高考数学真题考点归纳三角函数及三角恒等变换三角函数的概念同角三角

历年高考真题考点归纳 2021年 第四章 三角函数及三角恒等变换
第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
一、选择题
1.〔理6〕假设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足
22
a b 4c +-=（），且C=60°，那么ab 的值是
A ．43
B ．83-
C ． 1
D ．2
3
【答案】A
2.〔理6〕假设
02π
α＜＜
，02πβ-＜＜，
1
cos()43πα+=
，3cos()423πβ-=，那么cos()2
β
α+
=
A 33
B ．3
3 C 539 D ．6
9
【答案】C
3.〔理6〕如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且
,23,2AB CD AB BD BC BD ===，那么sin C 的值是
A 3
3 B 3
6
C 6
3
D 66【答案】D
4.〔理6〕在∆ABC 中．2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．那么A 的取值范围是
A ．〔0，6π
]
B ．[ 6π，π〕
C ．〔0，3π]
D ．[ 3π
，π〕
【答案】C
【解析】由题意正弦定理
2222
2
2
2
2
2
11cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤
5.〔全国新课标理5〕角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，那么cos 2θ=
〔A 〕 45-
〔B 〕35-
〔C 〕 35 〔D 〕4
5
【答案】B
6.〔理4〕△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos2A=a 2，
那么=a b
〔A
〕 〔B
〕
〔C
〔D
【答案】D
7.〔理7〕设sin 1
+=
4
3πθ（），那么sin 2θ= 〔A 〕79-
〔B 〕19-
〔C 〕19 〔D 〕79
【答案】A
8.〔理3〕假设tan α=3，那么2
sin 2cos a α
的值等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【答案】D 二、填空题
9.〔理6〕在相距2千米的A ．B 两点处测量目的C ，假设00
75,60CAB CBA ∠=∠=，
那么A ．C 两点之间的间隔 是 千米。

【答案】6
10.〔全国新课标理16〕ABC ∆中，60,3,B AC =︒=，那么AB+2BC 的最大值为_________．
【答案】27
11.〔理14〕1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，那么
cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值是__________ 【答案】
14
2-
12.〔理14〕如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，那么AD 的长度等于______。

2 【答案】
13.〔理9〕在ABC ∆中。

假设b=5，4B π
∠=
，tanA=2，那么sinA=____________；
a=_______________。

【答案】10
25
5
2
14.〔全国大纲理14〕a ∈〔2π
，π〕，sinα=5
5，那么tan2α= 【答案】43-
15.〔理14〕ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的
等差数列，那么ABC ∆的面积为_______________.
【答案】315
16.〔7〕
,
2)4
tan(=+
π
x 那么x x
2tan tan 的值是__________
【答案】94
三、解答题
17.〔15〕在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,
〔1〕假设
,
cos 2)6
sin(A A =+
π
求A 的值；
〔2〕假设c
b A 3,31
cos ==，求C sin 的值.
此题主要考察三角函数的根本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考察运算求解才能。

解：〔1〕由题设知
cos ,cos 3sin ,cos 26
sin
cos 6
cos
sin ≠==+A A A A A A 所以从而π
π
，
.
3,0,3tan π
π=
<<=A a A 所以因为
〔2〕由.
,cos 23,31
cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及
故△ABC 是直角三角形，且31
cos sin ,2
=
==
A C
B 所以π
.
18.〔理18〕
在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作
n
T ，再令
,lg n n a T =1
n ≥.
〔Ⅰ〕求数列{}
n a 的通项公式；
〔Ⅱ〕设
1tan tan ,n n n b a a +=求数列
{}
n b 的前n 项和
n
S .
此题考察等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等根本知识，考察灵敏运用知识解决问题的才能，综合运算才能和创新思维才能.
解：〔I 〕设
221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 那么
,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ① ,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②
①×②并利用
得),21(102
2131+≤≤==+-+n i t t t t n i n .1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n
〔II 〕由题意和〔I 〕中计算结果，知
.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n
另一方面，利用
,
tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k k
k k k ⋅++-+=
-+=
得
.
11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=
⋅+k
k k k
所以
∑∑+==⋅+==23
1
tan )1tan(n k n
k k n k
k b S
.
1tan 3tan )3tan()
11tan tan )1tan((
2
3
n n k k n k --+=--+=∑+= 19.〔理16〕
设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，
1
1. 2.cos .
4a b C === 〔Ⅰ〕求ABC ∆的周长 〔Ⅱ〕求()
cos A C -的值
本小题主要考察三角函数的根本公式和解斜三角形的根底知识，同时考察根本运算才能。

〔满分是10分〕
解：〔Ⅰ〕
2221
2cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯
=
2.c ∴=
ABC
∴∆的周长为122 5.
a b c
++=++=
〔Ⅱ〕
1
cos,sin
4
C C
=∴===
sin
sin
a C
A
c
∴===
,
a c A C
<∴<，故A为锐角，
7
cos.
8
A
∴===
7111 cos()cos cos sin sin.
8416
A C A C A C
∴-=+=⨯+=
20.〔理17〕
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．
〔Ⅰ〕求角C的大小；
〔B+4
π
〕的最大值，并求获得最大值时角A、B的大小。

解析：〔I〕由正弦定理得sin sin sin cos.
C A A C
=
因为
0,
Aπ
<<所以
sin0.sin cos.cos0,tan1,
4
A C C C C C
π>=≠==
从而又所以则
〔II〕由〔I〕知
3
.
4
B A
π
=-
于是
cos()cos()
4
cos2sin().
6
311
0,,,,
46612623
A B A A
A A A
A A A A
π
π
π
πππππππ
-+=--
=+=+
<<∴<+<+==
从而当即时
2sin()
6
A
π
+
取最大值2．
cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.
312A B ππ
== 21.〔全国大纲理17〕
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C=90°，
b ，求 C ．
解：由a c +=
及正弦定理可得
sin sin .A C B +=
…………3分
又由于90,180(),A C B A C -=︒=︒-+故
cos sin )C C A C +=+
2)C =︒+
2.C =
…………7分
cos 2,
C C C =
cos(45)cos 2.C C ︒-= 因为090C ︒<<︒， 所以245,C C =︒- 15C =︒ 22.〔理17〕
在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．cos A-2cos C 2c-a
=
cos B b ． 〔I 〕求sin sin C
A 的值；
〔II 〕假设cosB=1
4，b=2，ABC ∆的面积S 。

解：
〔I 〕由正弦定理，设,
sin sin sin a b c
k A B C === 那么22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C A
b k B B ---== 所以cos 2cos 2sin sin .
cos sin A C C A
B B --=
即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=， 所以sin 2sin C A =
因此sin 2.sin C A =
〔II 〕由sin 2
sin C
A =得2.c a =
由余弦定理
2222221
2cos cos ,2,
4
1
44.
4b a c ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a
解得a=1。

因此c=2
又因为1
cos ,.
4B G B π=<<且
所以
sin B =
因此
11sin 1222S ac B =
=⨯⨯=
23.〔理18〕
表达并证明余弦定理。

解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍。

或者：在∆ABC 中，a,b,c 为A,B,C 的对边，有
2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-
证法一 如图
2a BC BC =•
()()AC AB AC AB =-•-
2
2
2AC AC AB AB =-•+
222cos b bc A c =-+
即222
2cos a b c bc A =+- 同理可证2
2
2
2cos b a c ac B =+-
2222cos c a b ab C =+-
证法二 ∆ABC 中A,B,C 所对边分别为a,b,c,以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，那么(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c , 2222
(cos )(sin )a BC b A c b A ∴==-+
22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++ 2222cos b a c ac B =+-
同理可证
22
2AC AC AB COSA AB
=-•+
2222222cos ,
2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-
24.〔理18〕在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．
()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且2
14ac b =． 〔Ⅰ〕当5
,1
4p b ==时，求,a c 的值；
〔Ⅱ〕假设角B 为锐角，求p 的取值范围；
此题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等根底知识，同时考察运算求解才能。

满分是14分。

〔I 〕解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4a c ac ⎧
+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
解得1,1,
41, 1.4a a c c =⎧⎧
=⎪⎪⎨⎨
=⎪⎪=⎩
⎩或 〔II 〕解：由余弦定理，2
2
2
2cos b a c ac B =+-
222222()22cos 11
cos ,
2231
cos ,
22a c ac ac B p b b b B p B =+--=--=+即
因为230cos 1,(,2)
2B p <<∈得，
由题设知0,p p ><<
创作人：历恰面日期：2020年1月1日创作人：历恰面日期：2020年1月1日。