七年级数学上册 第四章 几何图形初步 4.3 角 4.3.3 余

7．如图 4－3－22，已知 OB 的方向是南偏东 60°，OA，OC 分别平分∠NOB 和∠NOE.
(1)请直接写出 OA 的方向，OC 的方向； (2)求∠AOC 的度数．
图 4－3－22
解：(1)OA 的方向是北偏东 60°，OC 的方向是北偏东 45°； (2)∵OB 的方向是南偏东 60°， ∴∠BOE＝90°－60°＝30°， ∴∠NOB＝30°＋90°＝120°. ∵OA 平分∠NOB，∴∠NOA＝12∠NOB＝60°. ∵OC 平分∠NOE， ∴∠NOC＝12∠NOE＝45°， ∴∠AOC＝∠NOA－∠NOC＝60°－45°＝15°.
称互补．
注 意：(1)互为余(补)角是指两个角，而非一个角，也不是三个角；
(2)互余(补)只与两角的大小有关，与位置无关．
3．余角、补角的性质 性 质：同角或等角的余角 相等 ，同角或等角的补角 相等 ．
4．方位角 说 明：方位角是表示方向的角，是确定物体位置的重要因素之一．
图 4－3－18 注 意：具体表示时，是南(或北)在先，再说偏东(或偏西)．如图 4－3－18， 称点 A 在点 O 的北偏东 30°方向．
3．如图 4－3－21，直线 AB，CD 交于点 O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3 ＝180°，所以∠1＝∠2 的依据是( C )
A．同角的余角相等 C．同角的补角相等
图 4－3－21 B．等角的余角相等 D．等角的补角相等
4．已知岛 P 位于岛 Q 的正西方，由岛 P，Q 分别测得船 R 位于南偏东 30°和 南偏西 45°方向上，符合条件的示意图是( D )
第四章 几何图形初步
4.3.3 余角和补角
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
★教学目标★ 1．掌握余角、补角的概念及其性质． 2．会利用互余、互补关系求出角的度数．
★情景问题引入★
(课件演示)计算： (1)44°＋46°＝ 90° ；
(2)30°20′34″＋59°39′26″＝ (3)10°＋25°＋55°＝ 90°；
解：(2)∵OC 平分∠AOE，而∠AOE 是平角， ∴∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°. 又∵∠DOB 是直角，∴∠1＋∠BOC＝90°， ∴∠1＝∠AOB. (3)∵∠COE＝∠AOC＝90°， ∴∠1＋∠DOE＝90°. 又∵∠1＋∠BOC＝90°， ∴∠DOE＝∠BOC＝65°.
A．110°Leabharlann B．70°C．30°
D．20°
4．[2017·常德]若一个角为 75°，则它的余角的度数为( D )
A．285°
B．105°
C．75°
D．15°
分层作业
1．如果∠A＝76°，∠B＝104°，那么∠A 是∠B 的( C )
A．直角
B．余角
C．补角
D．平角
2．下列说法正确的是( D ) A．90°角是余角 B．如果一个角有补角，那么它一定有余角 C．若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3 互补 D．66°角的余角是 24°角
类型之二 求一个角的余角或补角 一个角的补角比这个角的余角的 3 倍少 20°，求这个角的度数．
解：设这个角为 x，则这个角的余角为(90°－x)，补角为(180°－x)，由题意得 180°－x＝3(90°－x)－20°，
解得 x＝35°.∴这个角的度数是 35°. 【点悟】 几何问题也可以用代数方法求解，注意运用数形结合思想和方程 思想．
8．如图 4－3－23，点 O 在直线 AE 上，CO 平分∠AOE，∠DOB 是直角．
图 4－3－23 (1)∠1 的余角为 ∠DOE，∠BOC ， ∠AOB 的余角为 ∠BOC，∠DOE ， ∠DOE 的补角为 ∠AOD ； (2)请说明∠1＝∠AOB 的理由； (3)若∠BOC＝65°，求∠DOE 的度数．
5．[2017·泰兴市校级三模]若∠α＝32°22′，则∠α 的余角的度数为 57°38′ .
6．[2017·莲湖区期中]若一个角的补角是这个角的余角的 3 倍，求这个角的度 数．
解：设这个角是 x，则这个角的补角为 180°－x，余角为 90°－x， 所以 3(90°－x)＝180°－x， 整理，可得 2x＝90°，解得 x＝45°， 即这个角的度数为 45°.
90°；
(4)96°＋84°＝ 180°； (5)58°45′＋121°15′＝ 180° .
学生计算并回答，总结它们的特点．
1．余角
知识管理
余 角：如果两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角互为余角，简称
互余．
2．补角
补 角：如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角，简
归类探究
类型之一 余角和补角的概念的应用 如图 4－3－19，三条直线 AB，CD，EF 都经过点 O，且∠AOC＝90°.
(1)若∠1＝α，试用含 α 的式子表示∠2，∠3，∠4； (2)请在图中找出与∠1 互余的角，找出与∠1 互补的角．
图 4－3－19
解：(1)∠2＝90°－α，∠3＝90°－α，∠4＝α； (2)与∠1 互余的角有∠2 和∠3，与∠1 互补的角有∠EOD 和∠COF. 【点悟】 两个角互余(或互补)只与它们的数量关系(和为 90°或 180°)有关， 与它们的位置无关．
例 3 答图
当堂测评
1．下面图形中，能与 30°角互补的是( D )
2．如图 4－3－20，下面说法中不正确的是( C ) A．射线 OA 表示北偏东 30° B．射线 OB 表示西北方向 C．射线 OC 表示西偏南 80° D．射线 OD 表示南偏东 70°
图 4－3－20
3．[2017·广东]已知∠A＝70°，则∠A 的补角为( A )
类型之三 方位角 已知点 A 在点 O 的北偏西 20°方向上，点 B 在点 O 的南偏西 70°方向
上，OC 平分∠AOB，则点 C 在点 O 的什么方向上？
解：根据题意画出图形(如答图)，
则∠AOE＝20°，∠BOF＝70°. ∠AOB＝180°－∠AOE－∠BOF＝180°－20°－70°＝90°. 又∵OC 平分∠AOB， ∴∠AOC＝12∠AOB＝12×90°＝45°， ∴∠COE＝45°＋20°＝65°， ∴点 C 在点 O 的北偏西 65°的方向上．