2021-2022学年天津市西青区高二(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）
1. 若向量a ⃗ =(2,0,−1)，向量b ⃗ =(0,1,−2)，则2a ⃗ −b ⃗ =( )
A. (−4,1,−4)
B. (−4,1,0)
C. (4,−1,0)
D. (4,−1,−4)
2. 命题“∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0=x 0−1”的否定是( )
A. ∀x ∉(0,+∞)，lnx =x −1
B. ∀x ∈(0,+∞)，lnx ≠x −1
C. ∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0≠x 0−1
D. ∃x 0∉(0,+∞)，lnx 0=x 0−1
3. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为
[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60
4. 已知过双曲线
x 2a 2
−y 2
b 2=1(a >0,b >0)右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支
有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A. (1,3
2)
B. (1,√2)
C. (√2,√3)
D. (√2,3
2)
5. 二次函数y =x 2的图象的焦点坐标是( )
A. (0,1
4)
B. (−1
4,0)
C. (1
4,0)
D. (0,−1
4)
6. 若直线l 1：ax +2y +2=0与直线l 2：3x −y −2=0平行，则a 的值为( )
A. −3
B. −6
C. 6
D. 3
7. 已知直线2√2x −y +4√2=0经过椭圆x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左焦点F 1，且与椭
圆在第二象限的交点为M ，与y 轴的交点为N ，F 2是椭圆的右焦点，且|MN|=|MF 2|，则椭圆的方程为( )
A. x 2
40+y
2
4
=1
B. x 2
5+y 2=1
C. x 2
10
+y 2=1
D. x 29+y 2
5
=1
8. 过双曲线
x 2a 2
−
y 2b 2
=1的左焦点F 1(−c,0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，
切点为E ，延长F 1E 交抛物线y 2=4cx 于点P ，若F 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2F 1
P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率是( ) A. 1+√5
2
B. 1+√32
C. 3+√52
D. √52
9. 已知三角形的三个顶点A(4,3)，B(−1,2)，C(1,−3)，则△ABC 的高CD 所在的直线
方程是( )
A. 5x +y −2=0
B. x −5y −16=0
C. 5x −y −8=0
D. x +5y +14=0
二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）
10. 已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准
线方程为______．
11. 过点P(−1,3)，且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为______．
12. 曲线y =1+√4−x 2与直线y =k(x −2)+4有两个交点，则实数k 的取值范围是
______．
13. 已知点P 是直线3x +4y −2=0上的点，点Q 是圆(x +1)2+(y +1)2=1上的点，
则|PQ|的最小值是 ．
14. 如图，在三棱锥OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，
OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为NC 中点，{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }构成空间的一个基底，将MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用基底表示，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．
15. 已知点F 1是椭圆
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的左焦点，过原点作直线l 交椭圆于A ，B 两点，M ，N 分别是AF 1，BF 1的中点，若存在以MN 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是______．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
16. 已知圆C ：x 2+y 2+4x −6y +9=0，直线l ：y =k(x +1)+2(k ∈R)．
(1)求证：直线l 与圆C 相交，并求相交所得弦中最短弦的长；
(2)若圆M ：x 2+y 2+(k +1)x −(k +3)y +3k =0(k ≠3)，圆C 、直线l 三者有公共点，求k 的值．
17.如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
(Ⅰ)求证：BF//平面ADE；
(Ⅱ)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(Ⅲ)若二面角E−BD−F的余弦值为1
3
，求线段CF的长．
18.已知双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)与双曲线y2
4
−x2
2
=1有相同的渐近线，且经
过点M(√2,−√2).
(Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
19.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4√3x的焦点相同，
且椭圆C过点(√3,1
2
).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若椭圆C的右顶点为A，与x轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点(MN与A点不重合，)，且满足AM⊥AN，若点P为MN中点，求直线MN与AP的斜率之积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用向量坐标运算性质即可得出．
【解答】
解：2a⃗−b⃗ =2(2,0,−1)−(0,1,−2)=(4,−1,0)，
故选：C．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了全称量词命题、存在量词命题的否定，难度不大，属于基础题．
根据特称命题的否定是全称命题，即可得答案．
【解答】
解：∵特称命题的否定是全称命题，
∴命题“”的否定是“”.故选B．
3.【答案】B
【解析】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，
每组数据的组距为20
则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3，
又∵低于60分的人数是15人，
=50．
则该班的学生人数是15
0.3
故选：B．
由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．
本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即b
a
<tan45°=1，即b<a，
∴√c2−a2<a，
整理得c<√2a，
∴e=c
a
<√2
∵双曲线中e>1
∴e的范围是(1,√2).
故选：B．
要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即b
a
<tan45°=1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=√c2−a2转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．
本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．
5.【答案】A
【解析】解：二次函数y=x2的解析式化为x2=y，
故p=1
2，p
2
=1
4
，再由抛物线的焦点在y轴的正半轴上，
可得焦点坐标是(0,1
4
)，故选：A．
二次函数y=x2的解析式化为x2=y，求出p
2
的值，判断焦点位置，从而写出焦点坐标．本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵直线l1：ax+2y+2=0与直线l2：3x−y−2=0平行，
∴a
3=2
−1
≠2
−2
，
解得a=−6．
故选：B．
利用直线与直线平行的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为直线2√2x−y+4√2=0经过点F1(−c,0)，
所以−2√2c+4√2=0，
解得c=2，
在直线2√2x−y+4√2=0中，令x=0得，y=4√2，
所以N(0,4√2)，
所以|NF1|=√22+(4√2)2=6，
又因为M点在椭圆上，|MN|=|MF2|，
所以|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MN|=|NF1|=6，
所以2a=6，a=3，
又因为a2=b2+c2，
所以b2=5，
所以椭圆的方程为x2
9+y2
5
=1．
故选：D．
根据直线经过左焦点可得c的值，与y轴的交点为N，可得N点坐标，从而得NF1，结合|MN|=|MF2|，由椭圆定义可得2a，从而计算得b的值，最后写出椭圆方程．
本题主要考查椭圆及其标准方程，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标
为(c,0)，
因为抛物线为y2=4cx，所以F2为抛物线的焦点，
因为O为F1F2的中点，E为F1P的中点，
所以OE为△PF1F2的中位线，
所以OE//PF2，
因为|OE|=a，所以|PF2|=2a
又PF2⊥PF，|F1F2|=2c所以|PF1|=2b
设P(x,y)，则由抛物线的定义可得x+c=2a，
所以x=2a−c
过点F作x轴的垂线，点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理y2+4a2=4b2，即4c(2a−c)+4a2=4(c2−a2)
得e2−e−1=0，
∴e=1+√5
2
．
故选：A．
双曲线的右焦点的坐标为(c,0)，利用O为F1F2的中点，E为F1P的中点，所以OE为△PF1F2的中位线，从而可求|PF2|，再设P(x,y)过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．
本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】解：由斜率公式可得k AB=3−2
4+1=1
5
，
∵CD⊥AB，∴k CD=−5，
∴直线CD的方程为：y+3=−5(x−1)，化为一般式可得5x+y−2=0．
故选：A．
由斜率公式可得AB的斜率，由垂直关系可得CD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．
本题考查一元二次不等式的解集合直线的垂直关系，属基础题．
10.【答案】x=−4
【解析】解：∵抛物线方程为y2=2px
∴抛物线焦点为F(p
2,0)，准线方程为x=−p
2
又∵点M(1,m)到其焦点的距离为5，
∴p>0，根据抛物线的定义，得1+p
2
=5，∴p=8，∴准线方程为x=−4．
故答案为：x=−4．
由题意得：抛物线焦点为F(p
2,0)，准线方程为x=−p
2
.因为点M(1,m)到其焦点的距离为
5，所以点M到抛物线的准线的距离为：1+p
2
=5，从而得到p=8，得到该抛物线的准线方程．
本题考查了抛物线的定义和准线方程，以及抛物线的基本概念，属于基础题．
11.【答案】3x+y=0或x+y−2=0
【解析】解：根据题意，当要求直线经过原点时，其斜率k=3−0
−1−0
=−3，
则其方程为y=−3x，即3x+y=0，
当要求直线不经过原点时，其斜率k=−1，设其方程为x+y=m，
则有(−1)+3=m，解可得m=2，
此时直线的方程为x+y=2，即x+y−2=0，
综合可得：要求直线的方程为3x+y=0或x+y−2=0；
故答案为：3x+y=0或x+y−2=0．
根据题意，分直线是否经过原点两种情况讨论，求出直线的方程，综合可得答案．
本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，属基础题．
12.【答案】(5
12,3 4 ]
【解析】解：y=1+√4−x2可化为x2+(y−1)2=4，y≥1，所以曲线为以(0,1)为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．
直线y=k(x−2)+4过定点p(2,4)，由图知，当直线经过A(−2,1)点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转
到与曲线相切时交点变为一个．
且k AP=4−1
2+2=3
4
，由直线与圆相切得d=|−1+4−2k|
√k2+1
=2，解得k=5
12
则实数k的取值范围为(5
12,3 4 ]
故答案为：(5
12,3 4 ]
先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．
本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．
13.【答案】4
5
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
求出圆心到直线的距离减去半径即可得到|PQ|的最小值．
【解答】
解：如图，
圆心(−1,−1)到点P的距离的最小值为点(−1,−1)到直线的距离d=|−3−4−2|
5=9
5
>1，所
以直线和圆相离，
故点Q 到点P 的距离的最小值为d −1=45． 故答案为：45． 14.【答案】−23a ⃗ +12b ⃗ +1
2c ⃗
【解析】解：如图，连接ON ，
在三棱锥OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，
OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为NC 中点，
所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23
OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ +12b ⃗ +12
c ⃗ ． 故答案为：−23a ⃗ +12b ⃗ +1
2
c ⃗ ． 利用三角形法则即可得出．
本题考查空间向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】(√22
,1)
【解析】解：如图所示，当点M ，N 分别是AF 1、BF 1的中点时，OM ，ON 是△ABF 1的两条中位线，
若以MN 为直径的圆过原点，则有OM ⊥ON ，AF 1⊥BF 1，
设点A(x 0,y 0)，则点B(−x 0,−y 0)，又点F 1(−c,0)，
所以，AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −x 0,−y 0)，BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c +x 0,y 0)，
则AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c 2−x 02−y 02=0，又x 02a 2+y 02b 2=1，
所以，c 2a 2x 02+b 2−c 2=0，得x 02=a 2(c 2−b 2)c 2，
即只需0<
a 2(c 2−
b 2)
c 2<a 2，整理得：2c 2>a 2， 解得√22
<e ，又e <1， 所以√22
<e <1． 故答案为：(√22,1) 由题意分析可知AF 1⊥BF 1，设点A(x 0,y 0)，利用AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得到关于x 0，y 0的方程，
再联立x 0
2a 2+y 02b 2=1，用含a ，b ，c 的式子表示出x 0
2，只需满足0<x 02<a 2，得出离心率的范围．
本题主要考查椭圆离心率取值范围的求解，属于中等题．
16.【答案】解：(1)易知直线l ：y =k(x +1)+2恒过点P(−1,2)
∵(−1)2+22+4×(−1)−6×2+9=−2<0，∴点P(−1,2)在圆C 内，
∴直线l 与圆C 相交
圆C 的圆心坐标为C(−2,3)，半径为2．
当点P(−1,2)为弦中点时，弦长最短，此时半弦、PC 、半径构成以半径为直角边的直角三角形．
∵PC =√(−1+2)2+(2−3)2=√2
∴所求最短弦的长为2√22−(√2)2=2√2
(2)圆M 与圆C 的公共点在直线x 2+y 2+(k +1)x −(k +3)y +3k −(x 2+y 2+4x −6y +9)=0上
即在直线(k −3)x −(k −3)y +3(k −3)=0上
∵k ≠3∴x −y +3=0
∵点P(−1,2)在直线x −y +3=0上、在圆C 内，且圆M 、圆C 、直线l 有公共点， ∴直线l ：y =k(x +1)+2与直线x −y +3=0重合．
∴{k =1k +2=3
，解得k =1即为所求．
【解析】(1)求出直线l 恒过点坐标，判断恒过点在圆内，即可证：直线l 与圆C 相交；与直线l 过圆心垂直的弦是最短的；
(2)圆M 与圆C 的公共点在直线，利用圆系求解即可．
本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，圆系的利用是解决本题的关键．
17.【答案】(Ⅰ)证明：因为AE ⊥平面ABCD ，AD ，AB 在平面ABCD 内，
则AE ⊥AD ，AE ⊥AB ，又AD ⊥AB ，
故以A 为坐标原点，分别以AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)．
设CF =ℎ(ℎ>0)，则F(1,2,ℎ)．
则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)是平面ADE 的法向量，又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,ℎ)，可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 又∵直线BF ⊄平面ADE ，
∴BF//平面ADE ；
(Ⅱ)解：依题意，BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,2)． 设n
⃗ =(x,y,z)为平面BDE 的法向量， 则{n ⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0n
⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2z =0, 令z =1，得n
⃗ =(2,2,1)． ∴cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |
=−49． ∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49；
(Ⅲ)解：设m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)为平面BDF 的法向量，
则{m ⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1+y 1=0m ⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 1+ℎz 1=0
, 取y 1=1，可得m
⃗⃗⃗ =(1,1,−2ℎ)， 由题意，|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|4−2ℎ|3×√2+4ℎ2=1
3，
解得ℎ=87．
经检验，符合题意．
∴线段CF 的长为87．
【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，利用空间向量求解线面角与二面角的大小，是拔高题．
(Ⅰ)以A 为坐标原点，分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
求得A ，B ，C ，D ，E 的坐标，设CF =ℎ(ℎ>0)，得F(1,2,ℎ).可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)是平面ADE 的法向量，再求出BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,ℎ)，由BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，
且直线BF ⊄平面ADE ，得BF//平面ADE ； (Ⅱ)求出CE
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,2)，再求出平面BDE 的法向量，利用数量积求夹角公式得到直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；
(Ⅲ)求出平面BDF 的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为13列式求线段CF 的长．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵双曲线C 与双曲线
y 24−x 22=1有相同的渐近线， ∴设双曲线C 的方程为x 22−y 24=λ(λ≠0)，
代入M(√2,−√2)，解得λ=12，
故双曲线C 的方程为：x 2−y 22=1．
(Ⅱ)由方程得a =1，b =√2，c =√3，故离心率e =c a =√3．
其渐近线方程为y =±b a x =±√2x ；
焦点F(±√3,0)到渐近线的距离为：√2×√3
√1+2=√2．
故双曲线C 的实轴长为2，离心率为√3，焦点到渐近线的距离为√2．
【解析】本题考查双曲线的方程及简单性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
(Ⅰ)由题意设双曲线C 的方程，代入M 的坐标，即可求解双曲线C 的方程．
(Ⅱ)利用双曲线C 的方程，然后求解双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
19.【答案】解：(I)抛物线y 2=4√3x 的焦点为(√3,0)，
∴c =√a 2−b 2=√3，
又椭圆过点(√3,12)，即3a 2+14b 2=1，
解得：a =2，b =1，
∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2=1．
(II)题意的右顶点为A(2,0)，由题意可知直线AM 的斜率存在且不为0，
设AM 的方程为y =k(x −2)，由MN 与x 轴不垂直，故k ≠±1．
联立方程组{y =k(x −2)x 24
+y 2=1，消元可得：(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，
由根与系数的关系可得：2x 1=16k 2−41+4k 2，故x 1=8k 2−21+4k 2
，y 1=k(x 1−2)=−4k 1+4k 2， ∵AM ⊥AN ，故直线AN 的方程为y =−1k (x −2)，
用−1k 替换k 可得：x 2=
8−2k 24+k 2，y 2=4k 4+k 2， ∴P 点坐标为P(30k 2(1+4k 2)(4+k 2),6k(k 2−1)(1+4k 2)(4+k 2))，
∴直线PA 的斜率k 1=6k(k 2−1)
(1+4k 2)(4+k 2)
30k 2(1+4k 2)(4+k 2)−2=3k(1−k 2)2(2k 4+k 2+2)，
直线MN 的斜率k 2=y 2−y 1x
2−x 1=4k 4+k 2+4k 1+4k 28−2k 24+k 2−8k 2−21+4k 2
=5k 4(1−k 2)， ∴k 1k 2=15k 28(2k 4+k 2+2)=15
8(2k 2+2k 2+1)，
∵k 2>0且k 2≠1，∴2k 2+
2k 2>2√2k 2⋅2k 2=4， ∴0<15
8(2k 2+2k 2+1)<38． 即k 1k 2∈(0,38).
∴直线MN 与AP 的斜率之积的取值范围是(0,38).
【解析】
(I)根据焦点坐标和椭圆过点(√3,12)列方程组求出a ，b 的值即可得出椭圆方程； (II)设AM 斜率为k ，用k 表示出M 的坐标，同理求出N 点坐标，根据根与系数的关系计算直线MN 与AP 的斜率之积，得出关于k 的函数，利用基本不等式和k 的范围得出答案． 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．。