初中数学教学论文浅谈初中数学几何与代数之间的核心联系

浅谈初中数学几何与代数之间的核心联系——长度与点的坐标之间
的转化
摘要：初中数学总体来说分为两大块，一是几何，一是代数。

初中几何以图形为主，主要要求学生掌握包括三角形、四边形、圆等方面的知识；初中代数以数和式为主，除去整式、二次根式等比较容易的知识，重难点还是在于函数这方面的内容，主要包括一次函数，反比例函数、二次函数。

初中几何和代数看似两条泾渭分明的河流，互不影响，其实它们之间是有着非常密切的联系，而且可以说它们之间的联系像一根通心柱贯穿着初中数学的脉络，随着中考越来越注重学生的综合分析能力，近年来全国很多省市的中考数学试题都出现了有关代数和几何的综合题，往往是是以压轴题的形式出现，并且结合了分类、迁移等数学思想，难度和区分度都较大，学生要处理好这类题的解答方法，不仅需要扎实的基本功，更重要的是要掌握初中数学几何与代数的联系，如何处理和挖掘出初中几何与代数之间的联系对于学生解决这方面的综合题有着非常大的帮助。

关键词：初中数学 几何与代数的联系
我们知道，初中几何试题多以图形为载体，主要涉及角度转化和长度计算两方面内容，而初中代数以函数为主，函数主要涉及点的坐标，本人通过研究大量的有关几何与函数的综合题，发现初中数学几何与代数之间的一条核心联系——长度与点的坐标之间的转化。

很多几何与函数的综合性试题的突破口和解决方法就在于学生是否能熟练掌握线段的长度和坐标系中点的坐标之间的转化，我用一句口头禅来表示：“长度即坐标，坐标即长度”，也就是说它如果告诉你点的坐标，你要能利用横坐标和纵坐标来表示涉及到的相应的线段长度，以便于我们解决几何问题，反过来，它如果给了你线段的长度，你要能利用长度求出涉及到的相应点到X 轴或Y 轴的距离，进而求出点的坐标，以便于我们解决函数问题。

下面本文结合近几年的一些中考试题来详细讲解。

1．（2010年杭州月考）如图，点A 在双曲线6y x
=上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为(
)
A.
C.
解：由题意易知AB=OB ，所以△ABC 的周长L=AB+AC+BC=OB+BC+AC=AC+OC,设A 点坐标为（a,b ）所以OC=a,AC=b,因为点A 在双曲线6y x =
上，所以ab=6，又因为OA ＝4，所以a 2＋b 2 =16,所以（a+b ）2= a 2＋b 2+2ab=16+2×4=28，所以△ABC 的周长
L=a+b=答案：C
点评：本题是一道函数与几何的小型综合题，以反比例函数为载体，融入了一些几何小知识，难度不大，灵活性较强，突破口是由点A 的坐标联想到AC 、OC 的长度，将点的坐标转化为长度，从而解答几何问题（即周长）。

2、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ）
（A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c;
（C ）bc+1=a; （D ）以上都不是
解：设点A 坐标为（-m,0），因为OA=OC ，所以点C 的坐标为（0，m ），
因为点A 和点C 都在抛物线y=ax 2+bx+c 上，所以：
0=am 2-bm+c …………………………………………①
m=c …………………………………………②
将②代入①得：ac 2-bc+c=0
即：c （ac-b+1）=0
由图像知c ≠0，所以ac-b+1=0 即ac+1=b
答案：A
点评：本题还是是一道函数与几何的小型综合题，以二次函数为载体，突破口在于将OA=OC 这一长度几何关系转化为点的坐标，进而通过代点法，与函数紧密联系，解出答案。

3、（2010年宁波）如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线1212-=x y 上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为___________。

解：设点P 到x 轴的距离为d ，
当⊙P 与x 轴相切时：d=r=2，
从而设点P 的坐标为（x ，2），
因为点P 在抛物线12
12-=x y 上，所以：2=21x 2-1,解得X=6或6-，
答案：（6，2）或（6-，2）
点评：本题还是是一道二次函数与圆的小型综合题，切入点从相切这一几何关系，推导出点P 到X 轴的距离，由长度转化为点P 的纵坐标，进而用代入法，求出点P 的横坐标。

4.（2010福建模拟）如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例数x
m y =的图象交于A （-3，1）、B （2，n ）两点. （1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积.
解： （1）依题意有：m ＝1×(－3)= －3
∴反比例函数的表达式是： x
y 3-
= 又∵B(2, n) ∴ n= ∴⎩⎨⎧=+--=+1
323
2b k b k 解之得：⎩⎨⎧-=-=2121k b
一次函数的表达式是： （2）由（1）知 , ∴当y=0时， ∴1-=x ∴C （－1，0） ∴OC ＝
1
2121--=x y 23-2121--=x y 02
121=--
x x
又∵A(－3, 1) B(2, ) ∴S △A OB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝ 点评：通过点A 、点B 的纵坐标转化为长度，进而求出三角形的高，计算出面积。

提醒：在
坐标和长度的转化过程中，我们要小心这种转化不是等价的，即坐标是有序实数对，横坐标和纵坐标有正负之分，而长度永远是正的，所以转化的过程中，要注意把握好正负号，尤其是当点的坐标使用未知的字母表示时，更要小心！
5．（重庆市江津区）如图，抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC
的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存
在，求出点P 的坐标及△PBC
解：（1）将A (1，0)，B (－3
，0)代入y ＝－x 2
＋bx ＋c 得 ⎩⎨⎧03901＝＋－－＝＋＋－c b c b 解得⎩⎨⎧32＝＝－c b ∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2
－2x ＋3．
（2）存在．
该抛物线的对称轴为x ＝－)
(－－122⨯＝－1 ∵抛物线交x 轴于A 、B 两点，∴A 、B 两点关于抛物线的对称轴x ＝－1对称．
由轴对称的性质可知，直线BC 与x ＝－1的交点即为所求的Q 点，此时△QAC
的周长最小，如图1．
将x ＝0代入y ＝－x 2－2x ＋3，得y ＝3． ∴点C 的坐标为(0，3)．
设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 1，
将B (－3，0)，C (0，3)代入，得
⎩⎨⎧30311＝＝＋－b b k 解得⎩⎨⎧311＝＝b k ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3．
联立⎩⎨⎧31＋＝＝－x x y 解得⎩⎨⎧21＝＝－y x ∴点Q 的坐标为(－1，2)．
23-
45231211121=⨯⨯+⨯⨯
（3）存在．
设P 点的坐标为（x ，－x 2－2x ＋3）
（－3＜x ＜0），如图2． ∵S △PBC ＝S
四边形PBOC －S △BOC ＝S 四边形PBOC －21×3×3＝S 四边形PBOC －29 当S
四边形PBOC 有最大值时，S △PBC 就最大． ∵S 四边形PBOC ＝S Rt △PBE ＋S 直角梯形PEOC ＝
21BE ·PE ＋21(PE ＋OC)·OE ＝21(x ＋3)(－x 2－2x ＋3)＋21(－x 2－2x ＋3
＝－23(x ＋23)2＋29＋8
27 当x ＝－23时，S 四边形PBOC 最大值为29＋8
27． ∴S △PBC 最大值＝29＋827－29＝8
27． ····· 10分 当x ＝－23时，－x 2－2x ＋3＝－(－23)2－2×(－23)＋3∴点P 的坐标为(－23，4
15)． ·················· 11分 点评：这是一道以二次函数为载体，将几何和代数紧密联系在一起的综合性大题，是一道压轴题，难度较大。

第一小问求函数解析式，用代点法即可求，属于偏易题。

第二小问，引入了初中常见的一种几何模型，即在一条直线上寻找一点，使得它到同侧的不同两点之间距离之和最短，通过点的对称性便可求。

第三小问，也是最后一问，难度较大，考察的从函数的角度来研究图形面积的最值问题，关键在于通过点的坐标求出相关线段长度的的表达式，进而求出面积的表达式。

面积的计算是初中数学非常重要的知识点，大致可分为两种：一是标准图形的面积，如三角形、平行四边形、梯形、圆等，我们可以直接用公式法来求。

二是不标准图形，如一般的四边形等，我们常采用割补法，即将一个大的图形分割成几个小的图形或将一个小的图形补成大的熟悉的图形。

而对于像本题一样在坐标系中求图形的面积的试题，怎样割补才能使解题过程简便呢？我个人认为割补的标准就在于是否和点的坐标紧密联系，也就是说你割补后的图形的面积中的底和高能不能较简便地由相关点的坐标转化而来。

这是解答这类题型的关键点，也是重难点。