三次B样条曲线

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1.1 一般样条函数的定义
给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0，1，…，n)，并设在区 间[a,b]上的Δ：a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,那么在〔a,b〕上的一个 (1)在每个小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函数。
函数 S(x) 称为K阶连续样条函数，如果它满足下面两个条件：
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l 1,2,...,n
B 样条曲线的性质

6. 保凸性
B样条曲线和Bezier曲线一样，也具有保凸性。即 当所有的控制顶点形成一个平面凸的闭多边形时， Pk,n(t) 是一条平面凸曲线。
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B 样条曲线的性质
7. 凸包性
当t∈〔0，1〕时，有0≤Gi,n(t)≤1 (i=0，1，…，n) 和
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，则称S(x)为插值样条函
1.2 三次样条函数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数， 如果满足下列条件: (1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分别 是三次多项式函数； (2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
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2.1 B 样条曲线的定义
给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0，1，…，m+n)，
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称n次参数曲线段 ：
Pk ,n (t ) Pi k Gi ,n (t ),
i 0 n
t [0,1]
为第k段n次B样条曲线段 (k=0，1，…，m)，这些曲线段 的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，…，n+m) 所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。 其中，基函数 Gi ,n (t ) 定义为：
曲线和曲面
1. 样条函数的概念

1.1: 一般样条函数的定义 1.2: 三次样条函数

1.3: 二次样条函数
2. B 样条曲线

2.1: B样条曲线的定义

2.5: 三次B样条曲线
2.2: B样条曲线基函数性 2.6: 二、三次B样条曲线的 质 应用 2.3: B样条曲线的性质


2.7: 非均匀B样条曲线
二次B样条曲线段 P0, 2 (t ) Pi Gi , 2 (t ) 是一段抛物线。
i 0 2
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二次B 样条曲线

二次B样条曲线的矩阵表示为：
1 1 0 P0 1 P0, 2 (t ) [1 t t 2 ] 2 2 0 P 1 2 1 2 1 P2 t [0,1]
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二次B 样条曲线

3. 当P0，P1，P2三顶点共线时，P0,2(t)(t∈〔0，1〕) 即蜕化为一段直线。 Pi=Pi+1(0＜i≤m-2)，则二次B样条曲线经过顶点Pi， 且在此处是尖点。
4. 当给定一组顶点P0，P1，…，Pm(m＞2)，若存在
三点共线的情况
尖点的情况
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1 n i Gi ,n (t ) (1) j Cnj1 (t n i j ) n n! j 0 t [0,1],
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B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
t 0, 1
三次B样条曲线

性质1：端点位置
1 1 P P2 2 P0,3 (0) ( P0 4 P1 P2 ) 0 P1 , 6 3 2 3 P0,3 (1) 1 ( P1 4 P2 P3 ) 1 P1 P3 2 P2 , 6 3 2 3
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
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B 样条曲线的性质

4. 对称性
具有如下性质： 1）有界正性：当 t [0,1] 时， Gi,n (t ) 1, 0
(i 0,1,...,n)
(i 0,1,...,n)
2）权性： 即
G
i 0
n
i ,n
(t ) 1,
t [0,1]
3）对称性：当 t [0,1] 时， i,n (t ) Gni,n (1 t ), G
B 样条曲线的基函数
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
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2.3 B 样条曲线的性质
1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1 个 顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一个 控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对 整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线时修 改某一局部的形状带来了很大的方便。
S ( k ) ( xi 0) S ( k ) ( xi 0), k 0,1,2,
即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi 具有二阶 连续拼接。
(3)满足插值条件yi =S(xi),i=0，1，…，n.
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1.3 二次样条函数
设定区间〔a,b〕上一个分割Δ ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如 果满足下列条件：
G
i 0
n
i ,n
(t ) 1 ，因此，根据凸包定义可知，对任何
t∈〔0，1〕，Pk,n(t) 必定在控制顶点构成的凸包之中。
如左图所示，六个控制 顶点控制的三次B样条 曲线由三段B样条曲线 段组成。其中，每一条 曲线段由四个顶点控制 且包含在四个顶点构成 的凸包之中。
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B 样条曲线的性质
它具有如下性质： 1. 端点位置：
1 P0, 2 (0) ( P0 P ), 1 2
2. 端点切矢：
1 P0, 2 (1) ( P2 P ) 1 2
1
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P 2 )1( 2 ,'0 P P
, 0 1 )0( 2,'0 P P P
二次B 样条曲线
如左图所示，六个控制 顶点控制的二次B样条 曲线由四段B样条曲线 段组成。其中，每一条 曲线段由相邻的三个顶 点控制。曲线段的起点 和终点同控制顶点的连 接边相切于连接边的终 点位置。
(2)在半节点 x
S (k ) ( x
1 i 2
i
0) S ( k ) ( x
1 2
(i=1，2，…，n)处成立
1 i 2
0),
k 0,1,
(3)满足插值条件 yi S ( xi ),
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i 0,1,...,n.
2. B 样条曲线
以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面 有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲 线或曲面不能作局部修改，控制多边形的一个 顶点发生了变化，整条Bezier曲线的形状便发生 变化；其二是Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。 因此，1972年，Gordon、Riesenfeld等人提出了 B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时， 克服了Bezier方法的弱点。
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk ,n (1 t ) P k Gi ,n (1 t ) i
i 0 n n
P k Gn i , n (t ) i
i 0
(t [0,1])
它表明了B样条曲线段的起点和终点的几何性质完全 相同。
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B 样条曲线的性质
三次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
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B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
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2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
1 n i Gi ,n (t ) (1) j Cnj1 (t n i j ) n n! j 0 t [0,1], i 0,1,...,n

8.变差缩减性
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2.4 二次B样条曲线
取n=2，则有二次B样条曲线的基函数如下 ：
1 G0,1 (t ) (t 1) 2 2 1 G1, 2 (t ) (2t 2 2t 1) , t [0,1] 2 G2, 2 (t ) 1 t 2 2
(1)在每个小区间 xi 1 , xi 1 2 2
i 0,1,...,n 内，S(x)是二次
多项式函数，这里， xi 1 xi x 1 (i 1,2,..., n), x 1 x0 , x 1 xn ,称为半节点； i n 2 2 2 2
n t [0,1], i 0,1,...,n; n 1
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4）递推性：Gi ,n (t ) 1 (i 1 t )Gi ,n 1 (t ) 1 (n i t )Gi 1,n 1 (t )
n
B 样条曲线的基函数
一次B 样条曲线的基函数
数字图像处理 二次B 样条曲线的基函数

2.4: 二次B样条曲线
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1. 样条函数概念
样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开始， 就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。
如左图所示，六个 控制顶点控制的三 次B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中，每一条 曲线段由四个顶点 控制。
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B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。
3. 连续性
t 0, 1
三次B样条曲线段 P ,3 (t ) 为： 0
1 (t ) 1 t t 2 t 3 6
P0,3


1 3 3 1
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1 0 0 3 0 6 3 0 3 3 1 4
P0 P 1 , P2 P3
2.5 三次B样条曲线
取n=3，则有三次B样条曲线的基函数如下：
G0,3 G1,3 G2 ,3 G 3, 3 1 ( t 3 3t 2 3t 1), 6 1 (t ) (3t 3 6t 2 4), 6 1 (t ) ( 3t 3 3t 2 3t 1), 6 1 (t ) t 3 , 6 (t )
(2)在xi(i=1，2，…，n-1)处成立
即S(x)在拼接点处xi( k ) ( xi 0), S ( k ) ( xi 0) S (i＝1，2，…，-1)也具有K阶连续， k n 0,1,...,K , 这也就是S(x)在整个区间[a,b]上具有K阶连续。 若S(x)满足 数。
yi S ( xi ) i 0,1...n
5.递推性
n次B样条曲线段的递推曲线表示形式： l 0 Pi k i Pk ,l (t ) i ,l (t ) Pki,l 1 (t ) i ,l (t ) Pki,11 (t ), l 1,2,...,n, l
k 0,1,...,m 其中： 1 i ,l (t ) (i 1 t ); n l 1 1 i ,l (t ) ( n l i t ); n l 1 t [0,1]; i 0,1,...,n l ;