贵州省思南中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题

贵州省思南中学2019—2020学年高二数学上学期期中试题
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。

已知集合}1lg {},01
3{≤=≤+-=x x B x x x A ，则=B A
A.]31[，-
B.]31(，- C 。

]10(， D 。

]30(， 2。

一个年级有12个班,每个班有学生50名，并从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（ )
A.分层抽样
B.抽签抽样 C 。

随机抽样 D 。

系统抽样
3.下列命题中为真命题的（ )
A 。

B.
C. D 。

4、把二进制数)
2(111化为十进制数为 ( )
A 、2
B 、4
C 、7
D 、8
5. 抽查10件产品，设事件A:至少有两件次品，则A 的对立事件为 （ ）
A 。

至多两件次品
B 。

至多一件次品 C.至多两件正品 D.至少两件正品
2
3,x x N x >∈∀0
32,02
00=++∈∃x x R x 的充分不必要条件是112>>x x 2
2,b a b a >>则若
6. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是( )
A 。

21 B.31 C.4
1
D.不确定
7．若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m ,作为点),(n m p ,求点P 落在圆1622
=+y x
外部的概率是（
).
A ．9
5 B ．3
2 C ．9
7 D ．9
8
8。

给出如图的程序框图，则输出的数值是（ ）.
A.9899
B 。

99100
C 。

100101
D.101102
9.已知点),(y x P 是圆422
=+y x
上任意一点,则y x z +=2的最大值为
( ）
A 。

5
B 。

52
C 。

6 D.54
10.已知三棱锥ABC P -中，ABC PA 底面⊥,2,==⊥AC PA BC AB ，且该三棱锥所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 （ ） A.π4 B.π8 C.π16 D 。

π20
11。

已知M 为ABC ∆的边AB 的中点，ABC ∆所在平面内有一个点P ，满足
PB PA PC +=，若=，则λ的值为 ( ）
A.2
B.1 C 。

2
1 D 。

4 12.已知函数254(0)
2|2|(0)
x x x x x ⎧++≤⎨->⎩,若函数
y=f （x) —a |x ｜恰有4个零点，则
a 的取值范围是 ( ）
A.(0,2)
B.(一∞.，0］
C.[2，+∞) D 。

[0，2]
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题（本大题共计4小题，每小题5分。

) 13.设变量x ,y
满足约束条件250
200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数
z ＝2x ＋3y ＋1的
最大值为_____
14.某单位为了了解用电量y （度)与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如右边的对
照表．由表中数据,得回归直线方程
,ˆˆˆa x b y
+==-=a b ˆ,2ˆ则若_____________． 15．若命题“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9〈0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
16。

已知0,0x y >>，且211x
y
+=,若2
22x y m
m +>+恒成立，则实数m 的取值
范围是________
三、解答题：本题共6小题,共计70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分10分）
设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c,且b ＝3，c ＝
1,A ＝2B. (1)求a 的值；
（2)求)4
sin(π+A 的值．
18．
（本小题满分12分)
命题p ：关于x 的不等式0422
>++ax x
对一切x R ∈恒成立； 命题q ：函
数x lag x f a
=)(在()+∞,0上递增。

若q p ∨为真，而q p ∧为假，求实数a 的取值范围.
19. （本小题满分12分）
已知各项为正的数列{}n
a 中，前n 项和为n
S ，且(1)
2
n n n
a a S
+=
. （Ⅰ)证明数列{}n
a 是等差数列，并求出数列{}n
a 的通项公式； （Ⅱ）设1
(21)(21)
n
n n b
a a =
+-,数列{}n b 的前
n 项和为n
T ，求使不等式57
n
k
T
>
对一切*
n N ∈都成立的最大正整数k 的值.
20、(本小题满分12分） 我市为增强市民的环境保护
意识，面向全
市征召义务宣传志愿者。

现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄(单位：岁)分组:第1组[)25,20,第2组[)30,25，第3组[)35,30，第4组[)40,35,第5组[]45,40，得到的频率分布直方图如图所示.
(1）若从第3,4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4，5组各抽取多少名志愿者?
（2）请根据频率分布直方图,估计这100名志愿者市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率。

21．（本小题满分12分）
在三棱锥S ABC -中，O 是AB
的中点，SA SB ==2。

（1）求证:平面SOC ⊥平面ABC ； （2)求二面角O SC A --的平面角
的正切值。

22。

（本题12分）已知点)0,2(P 及圆0446:22
=++-+y x y x
C .
（Ⅰ)若直线l 过点P 且与圆心的距离为1,求直线l 的方程； （Ⅱ）设过点P 的直线1
l 与圆C 交于、N M 两点，当4=MN 时，求以
线段MN 为直径的圆Q 的方程；
C
高二半期考试数学答案
选择题 填空
题：
13、10
14、
15、 60 []2
222
16、
三、解答题：本大题6个小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解：(1）因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B 。

由正、余弦定理得a ＝2b ·错误!.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝23。

……………………………………………6分 (2）由余弦定理得cos A ＝错误!＝错误!＝－错误!. 由于0〈A <π，所以sin A ＝错误!＝错误!＝错误!.
故sin 错误!＝sin A cos 错误!＋cos A sin 错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!. 18．解:命题p ：关于x 的不等式2
240x
ax ++>对一切x R ∈恒成立；
⇒()2
2240a ∆=-<，即22a -<<
命题q:函数()a
f x la
g x =在(0,)+∞上递增；⇒1a >
∵p q ∨为真，而p q ∧为假，∴命题命题，q p 一真一假
当p 真q 假时，⇒22a -<<且1a ≤； ∴21a -<≤ 当p 假q 真时，⇒22a a ≤-≥或且1a >； ∴2a ≥
(][)∞+，的取值范围是综上21,2-, a
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由题意,当1n =时，111
1(1)
2
a a a S +==
，即2110
a
a -=，
因
为
10
a >，所以
11
a =；
………………………………………………………（1分)
当2n ≥时,22
11111(1)(1)1()222
n n n n n
n n n n n n a a a a a S S a a a a -----++=-=
-=-+-，
……………………………………………………………………………
…(3分)
整理得11()[()1]0
n
n n n a a a a --+--=，因为10
n
n a
a -+>，所以1=1
n
n a
a --，………（4
分）则数列
{}
n a 是首项为1,公差为1的等差数列,
…………………………………（5分)
所以，()
n
a
n n *=∈N ． …………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：11111(21)(21)(21)(21)22121n
n n b a a n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪
+-+--+⎝⎭
， …………（8分）
所以，1211111
1123352121n
n T
b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
+=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
11122121
n n n ⎛⎫=-=
⎪++⎝⎭，…………………………………………………(10
分）
易知n
T 单调递增，故n
T 的最小值为1
13
T =，
令1357
k
>
,得19k <,所以k 的最大值为18．…………………………(12分)
20、解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0。

2×100=20, 第5组的人数为0。

1×100=10.……2分
因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为:第3组:30
60
×6=3；
第4组:20
60×6=2; 第5组:10
60
×6=1。

所以应从第3，4，5组中分别抽取3人,2人，1人。

………………………………6分
（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2,A3,第4组的2名志愿者为B1，B2,第5组的1名志愿者为C1. 则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:（A1，A2），（A1，A3)，（A1,B1），（A1,B2）,(A1，C1），（A2，A3),(A2，B1),(A2,B2），(A2，C1)，(A3，B1）,(A3，B2)，
（A3,C1)，(B1,B2)，(B1,C1），(B2,C1），共有15
种. …………10分
其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有:(A1,B1）, (A1,B2), （A2，B1), （A2,B2）, (A3，B1)，(A3，B2）, (B1,B2）, (B1,C1)，(B2，C1）,共有9种……………………11分
根据古典概型概率计算公式，得
93
()
155
P A==………………………………………12分
答：第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
3
5
……………………………………13分
21．解：(1）,
CB CA SA SB
==，且O是AB的中点
,SO AB CO AB ∴⊥⊥AB ∴⊥平面SCO ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3
分
又AB ⊂平面ABC ∴平面SOC ⊥平面ABC ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 （2过O 作OM SC ⊥于M ，连结MA
AB ⊥平面SCO AB SC ∴⊥SC ∴⊥平面AOM SC AM ∴⊥
从而OMD ∠是二面角O SC A --的平面角┅┅┅┅
┅┅┅┅┅┅┅┅9分在Rt SOC
∆中,OM SC SO OC ⋅=⋅
SO OC OM SC ⋅∴===
又在Rt OMA ∆中，90,1MOD OA ∠==
tan OA OMA OM ∴∠=
==
故二面角O SC A --
的平面角的正切值为3
┅┅┅┅12分
22．（本题15分）
解：解：（Ⅰ）设直线l 的斜率为k （k 存在)则方程为0(2)y k x -=-. 又
圆C 的圆心为(3,2)-，半径3r =, 由
1=,
解得34
k =-。

所以直线方程为3(2)4
y x =--， 即
3460x y +-=。

当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件。

（Ⅱ）
由于CP =
而弦心距d ==所以d
=CP =所以P 为
C
MN的中点.
故以MN为直径的圆Q的方程为22
-+=.
(2)4
x y。