最新高考数学(文)一轮教学案：第六章第2讲 等差数列及前n项和 Word版含解析

第2讲 等差数列及前n 项和
考纲展示 命题探究
考点一 等差数列的概念及运算
1 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．
2 等差中项
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.
3 等差数列的通项公式及其变形
通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *.
4 等差数列的前n 项和
等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)
2d . 5 等差数列的单调性
当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列．
注意点 定义法证明等差数列时的注意事项
(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4
－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数
列{a n }为等差数列．
(2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －
a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义.
1．思维辨析
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1
＝a n ＋a n ＋2.( )
(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )
(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )
(5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( )
A ．1
B.53
C ．2
D ．3
答案 C
解析 因为S 3＝(a 1＋a 3)×3
2
＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 1
2＝2.
3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
答案 C
解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)
2
＝3a 2＝12，∴a 2＝4. ∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2.
∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C.
[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．
命题法1 等差数列的基本运算
典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50.
(1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .
[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，
得方程组⎩⎨
⎧
a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.
解得a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10；
(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)
2d ，S n ＝242，
得方程12n ＋n (n －1)
2×2＝242，
解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．
【解题法】 等差数列计算中的两个技巧
(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，
d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问
题．
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，
而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用
方法．
命题法2 等差数列的判定与证明
典例2 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．
[解](1)证明：∵a n＋2＝2a n＋1－a n＋2，
∴b n＋1－b n＝a n＋2－a n＋1－(a n＋1－a n)
＝2a n＋1－a n＋2－2a n＋1＋a n＝2.
∴{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)得b n＝1＋2(n－1)，即a n＋1－a n＝2n－1，
∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，
…，a n－a n－1＝2n－3，累加法可得
a n－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝(n－1)2，
∴a n＝n2－2n＋2.
【解题法】等差数列的判定方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数．
(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)成立．
(3)通项公式法：验证a n＝pn＋q.
(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn.
1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()
A．－1 B．0
C．1 D．6
答案 B
解析设数列{a n}的公差为d，由a4＝a2＋2d，a2＝4，a4＝2，得2＝4＋2d，d＝－1，∴a6＝a4＋2d＝0.故选B.
2.已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n.若a3，a4，a8成等比数列，则()
扫一扫·听名师解题
A ．a 1d >0，dS 4>0
B ．a 1d <0，dS 4<0
C ．a 1d >0，dS 4<0
D ．a 1d <0，dS 4>0 答案 B
解析 由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2
，整理得d (5d
＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－5
3d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d
＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2
<0，故选B.
3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．
答案 －12
解析 由已知得S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×3
2×(－
1)＝4a 1－6，而S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，
整理得2a 1＋1＝0，解得a 1＝－12.
4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．
(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解 (1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.
两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.
由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故a n＋2－a n＝4，由此可得
{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．
考点二等差数列的性质及应用
等差数列及其前n项和的性质
已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….
(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．
特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． (3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．
(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .
(5)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.
(6)在等差数列{a n }中，
①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n
a n ＋1
.
②若项数为奇数2n－1，则S2n
－1＝(2n－1)a n；S奇－S偶＝a n；
S奇
S偶
＝
n
n－1
.
(7)若数列{a n}与{b n}均为等差数列，且前n项和分别是S n和T n，
则S2m－1
T2m－1
＝
a m
b m.
(8)若数列{a n}，{b n}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列
{pa n}，{a n＋p}，{pa n＋qb n}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.
注意点前n项和性质的理解
等差数列{a n}中，设前n项和为S n，则S n，S2n，S3n的关系为2(S2n －S n)＝S n＋(S3n－S2n)不要理解为2S2n＝S n＋S3n.
1．思维辨析
(1)等差数列{a n}中，有a1＋a7＝a2＋a6.()
(2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为a－2d，a－d，a＋d，a＋2d.()
(3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a－d，a，a＋d.()
(4)求等差数列的前n项和的最值时，只需将它的前n项和进行配方，即得顶点为其最值处．()
答案(1)√(2)×(3)√(4)×
2．若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为()
A．12 B．18
C．22 D．44
答案 C
解析由题可知S11＝11(a1＋a11)
2
＝
11(a2＋a10)
2
＝11×4
2
＝22，故选
C.
3．在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝90，则a10－1
3a14的值为()
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
答案 A
解析 由题意知5a 8＝90，a 8＝18，a 10－13a 14＝a 1＋9d －1
3(a 1＋13d )
＝2
3a 8＝12，选A 项．
[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．
命题法1 等差数列性质的应用
典例1 等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )
A ．297
B ．144
C ．99
D ．66
[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13.
由a3＋a6＋a9＝27，得3a6＝27，a6＝9.
所以S9＝9(a1＋a9)
2
＝
9(a4＋a6)
2
＝
9×(13＋9)
2
＝9×11＝99，故选
C.
[答案] C
【解题法】应用等差数列性质应注意
(1)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如a n
＝a m＋(n－m)d，d＝a n－a m
n－m
，S2n－1＝(2n－1)a n，S n＝
n(a1＋a n)
2
＝
n(a2＋a n－1)
2(n，m∈N
*)等．
(2)如果{a n}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q( m，n，p，q∈N*)．一般地，a m＋a n≠a m＋n，必须是两项相加，当然也可以是a m－n＋a m＋n＝2a m.因此，若出现a m－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m(或其他项)有关的条件．
命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题
典例2 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？
[解] 解法一：由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×10
2d ，则d
＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1>0，所以－a 1
13<0.故当n ＝7时，S n 最大．
解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可
知S n ＝an 2
＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 1
13
<0，故当n ＝7时，S n 最大．
解法三：由解法一可知，d ＝－2
13a 1.要使S n 最大，则有
⎩⎨
⎧
a n ≥0，a n ＋1≤0，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫
－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－213a 1≤0，
解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．
解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，
即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，
故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，
所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．
【解题法】 求等差数列前n 项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和
的最值，但要注意n ∈N *.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取
得最值．
(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≥0
a n ＋1≤0
的项数n ，使
S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨
⎧
a n ≤0，
a n ＋1 ≥0
的项数n ，使S n 取最
小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使
S n 取最值的n 有两个．
1．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 答案 C
解析 若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若
{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条
件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝
a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 3
2>a 1a 3，所以C 正确．
2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 2012＋a 2021>0，a 2012·a 2021<0，则使
S n >0成立的最大自然数n 是( )
A ．4025
B ．4024
C ．4023
D ．4022
答案 B
解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0，a 2012＋a 2021>0，a 2012·a 2021<0，
假设a 2012<0<a 2021，则d >0，而a 1>0，可得a 2012＝a 1＋2011d >0，
矛盾，故不可能．
∴a 2012>0，a 2021<0.
再根据S 4024＝4024(a 1＋a 4024)
2
＝2012(a 2012＋a 2021)>0， 而S 4025＝4025a 2021<0，
因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.
3.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n
＝2n 3n ＋1，
则a n
b n
＝( )
A.23
B.2n －13n －1
C.2n ＋13n ＋1
D.2n －13n ＋4
答案 B
解析 a n b n ＝2a n
2b n ＝2n －1
2(a 1＋a 2n －1)
2n －12(b 1＋b 2n －1)
＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1
.
故选B.
4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝
________.
答案 10
解析 由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故
a 2＋a 8＝2a 5＝10.
5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2021，则
该数列的首项为________．
答案 5
解析 设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1
＋2021＝2×1010，解得a 1＝5.
6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
答案 ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，－78 解析
由题意知d <0且⎩⎨
⎧
a 8>0，a 9<0，
即⎩⎨
⎧
7＋7d >0，7＋8d <0，
解得－1<d <－
7
8.
7.若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．
答案8
解析根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0.又a8＋a9＝a7＋a10<0，∴a9<0，∴当n＝8时，{a n}的前n项和最大．
8．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求通项a n；
(2)求S n的最小值；
(3)若数列{b n}是等差数列，且b n＝
S n
n＋c
，求非零常数c.
解(1)因为数列{a n}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.
又a 3·a 4＝117，
所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，
又公差d >0，所以a 3<a 4，
所以a 3＝9，a 4＝13，
所以⎩⎨
⎧
a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，
所以⎩⎨
⎧
a 1＝1，d ＝4.
所以通项a n ＝4n －3.
(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4.
所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2
－n ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫n －142－18.
所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.
(3)由(2)知S n ＝2n 2
－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c
，
所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝15
3＋c
.
因为数列{b n }是等差数列，
所以2b 2＝b 1＋b 3，
即62＋c ×2＝11＋c ＋15
3＋c
， 所以2c 2＋c ＝0，
所以c ＝－1
2或c ＝0(舍去)，
故c ＝－1
2.
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 5＝15，则使其前n 项和S n 取得最小值时的n ＝________.
[错解]
[错因分析]等差数列的前n项和最值问题，可以通过找对称轴来确定，本题只关注到n∈N*，并未关注到n＝1与n＝2时，S1＝S2，导致错误．
[正解]∵a5＝9，S5＝15，∴a1＝－3，d＝3.
∴a n＝3n－6，S n＝3
2－92n.
2n
把S n看作是关于n的二次函数，其对称轴为n＝3
2.
∴当n＝1或n＝2时，S1＝S2且最小．
[心得体会]
………………………………………………
………………………………………………
时间：60分钟
基础组
1.[2021·冀州中学猜题]已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，S11＝99
2，则a12的值是()
A．15 B．30
C．31 D．64
答案 A
解析由题意可知2a8＝a7＋a9＝16⇒a8＝8，S11＝11(a1＋a11)
2
＝
11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝9
2，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，
故选A.
2．[2021·武邑中学仿真]已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2021＝( )
A ．1006×2021
B ．1006×2021
C ．1007×2021
D ．1007×2021
答案 C
解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n
＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为
0，公差为1的等差数列，S 2021＝2021×20212
＝1007×2021.故选C. 3．[2021·冀州中学期末]在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2
a n ＋1
＝
1a n ＋1a n ＋2
(n ∈N *)，则该数列的通项为( )
A ．a n ＝1
n B ．a n ＝2
n ＋1
C ．a n ＝2
n ＋2
D ．a n ＝3
n
答案 A
解析 由已知式2
a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1
a n ＋1
，知
⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1
a n
＝n ，即a n ＝1n .
4．[2021·衡水中学预测]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3
＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
答案 B
解析 S 3＝9，S 6－S 3＝36－9＝27，根据S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等
差数列，S 9－S 6＝45，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝45，故选B.
5．[2021·衡水二中期中]已知等差数列{a n }中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n ＝520，则a 7＝( )
A ．20
B ．40
C ．60
D ．80
答案 B
解析 前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中
间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n ＝520,520÷80不能整除，说明没有
偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝
13项，因此a 7是中间项，所以a 7＝40.
6．[2021·枣强中学模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S
2
＝4，则S 6
S 4
＝( )
A.94
B.32
C.53
D ．4
答案 A
解析 由S 4
S 2
＝4，可设S 2＝x ，S 4＝4x .
∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，
∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)．
则S 6＝3S 4－3S 2＝12x －3x ＝9x ，因此，S 6S 4
＝9x 4x ＝9
4.
7．[2021·衡水二中热身]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1
＝－3，a k ＋1＝3
2，S k ＝－12，则正整数k ＝______.
答案 13
解析 由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－21
2，又S k ＋1＝
(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)
2
＝(k ＋1)⎝
⎛
⎭⎪⎫－3＋322
＝－21
2，
解得k ＝13.
8.[2021·武邑中学期末]设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }
和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.
答案 14
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，
则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d
2)n ，
∴S n ＝
d 2n 2＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫a 1－d 2n ，
数列{S n }是等差数列，则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数)，则a 1－d
2＝0，S n ＝d
2n ，从而数列{S n }
的公差是
d
2，那么有d 2＝d ，d ＝0(舍去)或d ＝12，故a 1＝14.
9．[2021·衡水中学周测]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝10，S 5＝55，则a 10＝________.
答案 39
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋(a 1＋d )＝10，5a 1＋5×42d ＝55，
即⎩⎨
⎧
2a 1＋d ＝10，
a 1＋2d ＝11，
解得a 1＝3，d ＝4，a 10
＝a 1＋(10－1)d ＝39.
10．[2021·冀州中学月考]设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i ＝a 2i (i ＝1,2,3)，则数列{b n }的公比为________．
答案 3＋2 2
解析 设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d ，因为a 1<a 2，所以
d >0，又b 2
2＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d )2(a ＋d )2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2
或a 2
＝a 2
－d 2
(舍)，则d ＝±2a .若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 12＝(1－2)2
＝3－22<1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2a 12
＝3＋2 2.
11．[2021·衡水中学模拟]等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1
＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，
又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－10
3≤d ≤
－52.
因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .
(2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫110－3n －113－3n . 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝13⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛ 110－3n －
⎭⎪⎪⎫113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫110－3n －110＝n 10(10－3n )
. 12．[2021·冀州中学期中]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：
a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *
)，a 1＝1
2，判断{a n }是否为等差数列，并
说明你的理由．
解 数列{a n }不是等差数列，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝
0，
∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，
∴1S n －1S n －1
＝2(n ≥2)，又S 1＝a 1＝12， ∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． ∴1S n
＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n . ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1
2(n －1)＝－12n (n －1)
，
∴a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－1
2n (n －1)
＝－1
2n
⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1)
. ∴当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }
不是一个等差数列．
能力组
13.[2021·衡水中学猜题]已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2
n ＝
a 2n ＋1＋a 2
n －1(n ≥2)，则a 6等于( )
A ．16
B ．8
C ．2 2
D ．4
答案 D
解析 由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可得，数列{a 2n }是首项为a 2
1＝1，
公差为a 22－a 21＝3的等差数列，由此可得a 2
n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，即
得a n ＝3n －2，∴a 6＝3×6－2＝4，故应选D.
14.[2021·衡水中学一轮检测]已知数列{a n }为等差数列，若a 11
a 10
<－
1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )
A ．11
B ．19
C ．20
D ．21
答案 B
解析 ∵a 11
a 10
<－1，且S n 有最大值，
∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，
∴S 19＝19(a 1＋a 19)2
＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2
＝10(a 10＋a 11)<0， 故使得S n >0的n 的最大值为19.
15.[2021·武邑中学猜题]已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，
依题意得⎩⎨
⎧
a 5＝a 1＋4d ＝12
a 20＝a 1＋19d ＝－18，
解得⎩⎨
⎧
a 1＝20d ＝－2
，
∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋22.
(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎨
⎧
－2n ＋22，n ≤11
2n －22，n >11
，
∴当n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝n (20－2n ＋22)
2
＝(21－n )n ；
当n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋
(n －11)(2＋2n －22)
2
＝n 2－21n ＋220. 综上所述，S n ＝⎩⎨
⎧
(21－n )n ，n ≤11
n 2－21n ＋220，n >11
.
16．[2021·冀州中学仿真]已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且满足2S n＝a2n＋n－4.
(1)求证{a n}为等差数列；
(2)求{a n}的通项公式．
解(1)证明：当n＝1时，
有2a1＝a21＋1－4，即a21－2a1－3＝0，
解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2S n－1＝a2n－1＋n－5，
又2S n＝a2n＋n－4，
两式相减得2a n＝a2n－a2n－1＋1，
即a2n－2a n＋1＝a2n－1，
也即(a n－1)2＝a2n－1，
因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.
若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1，
而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，
所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，
因此{a n}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)＝n＋2，即a n＝n＋2.。