ch微分中值定理实用

柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及F ( x)满足
（1）在闭区间[a, b]上连续；
（2）在开区间(a, b)内可导；
（3）且F ' ( x)在(a, b)内每一点处均不为零，
则在(a, b)内至少有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
此时 F (a) F (b) 0, F C[a,b], 且在(a,b)内可导.
(a, b), 使F( ) 0.
即f ( ) f (b) f (a) .
ba
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注1.罗Hale Waihona Puke 定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.
注2: Lagrange中值定理的几种形式
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y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
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分析
y
条件中与罗尔定理
C
y f (x)
M
B
相差 f (a) f (b).
A
的稳定点或驻点.
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注意： 1 . Fermat定理的逆不一定成立。 例如, y x3 , y x0 0, 但x 0不是极值点.
2.如果f ( x)在(a, b)内可导，在[a, b]连续，且在 (a, b)内导数恒不为0，则只能在区间端点取到函 数的最大值和最小值.
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0
y x , x [2,2];
y x, x [0,1].
2008年11月12日
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例1 证明：如 f可导,则 f ( x)的任意两个相邻零点间 至少存在f 的一个零点.
证明 设f ( x1 ) 0, f ( x2 ) 0, f C[x1, x2 ], 且在( x1, x2 )可导, 由Rolle定理，知 ( x1 , x2 )使f ( ) 0.
推论3 (导数极限定理)
(1) 设函数f ( x)在[x0 , b)上连续，在(x0 , b)内可导，
且 lim x x0
f
'( x)
A，则
f
'
(
x0
)
A;
(2) 设函数f ( x)在(a, x0 ]上连续，在(a, x0 )内可导，
且 lim x x0
f '( x)
A，则
f
'
(
x0
)
A;
1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个 小于 1的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1,
且 f (0) 1, f (1) 3.
则 f ( x)在[0,1]连续, 由介值定理
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x)在该点的导数等于零，即 f ' () 0。
2008年11月12日
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证明 f C[a,b], 必有最值m、M. 若M m, f ( x) c, (a,b), f ( ) 0. 若M m,由f (a) f (b), f在内部必取得M或m, (a,b), 使f ( ) 0.
则对x1 x2 , x1, x2 [a,b]，
使 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ). 由x1, x2任意性, f ( x) c.
推论2 f g c f g 0
2008年11月12日
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x2
由于0
1
1
2
1
arctan x2 arctan x1
x2 x1
0, ,当 x2 x1 时, arctan x2 arctan x1
推论
若x (a,b),有 | f ( x) | M ,则 f在(a,b)上一致连续.
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5 柯西中值定理
f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得 f () 0.
1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
f (0) 0,
f ( x) 1 , 1 x
由上式得
ln(1
x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
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Lagrange中值公式
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证 (代数角度)
首先,由F ' (x) 0知 F (b) F (a), (反证可知 )
令(x) [ f (b) f (a)]F(x) [F(b) F(a)] f (x)
应用：利用导函数的极限来求区间端点或分段点的左右导数！
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例4 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0.
1 x2
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小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f (a) f (b) Lagrange g( x) x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
2008年11月12日
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拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x) （1）在闭区间[a, b]上连续； （2）在开区间(a, b)内可导,则在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
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几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
一点C(F (), f ()),在
该点处的切线平行于
A
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
N
D
弦AB.
证 (几何角度)
o F(a) F(1) F(x)
F (2 )F (b)
x
作辅助函数
( x) f ( x) f (a) f (b) f (a) [F ( x) F (a)]. F(b) F(a)
满足Rolle定理
(a,b),使' ( ) 0, 即 f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ' ( )
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例7 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明 :
至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
2008年11月12日
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几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C , 在该点处的切线是
水平的.
o a 1
y f (x)
2 b x
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注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如,
y
1
x, 0,
x x
(0,1] ;
分析：结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g(x) x2 ,
则 f ( x), g( x) 在[0,1]上满足柯西中值定理的条件
在(0,1)内至少存在一点, 有
f (1)
f (0)
f () ,
g(1) g(0) 2
即 f () 2[ f (1) f (0)].
将c记为x f ( x) xf ( x) 0
证明 令F ( x) xf ( x),
F (0) F (1) 0, F C[0,1], 在(0,1)可导,
c (0,1),使F (c) 0. 即f (c) f (c) . c
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EX. 设a0 , a1,, an为实常数，且
进而可知：若f有n个零点
f 至少有n 1个零点， f 至少有n 2 个零点，
f (k)至少有n k个零点.
2008年11月12日
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例2 设f在[0,1]连续, (0,1)内可导, 且f (1) 0.
求证c (0,1), 使f (c) f (c) c
思路：构造辅助函数
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3. 罗尔(Rolle)中值定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x) 满足 （1）在闭区间 [a, b]上连续； （2）在开区间(a, b)内可导； （3）且 在 区 间 端 点 的 函 数 值 相 等 ， 即
f (a) f (b), 则在(a, b)内至少有一点(a b),使得函数
N
D
弦AB方程为
o a 1 x
y f (a) f (b) f (a) ( x a).
ba
2 b
x
曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
2008年11月12日
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证明 (几何角度)
令F ( x) f ( x) y f ( x) f (a) f (b) f (a) ( x a), ba
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
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例6 求证 : arctan x在(,)一致连续
证明 x1, x2 ,在 [ x1, x2 ]或[ x2 , x1]上
1
arctan x2 arctan x1 1 2 ( x2 x1 ) x1
1 x2
f ( x) C, x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 即 C .
22
2
arcsin x arccos x . 2
2008年11月12日
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例5 (证明不等式) 求证 x 0时, x ln(1 x) x.
2008年11月12日
有限增量公式.
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推论1 f C[a,b], 在(a,b)内可导,则 f在[a, b]上 c f ( x) 0, x (a,b).
证明 若 f ( x) c, x [a,b],则 f ( x) 0, x (a,b).
若 f ( x) 0,x (a,b),
( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 () 0.
2008年11月12日
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即 f () f (b) f (a) F () 0, F(b) F(a)
f (b) f (a) f () . F (b) F (a) F ()
特别, 当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
2.Fermat定理(费马)
设 f 在 x0 处可导,且 x0 是极值点, 则 f ( x0 ) 0.
Fermat定理的几何意义
若f '( x0 ),且x0为f ( x)的极值点，则曲线y f ( x) 在M( x0 , f ( x0 ))处有水平切线.
y
y
o
x0
xo
x0
x
定义2 若f ( x0 ) 0 ，则点x0称为函数f ( x)
a0
a1 2
a2 3
an1 n
an n 1
0,
证明函数f (x) a0 a1x a2x2 an1xn1 an xn 在(0,1)内有零点。
思路：构造辅助函数
F x
a0 x
a1 x2 2
a2 x3 3
an1 xn an xn1 n n1
2008年11月12日
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4 拉格朗日(Lagrange)中值定理
设f (x)在[a,b]上满足拉格朗日定理条件,x [a,b], 且x有增量x(x x [a,b], x 0或x 0), 则f (x) 在[x, x x]或[x x, x]上满足拉格朗日定理条件,则
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).