高三数学上学期周考训练10 试题

赣榆县海头高级中学2021届高三数学上学期周考训练〔10〕
一、填空题：本大题一一共14题，每一小题5分，一共70分.请把答案填写上在答题纸相应位置上.
1．集合
{}
0,1,3M =，
{}
3,N x x a a M ==∈，那么M N = ▲ ．
2．假设复数1i
1i a +-为纯虚数，i 是虚数单位，那么实数a 的值是 ▲ ．
3．假设采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，
2，…，420，那么抽取的21人中，编号在区间[]241,360内的人数是 ▲ ．
4．在如下图的算法中，输出的i 的值是 ▲ ． 5．
{}n a 是等差数列，假设75230a a --=，那么9a 的值是 ▲ ．
6．假设将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，那么在1，2号盒子中各有一个球的概率是 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线的渐近线方程是2y x =±，且经过点，那么该双曲线的方程是 ▲ ．
8．假设
1cos()33απ-=，那么sin(2)
απ
-6的值是 ▲ ． 9．假设22
1a ab b -+=，a ，b 是实数，那么a b +的最大值是 ▲ ．
10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，假设各条棱长均为2，且M 为11AC
的中点，那么三棱锥1M AB C -的体积是 ▲ ．
A
B
C
1A
1B
1C
M
11．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，
2
()f x x x =+，那么关于x 的不等式()2f x <-的解集是 ▲ ．
12．光线通过点
()
3,4M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线通过点
()
2,6N ， 那
么反射光线所在直线的方程是 ▲ ．
13．如图，ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，假设向量
1
4AM AB m AC =
+⋅，且AM 的终点M 在ACD ∆的内部〔不含边界〕，那么AM BM ⋅的
取值范围是 ▲ ．
14．函数
22
()21f x x ax a =-+-，假设关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，那么
实数a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分，请在答题纸指定的区域内答题，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15．〔此题满分是14分〕
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
3B π
∠=
．
〔1〕假设2a =，b =，求c 的值；
〔2〕假设tan A =，求tan C 的值．
16．〔此题满分是14分〕
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且PB PD =． 〔1〕求证：BD PC ⊥；
〔2〕假设平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．
17．〔此题满分是14分〕
如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．AB 为直径，且2AB =km,O 为圆心，C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且CD ∥AB ．如今准备从A 经过C 到
D 建造一条观光道路，其中A 到C 是圆弧 ，C 到D 是线段CD .设rad AOC x ∠=，观
光道路总长为km y .
〔1〕求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； 〔2〕求观光道路总长的最大值.
(第17题图)
O
(第16题图)
︵
AC
18．〔此题满分是16分〕
函数()e x
f x =〔其中e 是自然对数的底数〕，
2()1g x x ax =++，a ∈R ． 〔1〕记函数()()()F x f x g x =⋅，且0a >，求()F x 的单调增区间； 〔2〕假设对任意
12,x x ∈[]0,2，12x x ≠，均有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，务实数
a 的取值范围．
19．〔此题满分是16分〕
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22
12412x y +=,设00(,)
R x y 是椭圆C 上的任一点，从
原点O 向圆R ：
()()22
008
x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .
〔1〕假设直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； 〔2〕假设直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为
1k ，2k ，求证：21k k 为定值；
〔3〕试问2
2
OP OQ +是否为定值？假设是，求出该值；假设不是，说明理由．
20．〔此题满分是16分〕 数列
{}n a 是等差数列，其前n 项和为Sn ，假设410S =，1391S =．
〔1〕求
n S ；
〔2〕假设数列{Mn}满足条件：
1
1t M S =，当2n ≥时，
n
n t M S =－
1
n t S -，其中数列
{}n t 单
调递增，且11t =，n t *
∈N ．
①试找出一组2t ，3t ，使得2
2
13M M M =⋅；
②证明：对于数列{}n a ，一定存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平
方．
R
(第19题图)
数学Ⅱ 附加题局部
21 B. 二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量
210⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦e ，试求矩阵A ．
21C.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是
cos ,
1sin ,
x y αα=⎧⎨
=+⎩〔α是参数〕，假设以O
为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中一样的单位长度，建立极坐标系，求曲线
C 的极坐标方程．
22．〔本小题满分是10分〕
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=o
，1AB AC ==，13AA =，点E ，F 分别
在棱1BB ，1CC 上，且1113C F C C
=，1BE BB λ=，01λ<<．
〔1〕当
1
3λ=
时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；
〔2〕当直线1AA 与平面AEF 时，求λ的值．
F
B 1
1
A 1
C
23．数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N*，都有111111
22111n n n n
a a a a n n ++++<<+-+ 成立，
且
24a =．
〔1〕求
1a ，3a 的值；
〔2〕猜测数列{}n a 的通项公式，并给出证明．
数学参考答案与评分HY 数学Ⅰ 必做题局部
一、填空题：〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写上在答题卡相应位置上〕 1．
{}0,3 2．1 3．6 4．7 5．3
6． 29 7．2
214y x -= 8． 7
9-
9．2 10
11．(2,)+∞ 12．660x y --= 13．
()2,6- 14．(],2-∞-
二、解答题: 本大题一一共6小题， 15~17每一小题14分，18~20每一小题16分，一共计90分．请在答题卡指定的区域内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．〔1〕由余弦定理得，2
2
2
2cos b c a c a B =+-⋅， …………………………3分
因为
3B π
∠=
，2a =
，b =，
所以2
1242c c =+-，即2
280c c --= …………………………5分
解之得4c =，2c =-〔舍去〕．
所以4c =. ……………………………7分 〔2〕因为πA B C ++=
，tan A =，
tan B =
所以tan tan()C A B =-+ ……………………………9分
tan tan 1tan tan A B A B
+=-
-== ……………………11分
所以
tan C =
． ……………………………………14分
16．〔1〕连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ．
因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥ ……2分 又因为PB PD =，O 为BD 的中点， 所以BD PO ⊥ ……………………………………4分 又因为AC
PO O =
所以BD APC ⊥平面， 又因为PC APC ⊂平面
所以BD PC ⊥……………………………………7分
〔2〕因为四边形ABCD 为菱形，所以//BC AD …………………………9分 因为,AD PAD BC PAD ⊂ ⊄平面平面．
所以//BC PAD 平面 ………………………………………11分 又因为BC PBC ⊂平面，平面PBC 平面PAD l =．
所以//BC l ． ………………………………………………14分
17．(1)由题意知，1AC x x =⨯=， …………………………………2分
2cos CD x =， …………………………………5分
因为C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且//CD AB ，
所以
02x π<<所以2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫∈
⎪⎝⎭ ……………………7分 (2)记
()2cos f x x x
=+,那么()12sin f x x '=-， ………………………………9分
令()0f x '=，得
6x π
=
， ………………………………………………11分
列表
x
(0，6π) 6π
(6π，2π)
()f x ' ＋
－
f (x)
递增
极大值 递减
所以函数
()
f x 在
π
6x =
处获得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分
即()66f ππ
=+
答：观光道路总长的最大值为6π
+千米． ……………………………14分
18．〔1〕因为()()
2()()e 1x F x f x g x x ax =⋅=++，
所以()()()
e 11x F x x a x '=⎡++⎤+⎣⎦， ……………………2分
令
()0F x '>，因为0a >，得1x >-或者
()1x a <-+， ……………………5分
所以
()
F x 的单调增区间为(
)
,1a -∞--和(
)
1,-+∞； ……………………6分
〔2〕因为对任意12,x x ∈[]0,2且12x x ≠，均有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，
不妨设12
x x >，根据()e x
f x =在[]0,2上单调递增，
所以有
1212()()()()
f x f x
g x g x ->-对
12x x >恒成立，……………………8分
所以211212()()()()()()f x f x g x g x f x f x -<-<-对12,x x ∈[]0,2，1
2x x >恒成立，
即11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +>+⎧⎨
->-⎩对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，
所以()()f x g x +和()()f x g x -在[]0,2
都是单调递增函数，………………11分 当()()0f x g x ''
+≥在[]0,2上恒成立，
得
()e 20x x a ++≥在[]0,2
恒成立，得
()
e 2x
a x -+≥在[
]
0,2恒成立，
因为
()
e 2x x -+在[]0,2
上单调减函数，所以
()
e 2x
x -+在[
]
0,2上获得最大值1-，
解得1a -≥． ………………………………13分
当()()0f x g x ''
-≥在[]0,2上恒成立，
得
()e 20
x x a -+≥在[
]
0,2上恒成立，即e 2x a x -≤在[]0,2
上恒成立，
因为e 2x x -在[]0,ln 2上递减，在[]ln 2,2上单调递增， 所以e 2x x -在[]0,2
上获得最小值22ln 2-，
所以22ln 2a -≤， ……………………………15分 所以实数a 的取值范围为[
]
1,22ln 2--． ………………………16分
19．〔1〕由圆R 的方程知，圆R
的半径的半径r = 因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，
所以
4
OR ==，即
22
0016x y +=，①………………………………………1分 又点R 在椭圆C 上，所以22
001
2412x y +=，②……………………………………2分
联立①②，解得00x y ⎧=±⎪⎨
=±⎪
⎩ ……………………………………………………3分 所以所求圆R
的方程为(
(
2
2
8
x y ±+±=． ………………………4分
〔2〕因为直线OP ：
1y k x
=，OQ ：
2y k x
=，与圆R 相切，
=
,化简得
222
010010
(8)280
x k x y k y
--+-=
………………6分同理
222
020020
(8)280
x k x y k y
--+-=
，……………………………………………7分所以12
,k k
是方程
222
0000
(8)280
x k x y k y
--+-=
的两个不相等的实数根，
2
122
8
8
y
c
k k
a x
-
⋅===
-
…………………………8分因为点00
(,)
R x y
在椭圆C上，所以
22
001
2412
x y
+=
，即
22
00
1
12
2
y x
=-
，
所以
2
122
1
41
2
82
x
k k
x
-
==-
-
．………………………………10分〔3〕
22
OP OQ
+是定值，定值为36，……………………………………………11分理由如下：
法一：(i)当直线
,
OP OQ不落在坐标轴上时,设1122
(,),(,)
P x y Q x y
,
联立
1
22
,
1,
2412
y k x
x y
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
解得
2
12
1
2
21
12
1
24
,
12
24
.
12
x
k
k
y
k
⎧
=
⎪+
⎪
⎨
⎪=
⎪+
⎩………………………………………12分
所以
2
221
112
1
24(1)
12
k
x y
k
+
+=
+
，同理，得
2
222
222
2
24(1)
12
k
x y
k
+
+=
+
，…………13分
由
12
1
2
k k=-
，
所以
222222
1122
OP OQ x y x y
+=+++
22
12
22
12
24(1)24(1)
1212
k k
k k
++
=+
++
2
2
11
2
2
1
1
1
24(1())
24(1)2
1
1212()
2
k k
k
k
+-
+
=+
++-21
2
1
3672
12
k
k
+
=
+36
=……15分
(ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有
2236OP OQ +=， 综上：
22
36OP OQ +=． ……………………………………………………16分 法二：(i)当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y ,
因为12210k k +=，所以1212210y y x x +=,即2222121214y y x x =， ……………12分
因为1122(,),(,)P x y Q x y 在椭圆C 上，所以221122
221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2
21122
22
11221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
……………………………………………13分
所以22221212111(12)(12)224x x x x --=，整理得
22
1224x x +=， 所以22
22121211121212
22y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以
22
36OP OQ +=． ……………………………………………………15分 (ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有
22
36OP OQ +=， 综上：
22
36OP OQ +=． ………………………………………………16分 20．〔1〕设数列
{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
由410S =，1391S =，得11
43410213121391
2a d a d ⨯⎧
+=⎪⎪⎨
⨯⎪+=⎪⎩， ……………………2分
解得111a d =⎧⎨
=⎩，
所以
21(1)22n n n n n
S na d -+=+=
……………………………………………4分 〔2〕①因为
111
M S ==，
假设
22,t =221312M S S =-=-=，
()
33332132t t t M S S +=-=
-，
因为
2
213M M M =⋅， 所以()
331342t t +-=，()33114t t +=，此方程无整数解； ………………6分 假设23,t =231615M S S =-=-=，()
33333162t t t M S S +=-=-，
因为
2
213M M M =⋅， 所以()
3316252t t +-=，()33162t t +=，此方程无整数解；………………8分
假设
24,t =2411019M S S =-=-=，
()
333341102t t t M S S +=-=
-，
因为2
2
13M M M =⋅， 所以()
33110812t t +-=，()331182t t +=，解得3
13t =， 所以
24t =，313t =满足题意…………………………………………………10分
②由①知11t =，213t =+，23133t =++，那么11M =，223M =，2
39M =，
一般的取
2
1
31
1333
2n n n t --=+++
+=
， ………………………13分
此时31311222n n n t S ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，11131311222n n n t S ---⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
=
，
那么n M ＝n t S －1
n t S -＝()112
131313131112222322n n n n n ---⎛⎫⎛⎫
----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，
所以
n
M 为一整数平方．
因此存在数列
{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．……16分
数学Ⅱ局部 21．【选做题】
A ．(选修4—1：几何证明选讲)
因为BE 切⊙O 于点B ，所以CBE ∠60BAC =∠=， 因为2BE =，4BC =
，由余弦定理得EC =．………4分
又因为2
BE EC ED =⋅
，所以
ED =
，…………………8分
所以
CD EC ED =-==． ………………10分
B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕
设矩阵
a b A c d ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为
11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，那么有11111a b c
d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦ ①， ……4分
又因为
10⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，那么有
11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ② …6分 根据①②，那么有11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨
=⎪⎪=⎩,
,,
…………………………………………………8分 从而2101a b c d ==-==,,,,所以
2101A -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦． ……………………………10分 C ．〔选修4-4：坐标系与参数方程〕
由cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩得cos ,
1sin ,x y αα=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得
22(1)1x y +-=， …………4分 因为曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于1的圆．得2sin ρθ=．
〔第21—A 题图〕
即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． …………………………10分 D ．〔选修4－5：不等式选讲〕 因为
11,
ax ax a a -+--≥ ……………………………5分
所以原不等式解集为R 等价于1 1.
a -≥ 所以20.a a 或≥≤
所以实数a 的取值范围为(
]
[),02,-∞+∞． ………………………10分
22．建立如下图的空间直角坐标系A xyz -．
〔1〕因为AB=AC=1，1AA =3，
1
3λ=
，
所以各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F ．
(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-． …………2分
因为
12AE A F ==11
AE A F ⋅=-， 所以
111,1
cos 2
2AE A F AE A F AE A F
⋅=
=
=-
．所以向量AE 和1A F 所成的角为120o
，
所以异面直线AE 与1A F 所成角为60． ……………4分 〔2〕因为(1,0,3)E λ，(0,1,2)F ，所以(1,0,3),(0,1,2)AE AF λ==．
设平面AEF 的法向量为(,,)x y z =n ， 那么0AE ⋅=n ，且0AF ⋅=n ．
即30x z λ+=，且20y z +=．令1z =，那么3,2x y λ=-=-． 所以(3,2,1)λ=--n 是平面AEF 的一个法向量． ………6分
又1(0,0,3)AA =，那么
111
,cos 39AA AA AA =
=
=
n n n
又因为直线1AA 与平面AEF ，
x
A
=1
2
λ=
．………………10分23．〔1〕因为
1
1
11
11
22
11
1
n n
n n
a a
a a
n n
+
+
+
+<<+
-
+，24
a=
当1
n=时，由2121
1111
222
a a a a
⎛⎫
+<+<+
⎪
⎝⎭，即有11
1221
22
44
a a
+<+<+
，
解得
1
28
37
a
<<
．因为1
a
为正整数，故1
1
a=
．………………………………2分当2
n=时，由33
1111
262
44
a a
⎛⎫
+<+<+
⎪
⎝⎭，
解得3
810
a
<<
，所以3
9
a=
．…………………………………………………4分〔2〕由1
1
a=
，2
4
a=
，3
9
a=
，猜测：
2
n
a n
=
………………………………5分下面用数学归纳法证明．
1º当1
n=，2，3时，由〔1〕知2
n
a n
=
均成立．……………………………6分2º假设
()3
n k k
=≥
成立，那么
2
k
a k
=
，
由条件得
()
22
11
1111
212
k k
k k
a k a k
++
⎛⎫
+<++<+
⎪
⎝⎭，
所以
()()
2
3
1
2
1
1
11
k
k k k
k k
a
k k k
+
+-
+
<<
-+-，………………………………………8分所以
()()
22
1
2
11
11
11
k
k
k a k
k k k
+
+
+-<<++
-+-…………………………9分因为3
k≥，2
1
01
1
k
k k
+
<<
-+，
1
01
1
k
<<
-，
又1
k
a*
+
∈N
，所以
()2
1
1
k
a k
+
=+
．
即1
n k
=+时，2
n
a n
=
也成立．
由1º，2º知，对任意n *∈N ，2n a n =． ……………………………………10分
1．集合
{}1,2的子集个数为 ．
2．假如1i x y -+与i 3x -是一共轭复数〔x 、y 是实数〕，那么x y += ． 3．函数
()sin cos f x x x
=的最大值是 ．
4．等差数列
{}n a 中，12782,8a a a a +=+=，该数列前10项的和10S = ．
5．焦点为F 的抛物线)0(22>=p px y 过点)2,2(M ，那么=
MF ．
6．平面向量
(
)(
),23,2
3,1a b =
=-，那么a 与b 的夹角是 ．
7．函数
1
lg 1y x x =-+
的零点个数是 ．
8．直线30ax by --=与()x
f x xe =在点()1,e P 处的切线互相垂直，那么a b = ．
9．设命题p ：2
210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题q ：01a <<，那么p 是q 的 ．
〔填充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件〕
10．圆
22
:()()1(0)C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P ，Q 两点，假设090PCQ ∠=，那么实数a = ．
11．将函数π()2sin()(0)
3f x x ωω=->的图象，向左平移π3ω个单位，得到函数()y g x =的图象．假设()y g x =在
π[0,]
4上为增函数，那么ω的最大值为 . 12．AD 是ABC
∆的中线，假设120A ∠=，2-=⋅AC AB ， ．
13．函数
()()()2
21211x ax x f x ax x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，假设存在两个不相等的实数12,x x ，使得()1f x = ()
2f x ，那么实数a 的取值范围为 ．
14．设函数
()
2
()1f x x x =-，记()f x 在(]0,a 上的最大值为()F a ，
那么函数
()
()F a G a a
=
的最小值为__________.
二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分，请在答题纸指定的区域内答题，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15．〔此题满分是14分〕
ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=.
〔1〕求tan A 的值；
〔2〕假设,3
4
B c π
=
=，求ABC ∆的面积S .
16．〔此题满分是14分〕
如图，三棱柱ABC －A1B1C1中，M ，N 分别为AB ，B1C1的中点． 〔1〕求证：MN ∥平面AA1C1C ；
〔2〕假设CC1＝CB1，CA ＝CB ，平面CC1B1B ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥平面CMN ． ．
17．〔此题满分是14分〕
某公司销售一种液态工业产品，每升产品的本钱为30元，且每卖出一升产品需向税务 部门交税a 元(常数a *
∈N ，且2≤a ≤5)．设每升产品的售价为x 元 (35≤x ≤41)，根 据场调查，日销售量与x
e (e 为自然对数的底数)成反比例．当每升产品的售价为 40元时，日销售量为10升．
〔1〕求该公司的日利润y 与每升产品的售价x 的函数关系式；
〔2〕当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y 最大？并求出最大值(参考数据：取 4e =55，5e =148)．
A 1
A
B C
B 1
C
M N
〔第16题图〕
18．〔此题满分是16分〕
椭圆22
:24C x y +=．
求椭圆C 的离心率；
设O 为原点，假设点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆
222x y +=的位置关系，并证明你的结论.
19．〔此题满分是16分〕 等差数列
{}n a ，其前n 项和为n S ，假设4224,21n n S S a a ==+．
〔1〕求数列
{}n a 的通项公式；
〔2〕对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间()12,2m m +内的项的个数记为{}m b
①求数列
{}m b 的通项公式；
②记
2122m m m c b -=
-，数列{}m c 的前m 项和为m T ，求所有使得等式1m m T t T t +-=
-1
1t c +
成立的正整数,m t ．
20．〔此题满分是16分〕
函数
32
()()f x ax bx b a x =++-(a b 、是不同时为零的常数)，导函数为()f x '． 〔1〕当
1
3a =
时，假设存在[3,1]x ∈--，使得()0f x '>成立，求b 的取值范围；
〔2〕求证：函数()y f x '
=在(1,0)-内至少有一个零点；
〔3〕假设函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方
程
1
()4f x t
=-，在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，务实数t 的取值范围．
1． 4 2.
43-
3．21 4．30 5．25 6．120度 7．3 8．e 21
-
9．必要不充分 10．
25±
11．2 12．1 13．[)+∞,0 14．19
15、解：〔1〕2tan =A -------------------------------------------------------------------6分 〔2〕3=S ------------------------------------------------------------------------14分 16、证明：〔1〕取A1C1的中点P ，连接AP ，NP ．
因为C1N ＝NB1，C1P ＝PA1，所以NP ∥A1B1，NP ＝1
2A1B1． ……………… 2分
在三棱柱ABC －A1B1C1中，A1B1∥AB ，A1B1＝AB ． 故NP ∥AB ，且NP ＝1
2
AB ．
因为M 为AB 的中点，所以AM ＝1
2AB ．
所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ． 所以四边形AMNP 为平行四边形．
所以MN ∥AP ． ……………………………… 4分 因为AP ⊂平面AA1C1C ，MN ⊄平面AA1C1C ，
所以MN ∥平面AA1C1C ． ……………………………………… 6分 〔2〕因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ． …………………… 8分 因为CC1＝CB1，N 为B1C1的中点，所以CN ⊥B1C1． 在三棱柱ABC －A1B1C1中，BC ∥B1C1，所以CN ⊥BC ．
因为平面CC1B1B ⊥平面ABC ，平面CC1B1B ∩平面ABC ＝BC ．CN ⊂平面CC1B1B ， 所以CN ⊥平面ABC ． …………………………… 10分 因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥AB ． …………………………… 12分 因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN ＝C ，
所以AB ⊥平面CMN ． ………………………… 14分 17、解：〔1〕设日销售量
e x
k p =(k 为比例系数)， 因为当x =40时，p =10，所以k 40
10e =， …… 2分
从而4010e (30)
e x x a y --=，x []35 41∈，； …… 6分 〔2〕设30x t -=，
[]
5 11t ∈，，
A 1
A
B
C
B 1
C
M N
〔第16题图〕 P
那么401010e (30)10e ()=e e x t x a t a y ---=，[]5 11t ∈， 由
[]
1010e (1)0
e x
t a y --+'=
=，得t =a +1， …… 9分
因为5≤t≤11，2≤a≤5，*
a ∈N ，所以a+1=3，4，5，6， 假设a+1=3，4，5，那么0y '
≤，函数在[5，11]上单调递减，
所以当t =5即x =35时，
5
max 10(5)e 1480(5)y a a =-=-； …… 11分 假设a+1=6，列表：
所以当t =6即x =36
时，4
max 10e 550y ==，
答：假设a =2，3，4，那么当每升售价为35元时，日利润最大为5
10(5)e a -元； 假设a =5，那么当每升售价为36元时，日利润最大为550元．…… 14分
18、解：〔I 〕由题意，椭圆C 的HY 方程为22
142x y +=
所以
22
4,2a b ==，从而2222c a b =-=。

因此2,a c ==故椭圆C
的离心率
c e a =
=〔Ⅱ〕 直线AB 与圆
222x y +=相切，证明如下：设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中
00
x ≠，因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即
0020
tx y +=，解得
02y t x =-
当0x t =时，
2
02t y =，代入椭圆C
的方程，得t =，
故直线AB
的方程为x =O 到直线AB 的间隔
d =
此时直线AB 与圆
222x y +=相切 当0x t ≠时，直线AB 的方程为
002
2()y y x t x t --=
--，
即
0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=，
圆心0到直线AB 的间隔
d =
又
22
0024x y +=，0
02y t x =-
故
d =
=
=
此时直线AB 与圆
222x y +=相切 19、〔1〕
21n a n =----------------------------------------------------------------------------------4分
〔2〕①211
22m m m b --=-----------------------------------------------------------------------9分
②
1412m m T ⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭----------------------------------------------------------------------11分 ()14242m t t --=+-------------------------------------------------------------------13分
存在符合条件的正整数3m t ==--------------------------------------------------16分
20、解：(1)当
13a =
时，22211
()2()()33f x x bx b x b b b '=++-=+-+-，其对称轴为直
线x b =-．………………………………………………………………………………2分
当2(3)0b f --⎧⎪⎨'->⎪⎩≥，，解得
2615b <， 当2(1)0b f -<-⎧⎪⎨'->⎪⎩，无解，所以b 的取值范围为26(,)15-∞．…………………………4分
⑵ 因为2()32()f x ax bx b a '=++-
解法1 当0a =时，
1
2x =-
，合适题意．
当0a ≠时，23210b b x x a a ++-=，令
b
t a =
，那么23210x tx t ++-=． 令2
()321h x x tx t =++-，那么11
()0
24h -=-<． …………………………6分
当1t >时，(0)10h t =->，所以()y h x =在1
(,0)
2-内有零点； 当1t ≤时，(1)210h t -=->≥，所以()y h x =在
1
(1,)
2--内有零点． 因此，当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点．
综上可知，函数()y f x '
=在(1,0)-内至少有一个零点． …………………………9分
解法2 (0)f b a '=-，(1)2f a b '-=-，
12()33b a f -'-=. 由a b 、于不同时为零，所以1
()(1)0
3f f ''-⋅-<， …………………………7分 或者1
()(1)0
3f f ''-=-=故结论成立． ……………………………………………9分
(3)因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以
3()f x ax ax =-， 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，
即
3
()f x x x =-. ……………………………………………………10分
因
为
()3(f x x x '=+,所以()f x
在(,)-∞+∞上是增函数，
在
[上是减函数．由()0f x =解得1,0x x =±=．…………………………11分
当
1t -<≤时，1()04f t t ->≥，即31
4t t t -->≥
，解得t ≤≤；
当
0t <<时，1
()0
4f t t >->
，解得0t <<；
当0t =时，显然不成立；
当
0t <时，1()04f t t -<≤即3104t t t -<-<
，解得
0t <；
当
t >
时，1()04f t t <-<或
者14
t f -==，
故t <<
或
者t =
．
所以，所求t
的取值范围是0t <
，或者
0t <<
t =16分
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。