实际流体总流的伯努利方程急变流

z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hl12
pA>pB： AB流动 pA=pB：AB流动
pA<pB： （ pB - pA ）/g< (z1-z2)，AB流动 （ pB - pA ）/g= (z1-z2)，静止 （ pB - pA ）/g >(z1-z2)， B A流动
dHp dl
4、总流伯努利方程的应用
能量方程的解题步骤 1. 选择断面: 计算断面应选择均匀流断面或渐变 流断面，且应选取已知数尽量多的断面。
2. 选择代表点:凡是均匀流和渐变流断面上的点均 可选作计算点。
3. 选择基准面:基准面可任意选定，但应以简化计 算为原则（ Z≥0）。 4.列能量方程解题注意与连续性方程等的联合使用。
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
1
1
z1 H , z2 0, 1 2 1
（1）当阀门关闭时 H p1 5m
g
2
qV
2
（2）当阀门打开时，不计水头损失
H p2 v22
g 2g
v2 7.67m/s
Q v2 A2 0.060 m3/s
（2）动能积分
A
u2 gudA
2g
A
u3 gdA
2g
解决速度水头 (动能)积分
用断面平均流速 v
代替 u ，v2 / 2g并不
能作为u 2 / 2g平均值
设 v2 / 2g 为速度水
头 u2 / 2g的平均值
*****************
称为动能修正系数。它是一个
大于1.0的数，大小取决于断面上
势能积分动能积分水头损失积分为把总流能量方程的表达一维化将测压管水头速度水头水头损失积分分开考虑1势能积分解决测压管水头势能积分均匀流过流断面测压管水头是常数过流断面取渐变流段渐变流近似于均匀流所以过流断面上的测压管水头可视为常数势能测压管水头积分
上次课内容回顾
流体平衡 微分方程
X

1

p x

g
2gh

p3
g
H p v42
g 2g
5 147150 9800
19.8066 2 2 9.8
0m
例3-3.水流通过如图所示之管路流入大气，已知 h = 0.2m，
h1 0.72mH2O ，d1 0.1m, d2 0.05m ，不计管中水头损失，
试求管中流量 Q
3、总流伯努利方程的物理意义和几何意义
z ——总流过流断面上某点 （所取计算点）单位重量 流体的位能，位置水头；
p ——总流过流断面上某点 ρg （所取计算点）单位重量
流体的压能，测压管高度 或压强水头； v2 ——总流过流断面上单位重 2g 量流体具有的平均动能，平 均速度水头；
hw ——总流两断面间单位重量流体平均的机械能损失；
HP

z

p ρg
单位重量流体的平均势能
H z p v2
g 2g
过流断面上单位重量 流体的平均机械能
注意
H 总水头线沿程单调下降，下降的快慢用水力坡度 i 表示
i dH dhw dl dl
HP 测压管水头线沿程可升、可降，也可不变，其变化情况
用测压管水头线坡度
ip
表示
ip
（3）当阀门打开时，若计水头损失 hw 2.5m
H

p2
g

v22 2g

hw
v2 3.145 m/s
Q v2 A2 0.0246 m3/s
例3-2 如图所示为大水箱连接一变截面管道。已知d1 100 mm ， d2 150 mm ，d3 125 mm ，d4 75mm ，自由液面上计示压强 p 147150Pa ，H 5m ，若不计损失，求通过管道的水的流量， 并绘制测压管水头线。

u12 2g
) gdQ

(z2

p2
g

u22 2g
) gdQ

hw
'
gdQ
总流是无数微元流动的累加：
单位时间总流两过流断面的能量关系：
A1
( z1

p1
g

u12 2g
)

gu1dA1

A2
( z2

p2
g

u22 2g
)

gu2
dA2

Q hw ' gdQ
A1

2
19.8066m
s
Q

v4

4
d 42
0.0875m3
s
v1

4Q
d12
11.14m
s
v2

4Q
d
2 2
4.95m
s
v3

4Q
d32
7.13m
s
H P1

z1

p1
g
H p v12
g 2g
5 147150 9800
11.14 2

13.68m
1
解：如图，取1-1，2-2断
d1
20m
面，以2-2断面为基准面，
1
hHg
h1
列1-1、2-2断面的能
A
B
量方程：
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g

h0 l12
2
2 0 15m
d2 Q
由题意， hl12 0 1 2 1 Hg 13600kg / m3
2）当能量方程不能直接求解时，要借助等压面 性质以及连续性方程联解。
三、伯努利方程式的工程应用
1、毕托管
毕
托
pA
管
g
测
速
h Ⅰ管
uA B
Ⅱ管pBg假设 ⅠⅡ 管的存 在不扰 动原流 场。
uA u 代 入 uB 0 zA zB 伯努利方程
pA u2 pB
g 2g g
u 2g( pB pA)
的流速分布。流速分布越均匀， 越接近于1.0；流速分布越不均匀，
越大。在一般渐变流中 值为1.05
********
－1.10为简单起见，常近似取1.0
u2 gudA v2 gQ
A 2g
2g
u3dA v3 A
2A
2
u3dA

A
v3 A
（3）水头损失积分 Q hw gdQ hw gQ
2、定常流动总流的伯努利方 程
质量力只有重力：微小流束的伯努利努方程
对总流积分
定常流动总流的伯利努方程
粘性流体微元流束伯努利方程：
z1

p1
g

u12 2g

z2

p2
g

u22 2g
hw
'
dQ u1dA1 u2dA2
单位时间黏性流体微元流动两过流断面的能量关系：
( z1

p1
g

v2
(
0.05) 0.1
2

v2 4
代入能量方程得：
52
1 2g
(
v2
4
)2
0 0 v22 2g
,
15 v22
16 2g
7,
v2
12.1m/ s
Q v2 A2 12.1 0.785 0.052 0.0237m3 / s
通过这一例题可知，1）两端面须选择未知数少的地方；
请思考
1.拿两只薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙 吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？ 为什么？
靠拢；流速增大、压强降低
2. 恒定总流能量方程的限制条件有哪些？
如何选取其计算断面、基准面、计算点、 压强标准？
3.水流在等径斜管流动，有高处A和低处B（不考 虑水头 损失）。讨论压强出现以下三种情况时的 情形的流体流动方向： pA>pB； pA=pB； pA<pB
例3-1：高压水箱的出水管如图所示，出水管的直径D=0.1m， 当阀门关闭时，压力表的读数为4.9×104N/m2，当阀门打开时 压力表的读数为1.96×104N/m2。不考虑水头损失时，试求出水 流量。若水头损失为2.5m时，求出水流量。 解：取O-O为水平基准面，列出1-1和2-2 的伯努利方程。

z

p
g


gudA
解决测压管水 头(势能)积分
均匀流过流断面测 压管水头是常数
渐变流近似于均匀流，所以过流断面 上的测压管水头可视为常数
过流断面取 渐变流段
势能（测压管水头）积分：A
z

p
g


gudA


z

p
g


gQ
急变流中同一过流断面上的测压管水头不是常数。因为急 变流中位变加速度不等于零，过流断面上有压差力、重力和惯 性力，不再是仅有压差力和重力相平衡的情况，惯性力也参与 进来，造成断面测压管水头不等于常数。
5 p1 v12 0 0 v22
g 2g
2g
由等压面求 p1
g
pA
g

Hg ghHg g
13.6 0.2 2.72mH2o
pB
g

p1
g
h1

pA
g
,
p1
g

pA
g
h1

2.72 0.72

2m
由连续性方程
v1

v2
(
d2 d1
)2
解：以O－O为基准面，a-a、4-4为计算断面，列伯努利方程
za

pa
g
ava2
2g

z4
p4
g
4v42
2g
H p 0 0 0 v42
g
2g
1
1
v4

2g H

p
g
2

2

9.8


5

147150 9800
A1
( z1

p1
g
) gv1dA1

A1
u12 2g
gv1dA1

A2
( z2

p2
g
)

gv2
dA2

A2
u22 2g
gv2dA2

Q hw ' gdQ
z1

p1
g
gQ1

1v12
2g
gQ1

z2

p2
g
gQ2
：
z1

p1
g

u12 2g

z2

p2
g

u22 2g
hw
二、实际流体总流的伯努利方程
1、缓变流及其性质
急变流——流线的曲率半径r 很小，流线之间的夹
角β很大的流动。
缓变流——流线的曲率半径r 无限大，流线之间的
夹角β无限小，即流线接近于平行直线的流动。
u u 0
是是 缓
0
Y

1

p y

0

Z

1

p z

0

p W C
理想流体运 动微分方程
实际流体运 动微分方程
X

1

p x

dux dt

Y
1

p y

dux dt

Z

1

p z

dux dt

p u2 W C
2
X

1
否
变
接
流
近
均 匀
否
急 变
流
流
流线虽不平行，但夹角较小; 流线虽有弯曲，但曲率较小。
流线间夹角较大;流线弯曲 的曲率较大;或二者兼有。
缓变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀
流动的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需 要根据实际情况来判定。
急变流示意图
缓变流其性质
缓变流性质： 1、过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2、过流断面上动压强与静压强分布规律相同，z即 ρpg C

2v22
2g
gQ2
hw gQ
两断面间无分流及汇流
Q1 Q2 Q
z1
p1
g
1v12
2g
z2

p2
g
2v22
2g
hw
粘性流体总流 伯努利方程
定常流动总流伯努利方程的限制条件
a. 流体为不可压缩的实际流体； b. 流体的运动为定常流动； c. 流体所受质量力只有重力； d. 所选取的两过流断面必须处在缓变流段中； e. 总流的流量沿程不变； g. 除了hw外，总流没有能量的输入或输出。
使用伯努利方程时的注意事项
a.必须选基准面，且方程中
Z1、Z
的基准面可任选，但必须
2
选择同一基准面，一般使 z 0 ;
b. A1、A2 必须取在缓变流段中，在 A1、A2 之间是否为缓变流， 则无关系；
c.方程中的压强 p1和 p2，既可用绝对压强，也可用相对压强， 但等式两边的标准必须一致；
d.当 hw 0 时，方程变为理想流体总流的伯努利方程。
e.选取过流断面除了满足缓变流条件外,还应使所选断面上未 知量尽量少,以简化伯努利方程的求解过程。
f.求解伯努利方程必须确定动能修正系数α,一般可以取 α1=α2=1.0计算。
g.当一个问题中有2-3个未知数的时候,伯努利方程需要和连续
方程、动量方程组成方程组联合求解。
p x
2ux

dux dt

Y

1
p y
2uy

duy dt

Z

1
p z
2uz

duz dt

§3.8 实际流体的伯努利方程及 其工程应用
一、实际流体微小流束的伯努利方程
实际流体的总水头线 沿着流体的流动路程是一 条下降的曲线。
实际流体微小流束伯努利方程
2 9.8
HP2

z2

p2
g
H p v22
g 2g
5 147150 9800
4.952 18.76m 2 9.8
H P3

z3

p3
g
H p v32
g 2g
5 147150 9800
7.132 17.42m 2 9.8
HP4

z3