初中平面几何一题多变

平面几何一题多变
在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的容、形式、条件、结论，做进一步的探讨, 真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，
解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现
“不变”，必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：
1、 变换命题的条件与结论；
2、 保留条件，深化结论；
3、 减弱条件，加强结论；
4、 探讨命题的推广；
5、 考查命题的特例；
6、 生根伸枝，图形变换；
7、 接力赛，一变再变；
8、 解法的多变等。

题1、已知，ZkREC 中，ZACB70度，D 为垂是=
求证，
01，图中有几条线段？
监 图中有几个角，是哪几个角？
03.图中有哪几个三角形，请你写出来.
04.图中和ZCAB 相等的是嘱些角？和ZCAB 互余的角是哪些角？
05. AAEC 中，BC 也上的高是哪条线段？ AABR 的垂心是()点-
0^ 求证:AC - - CD
07.求证；SAADC ： SACDB-^D ： DB
08、求证；AABC ^AACD ^ACBD
m 月芒==AD 奶
0L 求证；
BC- = BDAB
1 卜求证！ AC- + BC- - AB''
1U 如 S AC=3B,C,那么 5CD-2AB
12、 如果 AE =2BD-那么 A 咨=53。

'
13、
求证；IWD3 蜷址
14、 求证：二 以 从变中总结
CD 2 孙
15、设AB 的中点.为M,求证！AC- ^BC-
I日噌加题！的条件）DE_LA C于E, DF_LBC于F,
(2) 、CD^CECF AB
《3)、职AE = BC\必
17」增加题1的条件）CE平分曷CD
求证：^AD AB
低（增加题1的条件）在麋图中.作匕BCE=《BCD
木证；BDt DA^CE\ AE:
19、（增加题1的条件）AE平分Z BAC交BC于E,
求证：CE: EB=CD: CB 20、（增加题1的条件）CE平分Z BCD, AF平分Z BAC交BC于F 求证：（1） BF CE= BE DF
（2）AE±CF
（3）设AE与CD交于Q,贝U FQ IBC
21、已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD± AB, D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC 于E、F,
求证：CE: BC=CF: AC （注意本题和16题有无联系）
22、已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD± AB, D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E, 以BD为直径的圆交BC于F,
求证：EF是③O1和③O2的一条外公切线
23、已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD± AB, D为垂足，作以AC为直径的圆O1 ,和以
CD为弦的圆O2,
求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）
24、已知，△ ABC 中，Z ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足,
E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F,
求证：DF: CF=BC: AC 25、如图，O O1与OO2外切与点D, 公切线DO交外公切线EF于点O, 求证：OD是两圆半径的比例中项。

题14解答：
因为CD A2=AD DB
AC A2=AD AB
BCA2=BD AB
所以1/ACA2+1/BCA2
=1/ (AD AB) +1/ (BD AB)
=(AD+DB ) / (AD BD AB)
=AB/AD BD AB
=1/AD BD
=1/CDA2
15题解答：
因为M 为AB 的中点，所以AM=MB , AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM
ACA2-BCA2=AD*AB-DB*AB
=(AD-DB)AB
=2DM*AB
26、（在19题基础上增加一条平行线）
已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD ± AB, D为垂足，AE平分Z BAC交BC于E、交CD于F,
FGIAB 交BC 于点G,
求证：CE=BG
27、（在19题基础上增加一条平行线）
已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD ± AB, D为垂足，AE平分Z BAC交BC于E、交CD于F, FG旧C交AB于点G,连结EG,
求证：四边形CEGF是菱形
28、（对19题增加一个结论）
已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD ± AB, D为垂足，AE平分Z BAC交BC于E、交CD于F,
求证：CE=CF
29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD±AB, D为垂足，作以
AC为直径的圆O1 ,
求证：过点D的圆O1的切线平分BC
30、（在19题中增加一个圆）
已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD ± AB, D为垂足，AE平分Z BAC交BC于E,交CD于F, 求证：O CED平分线段AF
31、（在题1中增加一个条件）
已知，△ ABC 中，/ ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足，/ A=30 度，
求证：BD=AB/4
（沪科版八年级数学第117页第3题）
32、（在18题基础上增加一条直线）
已知，△ ABC 中，Z ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足，作Z BCE=Z BCD
P为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q,交CB于M,交CE于N
求证：PQ/PN=QM/MN
32题证明：
作NS CD交直线AC与点S,
则PQ/PN=CQ/SN
又/ BCE=/ BCD
••• QM/MN=CQ/CN （三角形角平分线性质定理）
/ BCE+ / NCS= / BCD + / ACD
NSICD, NSC= /ACD
• ./ NSC= / NCS
. .SN=CN
PQ/PN=QM/MN
题33
在题一中”，延长CB到E,使EB=CB,连结AE、DE, 求证：DE AB= AE BE
题33证明
CB A2= BD AB
因EB=CB
EBA2= BD AB
••• EB: BD=AB : BE
又/ EBD= / ABE
EBD^A ABE
••• EB: AB=DE : AE
DE AB= AE BE
题34
（在19题基础上增加一条垂线）
已知，△ ABC 中，/ ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足, AE平分CD于F, EG± AB交AB于点G,
求证：EGA2= BE EC
证明：延长AC、GE,设交点为H,
. EBG^A EHC
••• EB: EH=EG: EC
••• EH EG= BE EC
又HG ICD , CF=FD
••• EH=EG
••• EGA2= BE EC
题35 （在题19中增加点F）
已知，△ ABC 中，/ ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足, AE平分Z BCA交BC于点E,交CD于F,
求证：2CF FD = AF EF
题36、（在题16中，减弱条件，删除Z ACB=90度这个条件）
已知，△ ABC 中，CD± AB, D 为垂足，DE± AC 于E, DF± BC于F, 求证：CE/BC=CF/AC
题37
（在题17中，删除/ ACB=90度和CD ± AB, D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点, 满足Z ACD= / ABC）
已知，△ ABC中，D是AB上一点，满足/ ACD= / ABC,又CE平分Z BCD
求证：AE A2= AD AB
题38
已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD ± AB, D为垂足，PC为。

ABC的切线
求证：PA/AD=PB/BD
题39
（在题19中点E该为E为BC上任意一点”）
已知，△ ABC 中，/ ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足，
E为BC上任意一点，连结AE, CF± AE, F为垂足，连结DF,
求证：△ ADF^A AEB
题40:
已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD± AB, D为垂足
求证：S 。

ADC : S 。

BDC=AD : DB
题41
已知，如图，△ ABC 中， CD±AB, D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD , 求Z ACB 的度数。

题42
已知，CD 是△ ABC 的AB 边上的高， D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD ,
贝UZ ACB - -定是 90度吗？为什么？
题43:
已知，△ ABC 中，/ ACB=90度，CD± AB, D 为垂足，△ ADC 的切圆O O1 , △ BDC 的切圆O O2,
求证：S 。

O1 : SO O2=AD : DB
题44:
已知，△ ABC 中，/ ACB=90度，CD±AB, D 为垂足，△ ADC 的切圆O O1的半径 R1, △ BDC 的切圆O O2的半径 R2, △ ABC 的切圆O O 的半径 R,求证：R1+R2+R=CD
为直径的圆 O2,设O1和O2在^ ABC 交于P 求证： △ PAD 的面积和△ PBC 的面积相等 已知，△ ABC 中，Z ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足，作以 AC 为直径的圆 O1 ,和以BD
题45、
题45解：
/ CAP= / CDP= / DBP （圆周角、弦切角）
• RtA APCs RtA BPD
AP PD= BP PC
又/ APD 和/ CPB 互补（/ APC+ / BPD=180 度）
S △ PAD=1/2 AP PD sin / APD
S △ PBD=1/2 BP PC sin / CPB
S △ PAD= S △ PBD
题46 (在题38的基础上变一下)
已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD ± AB, D为垂足，PC为③ABC的切线，又CE平分Z ACB 交③ ABC 与E,交AB 与D , 若PA=5 , PC=10, 求CD CE的值
题47
在题46中，求sinZ PCA
题48 (由题19而变)
已知，△ ABC 中，/ ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足,
AE平分Z ACB交BC于E, EGL AB交AB于点G, 求证:(1) AC=AG
(2 )、AG A2= AD AB
(3) 、G在Z DCB的平分线上
(4) 、FG IBC
(5) 、四边形CEFG是菱形
题49
已知以为短危，求证1 °+顶3心+三二
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题49解答：
明^ 44 沮徊汹上点.uo 为I ¥.1巴布三•.在1形女匚四，
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—<1 -baX1 -S-b >—1 十言十b 十mb 寻1 十2+2—5
当MHL 叩△ASQ为节膘苴角三角形时，筲号崩立.
题目50 （题33再变）
已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD± AB, D为垂足，延长CB到E,使EB=CB,连结AE 交CD的延长线于F,如果此时AC=EC ,
求证：AF= 2FE
题50解：
过点E作EM ± CF, M 为垂足，则AD : DB=AC A2 : CB A2=4 : 1
又DB : EM=1 : 2
所以，AD : EM=2 : 1
△ ADFs^ EMF
•.• AF: EF=AD: EM=2 : 1
•.• AF=2EF
题目51 （题50中连一线）
已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD± AB, D为垂足，延长CB到E,使EB=CB,连结AE 交CD的延长线于F,连结FB,如果此时AC=EC,
求证：Z ABC= Z EBF
（题51的几种解法）
解法1、
作/ ACB的平分线交AB于点G,易证△ ACG^X CEF
. .CG=EF
•••ffiA CBG^X EBF
• ./ ABC= / EBF
题51解法2
作/ ACB的平分线交AB于点G,交AE于点P,
则点G 为△ ACE的垂心，GFCE
又/ AEC= / GCE,
四边形CGFE为等腰梯形
. .CG=EF
再证△ CBG^X EBF
• ./ ABC= / EBF
题51解法3
作/ ACB的平分线交AB于点G,交AE于点P,则点G为乙ACE的垂心，
易证△ APG^X CPF (AAS)
PG=PF
又/ GPB= / FPB,
PB=PB
PBG^A FBP (SAS)
• ./ PBG= / FBP
• ./ ABC= / EBF
题51解法4 (原题图)
由题50得,AF=2EF
••• AF: EF=AC: BE=2
又/ CAF= / BEF=45 度
. ACFs^ EBF
/ ACF= / EBF
又/ ACF= / CBA
• ./ ABC= / EBF
题51解法5
作ME ± CE交CD的延长线于M,
证^ AB"^ CME (ASA)
• ./ ABC= / M
再证△ MEF^X BEF (SAS)
• ./ EBM= / M
• ./ ABC= / EBF
题51解法6
作点B关于点C的对称点N，连结AN ,
则NB=2BE,又由题50, AF=2EF,
. .BF IAN
• ./ EBM= / N
又/ ABC= / N （对称点）
• ./ ABC= / EBF
E 题51解法7
过点C作CH IBF交AB于M ,
••- B为CE的中点，
••• F为HE的中点
又由题50 , AF=2EF,
••• H为AF的中点
又CH IBF
•••M为AB的中点
• . / MCB= / MBC
又/ EBM= / MCB
• ./ ABC= / EBF
题目52 (题50、51结论的引伸)
已知，△ ABE 中，AC=EC, ZACE=9 0 度, CD±AB交斜边AB于F, D为垂足，
B为CE的中点，连结FB,
求证：
(1) 、AF=2EF
(2) 、Z ABC= Z EBF
(3) 、Z EBF= Z E+ Z BAE
(4) 、Z ABF=2 Z DAC
(5) 、AB: BF=AE: EF
(6) 、CD: DF=AE: AF
(7) 、AD : DB=2AF : EF
(8) 、CD/DF FA/AE EB/BC=1
题目53 (题52的一部分)
已知如图，
①、AC=CE
②、AC± CE
③、CB=BE
④、CFL AB
求证：
⑤、AF=2EF
⑥、Z ABC= Z EBF
（题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明）
题目54 （题53的逆命题1）
已知如图，
⑤、AF=2EF
②、AC± CE
③、CB=BE
④、CFL AB
求证：
①、AC=CE
⑥、Z ABC= Z EBF
平面几何一题多变题目55 (题53的逆命题2) 已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
④、CFL AB
求证：
②、AC± CE
⑥、Z ABC= Z EBF
题目56 （题53的逆命题3）已知如图，
①、AC=CE
②、AC± CE
⑤、AF=2EF
④、CFL AB
求证：
③、CB=BE
⑥、Z ABC= Z EBF
题目57 （题53的逆命题4）已知如图，
①、AC=CE
②、AC± CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
求证：
④、CFL AB
⑥、Z ABC= Z EBF
题目58 （题53的逆命题5）已知如图，③、CB=BE
⑥、Z ABC= Z EBF
②、AC± CE
④、CFL AB
求证：
⑤、AF=2EF
①、AC=CE
题目59 （题53的逆命题6）已知如图，①、AC=CE
④、CFL AB
③、CB=BE
⑥、Z ABC= Z EBF
求证:
⑤、AF=2EF
②、AC± CE
题目60 （题53的逆命题7）已知如图，
①、AC=CE
②、AC± CE
⑥、Z ABC= Z EBF
④、CFL AB
求证：
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
题目61 （题53的逆命题8）已知如图，
①、AC=CE
②、AC± CE
③、CB=BE
⑥、Z ABC= Z EBF
求证：
⑤、AF=2EF
④、CFL AB
题目62 （题53的逆命题9）已知如图，⑤、AF=2EF
④、CFL AB
③、CB=BE
⑥、Z ABC= Z EBF
求证：
①、AC=CE
②、AC± CE
题目63 （题53的逆命题10）已知如图，②、AC± CE
⑤、AF=2EF
④、CFL AB
⑥、Z ABC= Z EBF
求证：
①、AC=CE
③、CB=BE
题目64 （题53的逆命题11）已知如图，③、CB=BE
⑥、Z ABC= Z EBF
②、AC± CE
⑤、AF=2EF
求证：
①、AC=CE
④、CFL AB
题目65 （题53的逆命题12）已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
④、CFL AB
⑥、Z ABC= Z EBF
求证：
②、AC± CE
③、CB=BE
题目66 （题53的逆命题13）已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
⑥、Z ABC= Z EBF
求证:
②、AC± CE
④、CFL AB
题目67 （题53的逆命题14）已知如图，
①、AC=CE
②、AC± CE
⑤、AF=2EF
⑥、Z ABC= Z EBF
求证：
③、CB=BE
④、CFL AB
题目68
已知如图，△ ABC中，Z ACB=90度，CD±AB, D为垂足, CM 平分Z ACB,如果，△ ACM=30 , S' DCM=6 , 求BCD= ?
(题68解答)
解：
设"BCD=x,则EACM/ S △ CMB=30/ (6+ x) =AM/MB
SA ACD/ S △ CDB=36/ x=AD/DB
又AC A2= AD AB
BC A2= BD AB
••• ACA2/ BCA2=AD/BD
••• CM 平分/ ACB
( AM/ BM ) A2=AD/BD
. . [30/(6+x)]A2=36/x
解方程得x=4或x=9
SA BCD=4 或SA BCD=9
题目69
已知如图，△ ABC中，/ ACB=90度，D为斜边AB上一点，满足AQA2= AD
AB 求证：CD± AB
题目70
已知如图，△ ABC 中，AC>BC, Z ACB=90 度,
CM 平分Z ACB,且CM+CB=AC , 求证：1/AC-1/BC= 3
题70证明：
过点M作MD ± BC, D为垂足，作MD ± AC, E为垂足,
设ME=x,AC=b,BC=a,则CM=以x, AE=b-x,
由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a,
x=ab/(a+b)
又CM+CB=AC
v2 x+a=b,
. . ab/(a+b)=(b-a)/ v2
整理得：bA2-aA2= v2ab
两边都除以ab,
1/AC-1/BC= v2
题目71（依题68变）
已知如图，△ ABC 中（AC>BC）, Z ACB=9 0 度，CD± AB, D 为垂足, CM平分Z ACB,且BC、AC 是方程x A2-14x+48=0 的两个根，求AD、MD的长。

题目71解：
显然，方程xA2-14x+48=0 的两根为6和8,
又AC>BC
AC=8 , BC=6
由勾股定理AB=10
△ ACDs^ ABC,得ACA2= AD AB
AD=6.4
••• CM 平分/ ACB
AM/MB=AC/CB
解得，AM=40/7
MD=AD-AM=24/35
题目72
已知如图，△ ABC中，/ ACB=90度，AB=2AC,现在将它折成如右图的形状，这时顶点正好落在BC上，而且△ A'MN是正三角形，
求^ A'MN与^ ABC的面积之比。

题72解：
ACB=90 度，AB=2AC
.•. / B=30 度
由题意，四边形AMA'N是菱形,
. A'BMs^ ABC
A'M/AC=BM/AB
设AM=x, AB=2AC=2a x/a=(2a-x)/2a x=2a/3
由三角形面积公式，得
SAA'MN : SAABC=2 : 9
题目73
已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD± AB, D为垂足求证：AB+CD>AC+BC
题73的证明：
由三角形面积公式，得AB CD=AC BC
2AB CD=2AC BC
又勾股定理，得AB A2=AC A2+BC A2
ABA2+2AB CD =ACA2+BCA2+2AC BC(等式性质)
ABA2+2AB CD = (AC+BC)人2
••• ABA2+2AB CD+CDA2 > (AC+BC)人2
(AB+CD)A2 > (AC+BC)人2
又AB、CD、AC、BC均大于零
AB+CD>AC+BC
题目74
已知，△ ABC中，/ ACB>90度，CDLAB, D为垂足求证：AB+CD>AC+BC 题74证明：如图，作CB'LAC交AB于B',
于是有
AB' CD=AC B'C
2AB' CD=2AC B'C
又勾股定理，得AB 'A2=ACA2+B 'CA2
AB'A2+2AB ' CD =AC「2+B 'CA2+2AC B'C(等式性质)
••• AB'A2+2AB ' CD = (AC+B 'C)人2
••• AB' A2+2AB ' CD+CDA2 > (AC+B 'C)人2
(AB'+CD)A2 > (AC+B 'C)人2
又AB '、CD、AC、B'C均大于零
••• AB' +CD>AC+B 'C••…①
在' ABB'中,BB'>CB-CB' • •…②
① +②得AB' BB'+CD>AC+B 'C CB-CB'
AB+CD>AC+BC
题目75
已知如图，△ ABC中，CD±AB, D为垂足，
CT平分Z ACB, CM为AB边上的中线，
且Z ACD= Z DCT= Z TCM= Z MCB
求证：/ ACB=90度
题目75的证明：
延长CT交三角形ABC的外接圆于N,连结MN,
则N为弧AB的中点，所以MN ±AB,
又CD ± AB,
. .MN CD
• . / DCT= / TNM
又/ DCT= / TCM
• . / TCM= / TNM
. .CM=NM
CN的垂直平分线必过点M , 又CM为AB边上的中线，MN ±AB
AB的垂直平分线必过点M , 即M为两条弦的垂直平分线的交点，•.•M为三角形ABC的外接圆的圆心，因此
AB^A ABC的外接圆的直径。

• . / ACB=90 度
题目76
已知，△ ABC 中，/ ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足, / ACB的平分线CG交AB边上的中垂线于点G , 求证：MC=MG
题目77
已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD± AB, D为垂足，CM为AB边上的中线，CD是Z ACB 的平分线,AC=75cm, BD=80cm,
求CD、CM、CE的长题目78
已知，△ ABC中，Z ACB=90度，CD± AB, D为垂足，E为。

ABC上一点,
且弧AC=弧CE,又AE交CD于M ,
求证：AM=CM
题目79 （题78再变）
已知，△ ABC 中，Z ACB=90度，CD± AB, D 为垂足，E 为。

ABC 上一点，且弧 AC=弧CE, 又BC 交AE 于G,连结BE
求证：BG A 2= AB BE- AG GE
题目80
已知，△ ABC 中，Z ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足, 线BE 交于P,
求证：CDA2= DM DP
E 为。

ABC 上一点，且直线 DC 于直 题目81
已知，△ ABC 中，Z ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足,
线BE 交于P,如果CD 平分AE,
求证：2DM DP= BE EP
E 为。

ABC 上一点，且直线 DC 于直 E 为。

ABC 上一点, 题目82
已知，△ ABC 中，/ ACB=90 度，CD± AB, D 为垂足,
且弧AC=弧CE,又直线AC与直线BE交于H,
求证：AB=BH
题目83（由题44变）
求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与切圆直径的和。

题目84
已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD± AB, D为垂足，MN切③ABC与C点求证：BC平分Z DCN
题目85
已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD± AB, D为垂足，MN切③ABC与C点, AF± MN , F为垂足，AE± MN , E为垂足，
求证：CD=CE=CF
题目86
已知，△ ABC中，/ ACB=90度，以BC为直径的圆交AB于点D,以AC为半径的圆交AB 于点E,
求证：Z BCE=Z DCE
题目87 （由题38图而变）
求证：和两定点距离之比等于定比（不为1）的点的轨迹是一个圆周。

（提示：从（1）完备性、（2）纯粹性两方面来证明。

）
题目88
作图题：
已知两线段之和及积，求作这两条线段。

已知：两线段m和n
求作：两线段x及y使x+y=m , xy=n A2
补个图（题88作法参考）
AD、BD即为求作线段x、y
n'
rn
题目89 （由题88变）
已知梯形ABCD如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。

题目90
利用下图，证明：两个正数之和为定值，则这两个数相等时乘积最大。

题目89作法：
如图，作两腰的延长线交于点O,作PBL AB使PB=OA,连结OP,
以OP为直径作半圆M，由圆心M作MN ± OP,交半圆于点N，再以O为圆心ON为半径画弧交AB 于点E,作EF IBC交CD于F,贝U EF即为所求线段。

题91（题73变）
设a、b、c、d都是正数，满足a/b=c/d,且a最大,
求证：a+d>b+c
题92 （人教版数学八年级下114页）
在RtAABC 中，Z ACB=90 度，CD±AB, D 为垂足，Z ACD=3 Z BCD, E是斜边AB 的中
点，
/ ECB是多少度？
题93 （题49 变）已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且Z A、/ B 都是锐角，
求Z A/2+ / B的值。

题目93解：（构造法）
分别以17、13为边作△ ABC,使AC=17, BC=13, CD为AB边上的高，
在Rt△ ADC 中，AD=17 cosA，在RtA BDC 中，BD=13 cosB ,
CD=17sinA=13sinB
而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17 ,
AC=AB, / B= / ACB,
.•. / A+2 / B=180 度
. . / A/2+ / B=90 度。

题94
已知如图，△ ABC的Z C的平分线交AB于D,交/\ ABC的外接圆于E,
若CD CE等于△ ABC面积的2倍
求证：/ ACB=90度
题目95
已知，△ ABC 中，Z ACB=90 度，CD ± AB, D 为垂足，CM 平分Z ACB 交AB 于M，若AC>BC 求证：Z DCM=1/2 （Z B- Z A）
题目96
已知，△ ABC中，/ ACB=90度，CD ± AB, D为垂足，CE为AB边上的中线，且DE=DC , 求^ ABC中较小的锐角的度数。

题目97
已知，△ ABC 中，Z ACB=90 度，CE平分Z ACB 交AB 于E,且EC+BC=AC,
求AC/BC
题97解: 设BC=a,AC=b,过点E作EH BC交AC于点H，作EFBC交BC于点F, 则四边形CHEF为形，设EH=x.则CE=A2X,由AH/EH=AC/BC，得(b-x)/x=b/a, x=(ab)/(a+b) 由题意得，a+ v2x=b
(ab)/(a+b)= (b-a)/ 以a,
得b A2- v2ab-a A2=0
b/a=(以+ 招)/2
即AC/BC=( v2+ A6)/2
题目98
已知，△ ABC中，Z ACB=90度，两直角边的差为23,
CD±AB, D 为垂足，BD-AD=2 招，
求^ ABC中的三边长。

题目99
圆接三角形ABC中，直径AB=4 , AB边上的高CD=2折，
求Z A的度数。

题目100
已知，△ ABC 中，CD± AB, D 为垂足，/ B=2 / A
求证：CB=AD-BD
题目101
已知，AB是③的直径，AB=4 , D是OB的中点，过点D的弦CELAB, 求弦CE的长。

（题54的解答）
已知如图，
⑤、AF=2EF
②、AC ±CE
③、CB=BE
④、CFL AB
求证：
①、AC=CE
⑥、/ ABC= / EBF
证明：
过点E作EM ±CF如图，由△ ADFs^ EMF 得AD : EM=AF : FM=2
又BD 为△ CEM的中位线，则BD : EM=1 : 2
AD : DB=4 : 1=ACA2:CBA2
AC : CB=2 : 1
又CB=BE
AC=CE （再由51的解答即有/ ABC= / EBF成立）
题55的解答
已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF=2EF
③、CB=BE
求证：
②、AC ±CE
⑥、/ ABC= / EBF
证明：过点E作EM±CF,如图
由^ ADFs^ EMF 得AD : EM=AF : FM=2
又BD 为△ CEM的中位线，则BD : EM=1 : 2 AD : DB=4 : 1
不妨设DB=x , CD=y，则AD=4x ,
由勾股定理得AC=寸（4x）A2+y A2],BC= V（x A2+y A2 ）又AC=2BC，得yA2=4xA2
即CDA2=AD DB
CD: AD=DB : CD, / ADC= / CDB=90 度
RtAADC s R^A CDB
•. / ACD= / CBD
又. . / BCD+ / CBD=90 度
•./ BCD+ / ACD=90 度，
即/ ACB=90度（再证/ ABC= / EBF成立）。