Y X X Y =
)
(x y f X Y
)
(),(x f y x f X =
)
()
()(x f y f y x f X Y Y X =
10.随机变量的数字特征 数学期望
∑+∞
==1)(k k
k p x X E
⎰+∞
∞
-=dx
x xf X E )()(
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩)(k
X E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|k
X E
X 的 k 阶中心矩)))(((k
X E X E -
X 的 方差)()))(((2
X D X E X E =-
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l
k
Y X E
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()l
k
Y E Y X E X E ))(())((--
X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY E
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数
XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--)()())())(((
X 的方差
D (X ) =
E ((X - E (X ))2) )()()(2
2
X E X E X D -=
协方差
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)
()()(Y E X E XY E -=
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相关系数)
()(),cov(Y D X D Y X XY
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