【精准解析】宁夏六盘山高级中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试卷

宁夏六盘山高级中学2020-2021学年第一学期高三期中测试
卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合{}
{
}
2
2,30A x R x B x R x x =∈>=∈-≤，则A B 等于（ ）
A. [)0,+∞
B. ()2,+∞
C. [)0,2
D. (]
2,3
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出集合B ，再根据交集的定义即可求出. 【详解】
{}
{}23003B x R x x x x =∈-≤=≤≤，
{}(]232,3A B x x ∴⋂=<≤=.
故选：D.
2. 复数i z a b =+（,a b ∈R ）满足2i(1)z z =-，则a b +=( ) A.
35
B. 15
-
C.
15
D.
35
【答案】D 【解析】 【分析】
把z ＝a +bi （a ，b ∈R ）代入2z ＝i （1﹣z ），利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求． 【详解】∵z ＝a +bi ，
由2z ＝i （1﹣z ），得2a +2bi ＝i （1﹣a ﹣bi ）＝b +（1﹣a ）i ， ∴221a b b a
=⎧⎨
=-⎩，解得a 15=，b 2
5=．
∴a +b 3
5
=
． 故选D ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
3. 已知命题p ：角α的终边在直线y =上，命题q ：π
3
α=，那么p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分
又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
结合三角函数的定义，以及充分，必要条件的定义，判断选项.
【详解】命题:p 若角α的终边在直线y =上，则y x
=,3k k Z π
απ=+∈，
所以命题p 不能推出q ，反过来，π
3
α=，则角α的终边在直线y =上，所以p 是q 的必要不充分条件. 故选：B
4. 若向量,a b 的夹角为120︒，1a =，27a b -=，则=b （ ）
A.
12
B.
C. 1
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】 由2
2
2
244cos ,a b
a b a b a b -=+-，代入已知条件，即可解得b .
【详解】因为2
2
2
244cos ,a b a b a b a b -=+-，
又,120a b =︒，1a =，27a b -=， 所以2
7=142b b ++，解得3
2
b =-
(舍去)或1=b .故选C. 【点睛】本题考查求平面向量的模,常用方法是用数量积或2
2a a =求解.
5. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大
的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A. 103 B. 107
C. 109
D. 105
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，
21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.
故选：B.
6. 已知函数()lg(1)f x x =+，记0.2(5)a f =，0.2(log 3)b f =，(1)c f =，则,,a b c 的大小关系为( ) A. b c a << B. a b c <<
C. c a b <<
D. c b a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
可以看出，f （x ）是偶函数，并且在[0，+∞）上单调递增，从而得出0.2
13b f log ⎛
⎫
= ⎪⎝⎭
，并且可以得出0.2
0.210153
log ＜＜
＜，从而由f （x ）在[0，+∞）上的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系．
【详解】f （x ）是偶函数，在[0，+∞）上单调递增；
∴b ＝f （log 0.23）＝f （﹣log 0.23）0.213f log ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭；
∵50.2＞50＝1，0.20.21
00.213
log log =＜＜；
∴0.2
0.210153
log ＜＜
＜； ∴()()
0.2
0.21153f log f f ⎛⎫ ⎪⎝
⎭＜＜；
∴b ＜c ＜a ． 故选A ．
【点睛】本题考查偶函数的定义，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及增函数的定义．
7. 已知函数()sin 26f x x π⎛⎫
+
⎝
=⎪⎭
的
图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到()g x 的图象，
3
x π
=
为函数()g x 的一个零点，则ϕ的值不可能为（ ）
A.
1712
π
B.
12
π
C.
512
π D.
1112
π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角函数图象的平移伸缩，得出()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+
⎪
⎝
⎭
，由于3x π
=为函数()g x 的一个零点，则()g x 关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，根据对称的性质，即可求出5122k ππϕ=-，k ∈Z ，
即可判断出答案.
【详解】解：函数()sin 26f x x π⎛
⎫
+ ⎝
=⎪⎭
向右平移ϕ个单位长度得：()sin 226g x x πϕ⎛⎫
=-+
⎪⎝
⎭
， 由题意可知，3
x π
=为函数()g x 的一个零点，
则()g x 关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称， 则
22,36k k ππϕπ-+=∈Z ，则5122
k ππ
ϕ=-，k ∈Z ， 当0k =，512πϕ=；1k =-，1112πϕ=；2k =-，1712
π
ϕ=，故B 不可能.
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数图象的平移伸缩以及正弦函数图象的对称性，属于基础题. 8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()21x
f x =-，若(
)2
6()f a
f a ->-，
则实数a 的取值范围是（ ）
A. ()(),23,-∞-+∞
B. ()3,2-
C. ()2,3-
D. ()
(),32,-∞-+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
由指数型函数可知()f x 在[
)0,+∞上单调递增,根据()f x 是定义在R 奇函数,则()f x 在R 上单调递增,即由(
)()2
6f a
f a ->-可得2
6a
a ->-,即可求解.
【详解】解:因为当0x ≥时,()21x
f x =-,所以()f x 在[
)0,+∞上单调递增, 又因为()f x 是定义在R 奇函数,所以()f x 在R 上单调递增, 因为(
)()2
6f a f a ->-,所以2
6a
a ->-,解得23a -<<，
故选:C
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查利用函数单调性解不等式,考查指数型函数的性质的应用.
9. 在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =，2=CN NB ，若
AM AC AN λμ=+，则
1
1
λ
μ
+
=（ ）
A.
1312
B.
6413 C. 3512
-
D. 4013
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量运算法则，化简得到131124AM AC AN =
-，得到131
,124
λμ==-，即可求解. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：
11
()66
AM AC CM AC AB AC AC CB =+=-
=-+ 515151131
()666464124
AC CB AC CN AC AN AC AC AN =-=-=--=-， 又因为AM AC AN λμ=+，所以131,124λμ==-，
所以
111240
4
1313
λμ
+=-=-.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10. 函数()2sin
f x k x
=+在()
0,2处的切线l也是函数3231
y x x x
=---图象的一条切线，则k=（）
A. 1
B. 1-
C. 2
D. 2-
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义得出()
f x在()
0,2的切线l的方程，设切线l在函数3231
y x x x
=---
上的切点为
00
,x y，结合导数的几何意义得出在点
00
,x y的切线方程，并将点()
0,2代入切线方程和函数3231
y x x x
=---，求出01
x=-，
y=，再代入2
y kx
=+，即可得出k的值.
【详解】∵()cos
f x k x
'=，∴()0
f k
'=，所以在()
0,2的切线l的方程为直线2
y kx
=+设切线l在函数3231
y x x x
=---上的切点为
00
,x y
由2
323
y x x
'=--，得出
2
00
323
x x
y x x
=
'=--
故切线方程为()()
2
0000
323
y y x x x x
-=---
由
()()
2
0000
32
0000
23230
31
y x x x
y x x x
⎧-=---
⎪
⎨
=---
⎪⎩
整理得32
00
230
x x
-+=，即322
000
22330
x x x
+-+=
所以()()
00
2
12330
x x x
+-+=，所以()
2
00
315
120
48
x x
⎛⎫
⎛⎫
+-+=
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
解得01x =-，00y = 代入2y kx =+，解得2k =. 故选：C
【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.
11. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 7=5，S 5=-55，则nS n 的最小值为（ ） A. 343- B. 324-
C. 320-
D. 243-
【答案】A 【解析】 【分析】
将75a S ，用1a ,d 表示，解方程组求得n S ，再设函数求导求得n nS 的最小值即可. 【
详
解
】
∵
()11a 655a 2d 55
d +=⎧⎨
+=-⎩解得
1a 194,
d =-⎧⎨
=⎩∴
()232n n n n 1S 19n 42n 21n,nS 2n 21n ,
2
-=-+
⨯=-∴=-设
()()()()32f x 2x 21x x 0,f x 6x x 7,=->=-'当0<x<7时，()f x 0,'<当x>7时，()f x 0'>,
故n nS 的最小值为f(7)=-343. 故选A.
【点睛】本题考查等差数列通项及求和，考查函数的思想，准确记忆公式，熟练转化为导数求最值是关键，是中档题.
12. 已知函数()x f x e ex a =-+与1
()ln g x x x
=+的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A. (,]e -∞-
B. (,1] -∞-
C. [1,) -+∞
D.
[,)e
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题中条件，得到方程
1
ln
x
a e ex x
x
⎛⎫=
--++
⎪
⎝⎭
有解，令
1
()ln
x
h x e ex x
x
⎛⎫
=--++
⎪
⎝⎭
，则a的取值范围是()(0)
y h x x
=>的值域，对函数()
h x求导，判定其单调性，研究其值域，即可得出结果.
【详解】函数()x
f x e ex a
=-+与
1
()ln
g x x
x
=+的图象上存在关于x轴对称的点，即方程
1
ln0
x
e ex a x
x
-+++=有解，即方程
1
ln
x
a e ex x
x
⎛⎫
=--++
⎪
⎝⎭
有解，
令
1
()ln
x
h x e ex x
x
⎛⎫
=--++
⎪
⎝⎭
，则a的取值范围是()(0)
y h x x
=>的值域，
因为()
22
111
()x x
x
h x e e e e
x x x
-
⎛⎫⎡⎤
'=--+-=--+
⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
，
所以当1
x=时，()0
h x
'=；
当01
x
<<时，0
x
e e
-<，
2
1
x
x
-
<，所以()21
()0
x
x
h x e e
x
-
⎡⎤
'=--+>
⎢⎥
⎣⎦
，则函数
1
()ln
x
h x e ex x
x
⎛⎫
=--++
⎪
⎝⎭
单调递增；
当1
x>时，0
x
e e
->，
2
1
x
x
-
>，所以()21
()0
x
x
h x e e
x
-
⎡⎤
'=--+<
⎢⎥
⎣⎦
，则函数
1
()ln
x
h x e ex x
x
⎛⎫
=--++
⎪
⎝⎭
单调递减；
所以max
()(1)1
h x h
==-，
画出函数()
h x的大致图像如下，
由图像可得，()(],1h x ∈-∞-， 所以a 的取值范围(],1-∞-. 故选：B.
【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分
13. 命题“x ∃∈R ，210x x -->”的否定是__________． 【答案】x ∀∈R ，210x x --≤ 【解析】 【详解】 【分析】 命题的否定，
将“x ∃∈R ”变为“x ∀∈R ”，
将“210x x -->”变为“210x x --≤”．
14. 设数列{}n a 满足11a =，且()
*
11n n a a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
前2020项的和为________． 【答案】4040
2021
【解析】 【分析】 由
()
*11n n a a n n N +-=+∈得到
1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，用累加法求得
22
n n n
a +=
，从而得到2121
12
1
n a n n
n
n ，然后利用裂项相消法求解.
【详解】因为()*
11n n a a n n N
+-=+∈,
所以1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，
左右分别相加得()()112234 (2)
-+=++++=
-n n n n a a ，
所以22
n n n
a +=，
所以
212112
1
n
a n n
n
n ，
所以20201111111
140402 (2122320202021120212021)
⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S ， 故答案为：
4040
2021
【点睛】本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题
.
15. 已知,22ππα⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭，cos23sin 10αα++=，则tan α=________. 【答案】33
- 【解析】 【分析】
结合二倍角余弦公式解方程求得sin α，由同角三角函数平方关系和商数关系可求得结果. 【详解】
22cos 23sin 112sin 3sin 12sin 3sin 20αααααα++=-++=-++=，
1
sin 2
α∴=-或sin 2α=（舍），
,22ππα⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，cos 0α∴>，23cos 1sin 2
αα∴=-=，
1
sin 3
2tan cos 3
ααα-
∴===.
故答案为：33
-
. 16. 如果函数()f x 同时具有下列两个性质（1）对任意的()1212,x x R x x ∈≠，都有
()()
2121
0f x f x x x ->-，（2）对任意的x ∈R ，都有()()20f x f x -+=，则称()f x 是“ς函
数”，给出下列函数：①()()3
1f x x =- ②()cos 2
f x x π
= ③()()sin 11f x x x =-+-其中，
所有的“ς函数”的序号为________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】
由（1）（2）可知，函数是单调递增，并且函数关于点()1,0对称，然后根据函数的特点判断选项.
【详解】如满足条件（1）说明函数()f x 单调递增，若满足条件（2）说明函数关于点()1,0对称，满足这两个条件，()f x 是“ς函数”.
①()()3
1f x x =-是增函数，并且关于点()1,0对称，故①成立；②()cos
2
f x x π
=在定义域
上不是单调函数，故②不成立；③()()sin 11f x x x =-+-，()()cos 110f x x '=-+≥，所以函数单调递增，并且函数关于点()1,0对称，故③成立. 故答案为：①③
【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的性质，有关单调性的一些式子包含1.若函数在定义域满足()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦（或0<）
，或()()1212
0f x f x x x ->-（或0<）说明函数
单调递增（或递减），2.若函数满足()()f a x f a x +=-或()()2f a x f x -=，说明函数关于直线x a =对称，3.若函数满足()()f a x f a x +=--或()()2f a x f x -=-，说明函数关于点(),0a 对称，
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答.
17. 已知向量(2cos ,), (cos , 2sin ), x x x x x ==∈a b R , 设函数()f x =⋅a b . (1) 求()f x 的最小正周期.
(2) 求()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【答案】（1）π；（2）最大值和最小值分别为3, 0. 【解析】 【分析】
（1）求出()f x 化简，即可得出结论；
（2）根据整体思想，结合sin y x =图像特征，即可求出答案. 【详解】(1)
(2cos , 3cos ), (cos , 2sin ), a x x b x x x ==∈R ,
()f x a b =·2cos cos 2sin x x x x =⋅⋅
2cos 21x x =++
1
22cos 2122x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭
.
2sin(2)16
x π
=++.
所以22
T π
π=
=, 所以()f x 最小正周期为π. (2) 当[0,]2
x π∈ 时，7(2)[,]666x πππ
α+∈=，
1
sin(2)sin [,1]62
x πα∴+=∈-.
()2sin(2)12sin 1[0,3]6
f x x π
α=++=+∈
所以()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别为3, 0. 【点睛】本题考查向量的数量积，三角函数的化简以及三角函数的性质，整体思想是解题的关键，属于中档题.
18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()12n n na n S +=+，n *∈N . （1）求证：数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T
【答案】（1）证明见解析；（2）(1)21n
n T n =-⋅+.
【分析】
（1）()12n n na n S +=+，n *∈N ，()1()2n n n n S S n S +-=+，变形为121n n S S
n n
+=⨯+，即可得证.
（2）由（1）1
2
n n S n -=⋅，利用乘公比错位相减法、等比数列求和公式即可得出.
【详解】（1）证明：∵()12n n na n S +=+，n *∈N . ∴()1()2n n n n S S n S +-=+， ∴
121n n S S
n n
+=⨯+， ∴数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等比数列，首项为1，公比为2，.
（2）由（1）可得：12n n
S n
-=， ∴1
2
n n S n -=⋅
∴数列{}n S 的前n 项和2
1122322n n T n -=+⨯+⨯++⨯.
∴23
12122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+-+⨯，
∴23
1
21
12222
2221
n n n
n n T n n ---=+++++-⨯=-⨯-，
∴()121n
n T n =-⋅+.
【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，通项公式的求法，乘公比错位相减法求和、等比数列求和公式等知识，属于中档题.
19. 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为
()()22
,,,sin sin sin sin sin a b c B C A B C -=-
（1）求A ；
（2）已知a =.
【答案】（1）π
3
A =；（2）4a b c <++≤+【解析】
(1)由正弦定理可得()2
2b c a bc -=-，然后由余弦定理可得答案.
(2)由余弦定理可得222a b c bc =+-，由均值不等式结合三角形中两边之和大于第三边可得答案.
【详解】解（1）由()()2
2
sin sin sin sin sin B C A B C -=-可得()2
2b c a bc -=-
即2
2
2
b c a bc +-=，则2221cos 222
b c a bc A bc bc +-===，()0πA ∈，
所以3
A π
=
（2）222222cos bc A a b c c c b b ++=-⋅=-， 即()()2
2
2
31234
a b c bc b c ==+-≥
+
，所以4b c +≤
所以4a b c <++≤+
所以三角形周长的取值范围是(
4+
20. 正项数列{}n a 的前项和n S 满足：2
42n n n S a a =+，(
)*
n ∈N
，
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()
2
2
1
2n n
n b n a +=
+，数列{}
n b 的
前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n ∈N 都有564
n T <
. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用n S 与n a 的关系，结合等差数列的性质，即可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）由2n a n =得出数列{}n b 的通项公式，结合裂项相消法和不等式的性质证明即可. 【详解】（1）解：∵正项数列{}n a 的前项和n S 满足：
2
42n n n S a a =+，()
*n ∈N ① 则2
11142n n n S a a ---=+，()2n ≥②
①-②得()2
2
114222n n n n n a a a a a n --=-+≥-
即()2
2
11222n n n n a a a a n --+=-≥
即()()()()11122n n n n n n a a a a a a n ---+=+-≥ 又10n n a a ->+，12n n a a --=，()2n ≥.
又12a =，所以数列{}n a 是以2为首项2为公差的等差数列.所以2n a n =. （2）证明：由于2n a n =，()
2
21
2n n
n b n a +=
+则()
()2
222111116422n n b n n n n ⎡⎤+=
=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
()()()222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤
=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦
()()222211111151116216264
12n T n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+=⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了由n S 求n a 以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 21. 已知函数2()(1)ln f x x m x =-+，R m ∈.
（1）当2m =时，求函数()f x 图象在点(1,0)处的切线方程： （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求
()
21
f x x 的取值范围. 【答案】（1）220x y --=；（2）21,0e e ⎡⎫
-⎪⎢⎪⎣⎭
【解析】 【分析】
(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；
(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.
【详解】()1当2m =时，()2
(1)2f x x lnx =-+，其导数()()2
'21f x x x
=-+
， 所以，即切线斜率为2，
又切点为()1,0，所以切线的方程为220.x y --=
()2函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()222'21m x x m
f x x x x
-+=-+=
， 因为1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，
所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知
12121,2
m
x x x x +==
，()* 又已知12x x <，所以121
012
x x <<<<，()222211(1)f x x mlnx x x -+=， 将()*式代入得
()()222222
2221
2
(1)21121f x x x x lnx x x lnx x x -+-=
=-+-，
令()12g t t tlnt =-+，1,12t ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
， ，令
，解得1t e
=
， 当11,2x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，
，()g t 在1,2e ⎛ ⎪⎝⎭
递减；
当,1x e ⎫
∈
⎪⎝⎭时， ，()g t 在e ⎫
⎪⎭
递增； 所以2()11min e g t g e e ===()()1,12g t max g g ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()11
20122
g ln g ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即
()21
f x x 的取值范围是21,0.e e ⎡⎫
-⎪⎢⎪⎣⎭
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为23x t
y =-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求l 的极坐标方程和1C 的直角坐标方程； （2）若曲线2C 的极坐标方程为6
π
θ=
，2C 与l 的交点为A ，与1C 异于极点的交点为B ，求
AB .
【答案】（1
）cos sin 20ρθθ+-=；()2
224x y -+= （2
【解析】 【分析】
（1）将参数方程转化为直角方程，转化为极坐标方程，计算直线l 的方程，即可．结合
cos ,sin x y ρθρθ==，得到1C 的直角方程，即可．（2）分别计算极径,A B ρρ，结合A B AB ρρ=-，计算结果，即可．
【详解】（1）因为直线l
的参数方程为23x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数），
所以直线l
的普通方程为20x +-=， 又cos ,sin x y ρθρθ==
故直线l
的极坐标方程为cos sin 20ρθθ+-=.
由曲线C 1的极坐标方程为4cos ρθ=，得2
4cos 0ρρθ-=，
所以曲线C 1的直角坐标方程为()2
224x y -+=. （2）,
,,66A B A B ππρρ⎛⎫
⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
则cos
sin
206
6
A A π
π
ρ-=
，解得1ρ=
.
又4cos
6
B π
ρ==
所以A B AB ρρ=-=
-=. 【点睛】考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了参数方程转化为直角坐标方程，考查了极坐标下弦长计算公式，难度中等． 23. 已知函数11
()22
=
--f x x x m 的最大值为4. （1）求实数m 的值；
（2）若0m >，02
m
x <<，求22|||2|+-x x 最小值. 【答案】（1）4m =-或4m =；（2）4. 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值的三角不等式可求得最值；（2）由题意求得x 的范围，去绝对值后，再利用“1”的代换计算. 【详解】（1）∵1111
()||42222
=--=--≤=f x x x m x m x m ， ∴4m =-或4m =. （2）∵0m >， 由（1）可知4m =， ∴02x <<， ∴
2222111
12[(2)]|||2|222⎛⎫⎛⎫+=+=+=+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
x x x x x x x x x x
22242-=+
+≥+=-x x x x ， 当且仅当2
2
(2)=-x x ， 即1x =时，等号成立，
∴min
224|||2|⎛⎫+= ⎪-⎝⎭x x .
【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式以及基本不等式求最值问题.属于中档题.。