安徽理工大学精品课程土力学教案04
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假定：水平地基半无限空间体 半无限弹性体有侧限应变条 件 一维问题
计算：地下水位以上用天然容 重，地下水位以下用浮容重
（二） 水平地基中的自重应力
1.计算公式
均质地基 成层地基
竖直向：sz z
sz W A zA A z
水平向：sxsyK0sz
K0
1
xz2 R5
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
1. 角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
dPpdxdy
dP p y
3dPz3 3pz3 dz 2 R5 2R5dxdy
基底压力计算 有效应力原理
建筑物修建以后，建筑 物重量等外荷载在地基 中引起的应力，所谓的 “附加”是指在原来自 重应力基础上增加的压 力。
地基的强度问题 地基的变形问题
M
(二)应力状态及应力应变关系 基本概念 (1) 土力学中应力符号的规定
z zx
∞
地基：半无限空间
o
∞
xy
x
y yz
x
y z
∞
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
土力学中符号的规定
- zx
z +
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
材料力学与土力学的正 负号规定正好相反！
倾斜偏心荷载
P Pv Ph
分解为竖直向和水平 向荷载，水平荷载引 起的基底水平应力视 为均匀分布。
第三章 地基中的应力计算
§3.1 概述 §3.2 自重应力 §3.3 基底的接触压力
§3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力
§3.5 饱和土的有效应力原理
§3.3 附加应力 地基中附加应力计算
竖直 集中力
第三章
地基中的应力计算
§3.1 概述
§3.2 自重应力 §3.3 基底的接触压力 §3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力 §3.5 饱和土的有效应力原理
§3.1 概述 (本章要解决的问题)
(一)地基的受力状态
地基中的应力状态 应力应变关系
应力状态及应力应变关系
自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
粘性土地基
(三)接触压力的弹性力学解
1、 接触压力的弹性力学解
布辛奈斯克假定地基是半无限弹性体，基础底面没有摩 擦力，刚性基础的接触压力p按下式计算〕。
（1）条形基础的接触压力
2Q 1 p(x)
B 1(2x/B)2
（2）长方形基础的接触压力
4Q
1
p(x,y)
2BL 1(2x/B )2 1(2y/L )2
水平地基半无限空间体；
半无限弹性地基内的自重应
力只与Z有关；
土质点或土单元不可能有侧
向位移侧限应变条件； 任何竖直面都是对称面
y
应变条件
y x 0; xyyzzx0
o x
A
B
z
sA sB
(4)侧限应力状态—— 一维问题
应变条件
应力条件
独立变量
y x 0;
（3）圆形基础的接触压力
p(r) Q
1
2R2 1(r/R)2
刚性基础的接触压力分布
(a)半无限弹性地基的接触压力分布 (b)端部屈服时的接触压力分布
(a)砂土地基
(b)粘土地基
砂土地基与粘土地基的接触压力分布规律
(四) 实用简化计算
基底压力 的分布形 式十分复
杂
根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式 对地基应力计算的影响仅局限于一定深度范 围；超出此范围以后，地基中附加应力的分 布将与基底压力的分布关系不大，而只取决 于荷载的大小、方向和合力的位置。
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz
0zx 0zy z
(3)平面应变条件——二维问题
垂直于y轴切出的任意断
面的几何形状均相同，其地
基内的应力状态也相同；
o
沿长度方向有足够长度，
x
L/B≧10；
平面应变条件下，土体在 x, z平面内可以变形，但在 y方向没有变形。
应变条件
应力条件
z
x y; z
x y; z
zx
xy,yz,zx 0 xy,yz,zx 0
独立变量： x y , z ; x y, z
xy
x
y yz
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z
集中力作用下的 应力分布系数
r/ztg
P z K z2
查表3－1
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算
P
二. －布辛内斯克课题
z
K
P z2
o αr
y
x
x
M’
R βz
K23[1(r/1z)2]5/2
y
0.5
z
M
特点
0.4
1.σz与α无关，应力呈轴对称分布
0.3
2.σz:τzy:τzx= z:y:x, 合力过原点，与R同向
当ey 0,ex e
p max
min
P A
1
6e B
pmin
P16e A B
pmax
min
P16e A B
矩形面积单向偏心荷载
高耸结构物下可 能的的基底压力
P
P
P
土不能承受拉力
B
B
e
e
x
Lx
L
y
y
p max
pmin0 p max
pmin0
基础尺寸较小 荷载不是很大
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布的材料力学方法
(四) 实用简化计算
基础形状与荷载条件的组合
荷载条件
竖直中心
竖直偏心
倾斜偏心
P
矩 形
基 础 形 状条
形
L B
pP A
P’ B
pP B
P’—单位长 度上的荷载
P
x y
o
L
B
p(x,y)PMxyMyx A Ix Iy
P’
B
p(x) P Mx BI
P L
B
PPvPh
P’ B
PPvPh
矩形面积中心荷载 P
B
x
L
y
矩形面积偏心荷载
P B
p(x,y)PMxyMyx A Ix Iy
Mx P ey; My P ex
x
ey
L
ex
y
pP A
pmax
P16e A B
(三） 地下水位对自重应力的影响
1 (1 2)
2
2
均质地基
成层地基
(四) 分布规律
自重应力分布线的斜率是容重； 自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 在土层分界面处和地下水位处发生转折。
第三章 地基中的应力计算
§3.1 概述 §3.2 自重应力
y
z z
y 0;
yx yz 0;
zx z
zx
xy
x
zx 0
x xz
y yz
(3)平面应变条件——二维问题
应变条件
y 0; xy yz 0; zx 0
应力条件
y
y E
E
x
z
0
yxz
§3.3 基底的接触压力
§3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力 §3.5 饱和土的有效应力原理
§3.3 基底的接触压力
建筑物设计
上部结构 基础 地基
基础结构的外荷载
基底反力
基底压力 附加应力 地基沉降变形
影响因素 计算方法 分布规律
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。
5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
6.σz
等值线－应力泡
P
P
0.1P 0.05P 0.02P
0.01P
球根
应力 球根
二. 水平集中力作用下的附加应力计算－西罗提课题
Ph
y
o
αr
x R
y M’
βz
x
z zx
M
xy
x
y yz
z
z
3Ph 2
暂不考虑上部结构的影 响，使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
(一) 影响因素
基底压力
•大小 •方向 •分布
荷载条件
基础条件
•刚度 •形状 •大小 •埋深
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
(二)基底压力分布
条形基础，竖直均布荷载
基础抗弯刚度EI=0 → M=0； 基础变形能完全适应地基表面的变形; 基础上下压力分布必须完全相同，若不 同将会产生弯矩。
K
0.2
0.1
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
r/z
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
K
P z2
特点
K23[1(r/1z)2]5/2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小
一. 竖直集中力作用下的附加应力计5
zy
3P 2
yz2 R5
3P xz2 zx 2 R5
z:zy:zxz:y:x
R 2r2z2x 2y2z2
z3 2P R z3523 [1(r/1z)2]5/2zP 2
K 3 1 3 1 2 [1(r/z)2]5/2 2 [1t2 g ]5/2
矩形面积水平均布荷载
其他：表3－6
特殊荷载：将荷载和面积进行分 解，利用已知解和叠加原理求解
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
P
o
αr
x R
y M’
βz
x
z zx
y
xy
x
M
y yz
z
R 2r2z2x 2y2z2 r/ztg
x y z xy yz zx（P；x,y,z；R, α, β)
水平 集中力
矩形面积竖直均布荷载 矩形面积竖直三角形荷载 竖直线布荷载 条形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直均布荷载
矩形面积水平均布荷载
特殊面积、特殊荷载
竖直 矩形内积分 集中力
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
圆内积 分
竖直线布荷载 宽度积分 圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
水平集中力 矩形内积分
弹性地基，绝对刚性基础 抗弯刚度EI=∞ → M≠0； 反证法: 假设基底压力与荷载分布相同， 则地基变形与柔性基础情况必然一致； 分布: 中间小, 两端无穷大。
(二)基底压力分布
弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
竖直向：sz iHi sz 1 H 1 2 H 2 3 H 3 ;
γ1
Z γ2
H 1 水平向： s x s yK 0 s zK 0 iH i
容重：地下水位以上用天然容重γ
H2
地下水位以下用浮容重γ’
γ3 H 3
思考题：水位骤降后，原水位到现水位之间 的饱和土层用什么容重？
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
B
压力调整
Ke
基底
x
L
压力
K=B/2-e
合力
与总
3K y pmin0
荷载 相等
p max
2P
2P
pmax3K
L3(B2e)L
e>B/6: 出现拉应力区
条形基础竖直偏心荷载 e
P B
p(x) P Mx BI
pmax
min
P B
1
6e B
独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x,z)
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij =
x 0xy xz 0yx y 0yz
zx 0zy z
(4)侧限应力状态—— 一维问题
xyyzzx0; x y;
z,z F(z)
xyyzzx0 x E xE yz 0;
xy1zK0z; K0：侧压力系数
ij =
0 x 0xy 0xz 0yx 0 y 0yz
0zx 0 zy z
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz
0zx 0zy z
第三章 地基中的应力计算
§3.1 概述
§3.2 自重应力
§3.3 基底的接触压力 §3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力 §3.5 饱和土的有效应力原理
§3.2 自重应力
(一) 基本概念
定义：地基中由土体本身的有效 重量而产生的应力。 目的：确定土体的初始应力状态
(三) 地基中常见的应力状态
(1)一般应力状态——三维问题
z
zx
xy
x
y yz
o x
z y
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
(2) 轴对称三维问题
计算：地下水位以上用天然容 重，地下水位以下用浮容重
（二） 水平地基中的自重应力
1.计算公式
均质地基 成层地基
竖直向：sz z
sz W A zA A z
水平向：sxsyK0sz
K0
1
xz2 R5
三. 矩形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
1. 角点下的垂直附加应力 ——B氏解的应用
dPpdxdy
dP p y
3dPz3 3pz3 dz 2 R5 2R5dxdy
基底压力计算 有效应力原理
建筑物修建以后，建筑 物重量等外荷载在地基 中引起的应力，所谓的 “附加”是指在原来自 重应力基础上增加的压 力。
地基的强度问题 地基的变形问题
M
(二)应力状态及应力应变关系 基本概念 (1) 土力学中应力符号的规定
z zx
∞
地基：半无限空间
o
∞
xy
x
y yz
x
y z
∞
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
土力学中符号的规定
- zx
z +
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
材料力学与土力学的正 负号规定正好相反！
倾斜偏心荷载
P Pv Ph
分解为竖直向和水平 向荷载，水平荷载引 起的基底水平应力视 为均匀分布。
第三章 地基中的应力计算
§3.1 概述 §3.2 自重应力 §3.3 基底的接触压力
§3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力
§3.5 饱和土的有效应力原理
§3.3 附加应力 地基中附加应力计算
竖直 集中力
第三章
地基中的应力计算
§3.1 概述
§3.2 自重应力 §3.3 基底的接触压力 §3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力 §3.5 饱和土的有效应力原理
§3.1 概述 (本章要解决的问题)
(一)地基的受力状态
地基中的应力状态 应力应变关系
应力状态及应力应变关系
自重应力 附加应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
粘性土地基
(三)接触压力的弹性力学解
1、 接触压力的弹性力学解
布辛奈斯克假定地基是半无限弹性体，基础底面没有摩 擦力，刚性基础的接触压力p按下式计算〕。
（1）条形基础的接触压力
2Q 1 p(x)
B 1(2x/B)2
（2）长方形基础的接触压力
4Q
1
p(x,y)
2BL 1(2x/B )2 1(2y/L )2
水平地基半无限空间体；
半无限弹性地基内的自重应
力只与Z有关；
土质点或土单元不可能有侧
向位移侧限应变条件； 任何竖直面都是对称面
y
应变条件
y x 0; xyyzzx0
o x
A
B
z
sA sB
(4)侧限应力状态—— 一维问题
应变条件
应力条件
独立变量
y x 0;
（3）圆形基础的接触压力
p(r) Q
1
2R2 1(r/R)2
刚性基础的接触压力分布
(a)半无限弹性地基的接触压力分布 (b)端部屈服时的接触压力分布
(a)砂土地基
(b)粘土地基
砂土地基与粘土地基的接触压力分布规律
(四) 实用简化计算
基底压力 的分布形 式十分复
杂
根据圣维南原理，基底压力的具体分布形式 对地基应力计算的影响仅局限于一定深度范 围；超出此范围以后，地基中附加应力的分 布将与基底压力的分布关系不大，而只取决 于荷载的大小、方向和合力的位置。
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz
0zx 0zy z
(3)平面应变条件——二维问题
垂直于y轴切出的任意断
面的几何形状均相同，其地
基内的应力状态也相同；
o
沿长度方向有足够长度，
x
L/B≧10；
平面应变条件下，土体在 x, z平面内可以变形，但在 y方向没有变形。
应变条件
应力条件
z
x y; z
x y; z
zx
xy,yz,zx 0 xy,yz,zx 0
独立变量： x y , z ; x y, z
xy
x
y yz
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z
集中力作用下的 应力分布系数
r/ztg
P z K z2
查表3－1
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算
P
二. －布辛内斯克课题
z
K
P z2
o αr
y
x
x
M’
R βz
K23[1(r/1z)2]5/2
y
0.5
z
M
特点
0.4
1.σz与α无关，应力呈轴对称分布
0.3
2.σz:τzy:τzx= z:y:x, 合力过原点，与R同向
当ey 0,ex e
p max
min
P A
1
6e B
pmin
P16e A B
pmax
min
P16e A B
矩形面积单向偏心荷载
高耸结构物下可 能的的基底压力
P
P
P
土不能承受拉力
B
B
e
e
x
Lx
L
y
y
p max
pmin0 p max
pmin0
基础尺寸较小 荷载不是很大
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布的材料力学方法
(四) 实用简化计算
基础形状与荷载条件的组合
荷载条件
竖直中心
竖直偏心
倾斜偏心
P
矩 形
基 础 形 状条
形
L B
pP A
P’ B
pP B
P’—单位长 度上的荷载
P
x y
o
L
B
p(x,y)PMxyMyx A Ix Iy
P’
B
p(x) P Mx BI
P L
B
PPvPh
P’ B
PPvPh
矩形面积中心荷载 P
B
x
L
y
矩形面积偏心荷载
P B
p(x,y)PMxyMyx A Ix Iy
Mx P ey; My P ex
x
ey
L
ex
y
pP A
pmax
P16e A B
(三） 地下水位对自重应力的影响
1 (1 2)
2
2
均质地基
成层地基
(四) 分布规律
自重应力分布线的斜率是容重； 自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 在土层分界面处和地下水位处发生转折。
第三章 地基中的应力计算
§3.1 概述 §3.2 自重应力
y
z z
y 0;
yx yz 0;
zx z
zx
xy
x
zx 0
x xz
y yz
(3)平面应变条件——二维问题
应变条件
y 0; xy yz 0; zx 0
应力条件
y
y E
E
x
z
0
yxz
§3.3 基底的接触压力
§3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力 §3.5 饱和土的有效应力原理
§3.3 基底的接触压力
建筑物设计
上部结构 基础 地基
基础结构的外荷载
基底反力
基底压力 附加应力 地基沉降变形
影响因素 计算方法 分布规律
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。
5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
6.σz
等值线－应力泡
P
P
0.1P 0.05P 0.02P
0.01P
球根
应力 球根
二. 水平集中力作用下的附加应力计算－西罗提课题
Ph
y
o
αr
x R
y M’
βz
x
z zx
M
xy
x
y yz
z
z
3Ph 2
暂不考虑上部结构的影 响，使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
(一) 影响因素
基底压力
•大小 •方向 •分布
荷载条件
基础条件
•刚度 •形状 •大小 •埋深
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
(二)基底压力分布
条形基础，竖直均布荷载
基础抗弯刚度EI=0 → M=0； 基础变形能完全适应地基表面的变形; 基础上下压力分布必须完全相同，若不 同将会产生弯矩。
K
0.2
0.1
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
r/z
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
z
K
P z2
特点
K23[1(r/1z)2]5/2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小
一. 竖直集中力作用下的附加应力计5
zy
3P 2
yz2 R5
3P xz2 zx 2 R5
z:zy:zxz:y:x
R 2r2z2x 2y2z2
z3 2P R z3523 [1(r/1z)2]5/2zP 2
K 3 1 3 1 2 [1(r/z)2]5/2 2 [1t2 g ]5/2
矩形面积水平均布荷载
其他：表3－6
特殊荷载：将荷载和面积进行分 解，利用已知解和叠加原理求解
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
P
o
αr
x R
y M’
βz
x
z zx
y
xy
x
M
y yz
z
R 2r2z2x 2y2z2 r/ztg
x y z xy yz zx（P；x,y,z；R, α, β)
水平 集中力
矩形面积竖直均布荷载 矩形面积竖直三角形荷载 竖直线布荷载 条形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直均布荷载
矩形面积水平均布荷载
特殊面积、特殊荷载
竖直 矩形内积分 集中力
矩形面积竖直三角形荷载 矩形面积竖直均布荷载
圆内积 分
竖直线布荷载 宽度积分 圆形面积竖直均布荷载
条形面积竖直均布荷载
水平集中力 矩形内积分
弹性地基，绝对刚性基础 抗弯刚度EI=∞ → M≠0； 反证法: 假设基底压力与荷载分布相同， 则地基变形与柔性基础情况必然一致； 分布: 中间小, 两端无穷大。
(二)基底压力分布
弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
竖直向：sz iHi sz 1 H 1 2 H 2 3 H 3 ;
γ1
Z γ2
H 1 水平向： s x s yK 0 s zK 0 iH i
容重：地下水位以上用天然容重γ
H2
地下水位以下用浮容重γ’
γ3 H 3
思考题：水位骤降后，原水位到现水位之间 的饱和土层用什么容重？
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
B
压力调整
Ke
基底
x
L
压力
K=B/2-e
合力
与总
3K y pmin0
荷载 相等
p max
2P
2P
pmax3K
L3(B2e)L
e>B/6: 出现拉应力区
条形基础竖直偏心荷载 e
P B
p(x) P Mx BI
pmax
min
P B
1
6e B
独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x,z)
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij =
x 0xy xz 0yx y 0yz
zx 0zy z
(4)侧限应力状态—— 一维问题
xyyzzx0; x y;
z,z F(z)
xyyzzx0 x E xE yz 0;
xy1zK0z; K0：侧压力系数
ij =
0 x 0xy 0xz 0yx 0 y 0yz
0zx 0 zy z
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz
0zx 0zy z
第三章 地基中的应力计算
§3.1 概述
§3.2 自重应力
§3.3 基底的接触压力 §3.4 各种荷载作用下地基内的附加应力 §3.5 饱和土的有效应力原理
§3.2 自重应力
(一) 基本概念
定义：地基中由土体本身的有效 重量而产生的应力。 目的：确定土体的初始应力状态
(三) 地基中常见的应力状态
(1)一般应力状态——三维问题
z
zx
xy
x
y yz
o x
z y
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
(2) 轴对称三维问题