四川省德阳市2019-2020学年高考数学第一次押题试卷含解析

四川省德阳市2019-2020学年高考数学第一次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若
1
tan
2
α=，则cos2=
α(
)
A．
4
5
-B．
3
5
-C．
4
5
D．
3
5
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．
【详解】
∵
1
tan
2
α=，
∴
222
222
1
1
cos sin1tan3
4
cos2
1
cos sin1tan5
1
4
ααα
α
ααα
-
--
====
+++
，
故选D
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
2．()()()
cos0,0
f x A x A
ωϕω
=+>>的图象如图所示，()()
sin
g x A x
ωϕ
=--，若将()
y f x
=的图象向左平移()0
a a>个单位长度后所得图象与()
y g x
=的图象重合，则a可取的值的是（）
A．
1
12
πB．
5
12
πC．
7
12
πD．11π
12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象求得函数()
y f x
=的解析式，即可得出函数()
y g x
=的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a的等式，即可得出结果.
【详解】
由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
=⨯，22T πω∴==， 777cos 2cos 112
126f π
ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+=+=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
Q ，
则
()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6
π
ϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝
⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ()()cos 226g x f x a x a π⎛
⎫∴=+=+- ⎪⎝
⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=
+∈， 当0k =时，512
a π
=. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 3．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2
【答案】A 【解析】 【分析】
求出2
()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即
可求解. 【详解】
2()626()3
a
f x x ax x x '=-=-，
若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，
()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ， ()f x 在()0,∞+不存在零点；
若0a >，(0,),()0,(0,),()03
a
x f x x f x ''∈<∈+∞>，
()3221f x x ax =-+在
()0,∞+内有且只有一个零点，
31()10,3327
a f a a =-+=∴=. 故选:A. 【点睛】
本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
4．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112
C ．0.114
D ．0.116
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意知,01
0.8,7.6,2
I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】
由题意可得,01
0.8,7.6,
2
I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以
7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08
μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 故选:C 【点睛】
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
5．三棱锥S ABC -的各个顶点都在求O 的表面上，且ABC ∆是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，
6AB =，若点D 在线段SA 上，且2AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．8π
D ．13π
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC 的外接球的半径，再求出外接球球心到D 的距离，利用勾股定理求得过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径，则答案可求. 【详解】
如图，设三角形ABC 外接圆的圆心为G ，则外接圆半径
AG=2
3
⨯=
设三棱锥S-ABC 的外接球的球心为O ，则外接球的半径R=()
2
22324+=
取SA 中点E ，由SA=4，AD=3SD ，得DE=1, 所以OD=
(
)
2
223
113+=.
则过点D 的平面截球O 所得截面圆的最小半径为()
2
24133-=
所以过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为()
2
3
3ππ⋅
=
故选：A 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.
6．在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P -，渐近线方程为2y x =的双曲线的标准方程为（ ）
A ．22142
-=x y
B ．22
1714x y -=
C ．22
136x y -=
D ．22
1147
y x -=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据所求双曲线的渐近线方程为y 2x =，可设所求双曲线的标准方程为22
2x y -=k ．再把点
(2
2,2代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．
【详解】
∵双曲线的渐近线方程为y 2x,=∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(22,2-在双曲
线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为2
2
2x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22
x y 1714
-=
故选：B 【点睛】
本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
7．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项. 【详解】
由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.
8．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A ．6.25%
B ．7.5%
C ．10.25%
D ．31.25%
【答案】A 【解析】 【分析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】
水费开支占总开支的百分比为250
20% 6.25%250450100
⨯=++.
故选：A 【点睛】
本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 9．在3
11(21)x x ⎛⎫+
+ ⎪⎝⎭
展开式中的常数项为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．7
【答案】D 【解析】 【分析】
求出3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项，问题得解。

【详解】
3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项分别为：
()()3
33121C x =,()1
123216C x x ⨯=，
所以3
11(21)x x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为：11167x x
⨯+⨯=. 故选：D
【点睛】
本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。

10．若复数211i
z i
=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ）
A B ．4
C ．2
D 【答案】D 【解析】 【分析】
由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模． 【详解】
()
()()
212112111i i i
z i i i i -=+
=+=+++-Q ，2,z i z ∴=-∴= 故选：D ． 【点睛】
本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．
11．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大1
2
，则抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x = B ．22y x =
C ．24y x =
D ．2
8y x =
【答案】B 【解析】 【分析】
由抛物线的定义转化，列出方程求出p ，即可得到抛物线方程． 【详解】
由抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大1
2
，根据抛物线的定义可得
1
22
p =，1p ∴=，所以抛物线的标准方程为：y 2＝2x ． 故选B ． 【点睛】
本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题．
12．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．
2550100
,,777
B ．
252550,,1477
C ．
100200400,,777 D ．50100200
,,777
【答案】D 【解析】 【分析】
设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】
设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则
1(1a q +)
250q +=,故1250501227a =
=++,21
10027
a a ==,2
3120027a a ==. 故选:D. 【点睛】
本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC ∆中，已知M 是BC 的中点，且1AM =，点P 满足2PA PM =，则()PA PB PC ⋅+uu r uu r uu u r
的取值
范围是_______.
【答案】4,49⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】
由中点公式的向量形式可得2PB PC PM +=u u u r u u u r u u u u r
，即有()2PA PB PC PA PM ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ，
设,PM x APM θ=∠=，有2()24cos PA PB PC PA PM x θ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r
，再分别讨论三点,,A P M 共线和不共
线时的情况，找到,x θ的关系，即可根据函数知识求出范围． 【详解】
M 是BC 的中点，∴2PB PC PM +=u u u r u u u r u u u u r
，即()2PA PB PC PA PM ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r
设,,PM x PA PM θ=<>=u u u r u u u u r ，于是2()24cos PA PB PC PA PM x θ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r
(1)当,,A P M 共线时，因为1AM =，
①若点P 在AM 之间，则1,,3
PM PA PM π=<>=u u u r u u u u r ，此时，4
()9PA PB PC ⋅+=-u u u r u u u r u u u r ；
②若点P 在AM 的延长线上，则1,,0PM PA PM =<>=u u u r u u u u r ，此时，()4PA PB PC ⋅+=u u r u u r u u u r
．
(2)当,,A P M 不共线时，根据余弦定理可得，22422cos 1x x x x θ+-⨯⨯=
解得22
51cos 4x x
θ-=，由1cos θ1-<<，解得2119x << 224()4cos 51,49PA PB PC x x θ⎛⎫
⋅+==-∈- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r ．
综上，4(),49PA PB PC ⎡⎤⋅+∈-⎢⎥⎣⎦
uu r uu r uu u r
故答案为：4,49⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
．
【点睛】
本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用，以及余弦定理的应用，涉及到函数思想和分类讨论思想的应用，解题关键是建立函数关系式，属于中档题．
14．已知向量(1,1)a =r
，||b =r (2)2a b a +⋅=r
r r ，则||a b -=r r __________.
【答案】3 【解析】 【分析】
由题意得2a b ⋅=-r r
，a r ||=
，再代入||a b -==r r .
【详解】
由题意可得a r ||=2(2)24a b a a b a a b ⋅=+=++⋅⋅r r r r r r r r
，
∴42a b =⋅+r r
，解得2a b ⋅=-r r
， ∴22
2|()23|243a b a b a a b b =-+-=
-=++=⋅r
r
r r r r r r .
故答案为：3. 【点睛】
本题考查向量模的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意向量数量积公式的运用.
15．已知向量()1,1m =u r
，()2,1n =-r ，()1,g λ=u r ，若()
2g m n ⊥+u r u r r ，则λ=______.
【答案】-1 【解析】 【分析】
由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论． 【详解】
由已知2(4,1)m n +=u r r
，∵()2g m n ⊥+u r u r r ，∴()
240g m n λ⋅+=+=u r u r r ，4λ=-．
故答案为：－1． 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
16．如图，在ABC V 中，已知32120AB AC BAC ==∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB EC ⋅u u u v u u u v
的值为__．
【答案】277
- 【解析】 【分析】 【详解】
()()
2
EB EC EA AB EC AB EC AD DB EC CD EC EC ⋅=+⋅=⋅=+⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
由余弦定理，得94232cos12019BC +-⨯⨯⨯o ， 得cos 419219C =
=，7AD =，33S =， 所以33
7
CE =277EB EC ⋅=-u u u v u u u v ．
点睛：本题考查平面向量的综合应用．本题中存在垂直关系，所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系，得到2
EB EC EC ⋅=-u u u v u u u v u u u v ，所以本题转化为求CE 长度，利用余弦定理和面积公式求解即可． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:(12x t
l t y t
=+⎧⎨
=-⎩为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．
【答案】直线l 与圆C 相切． 【解析】 【分析】
首先把直线和圆转换为直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系． 【详解】
直线12:(12x t
l t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数），转换为直角坐标方程为20x y +-=．
圆2
:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=转换为直角坐标方程为2
2
220x y x y ++-=，转换为标准形式为
22(1)(1)2x y ++-=，
所以圆心(1,1)-到直线20x y +-=，的距离22
d r ===． 直线l 与圆C 相切． 【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 18．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，4
CAD π
∠=
，72AC =
，2
cos ADB ∠=-
.
（1）求sin C 的值；
（2）若5BD =，求AB 的长. 【答案】 (1) 4
5
；（2）37AB =【解析】 【分析】
（1）由两角差的正弦公式计算；
（2）由正弦定理求得AD，再由余弦定理求得AB．【详解】
（1）因为
2
cos
10
ADB
∠=-，所以
2
272
sin 1
10
ADB
⎛⎫
∠=--=
⎪
⎪
⎝⎭
.
因为
4
CAD
π
∠=，所以
4
C ADB
π
∠=∠-，
所以sin sin sin cos cos sin
444
C ADB ADB ADB
πππ
⎛⎫
=∠-=∠⋅-∠⋅
⎪
⎝⎭
722224
1021025
=⨯+⨯=. （2）在ACD
∆中，由
sin sin
AD AC
C ADC
=
∠
，得
74
sin25
22
sin72
AC C
AD
ADC
⨯
⋅
===
∠，
在ABD
∆中，由余弦定理可得
2222cos
AB BD AD BD AD ADB
=+-⋅∠()2
2
2
522252237
10
⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-=
⎪
⎪
⎝⎭
，
所以37
AB=.
【点睛】
本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．
19．某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ,其中P、Q分别在半圆O与半圆C的圆弧上,且PQ与半圆C相切于点Q．已知AB长为40米,设BOP
∠为2θ．（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形COPQ的周长为()
fθ,求()
fθ的表达式;
（2）要使改建成的展示区COPQ的面积最大,求sinθ的值．
【答案】（1）()40202
fθθ
=+,0,
2
π
θ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
．（2）
342
8
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理的2PC ,然后根据直线与圆相切的性质求出PQ ,从而求出()f θ;
（2）求得()S θ的表达式,通过求导研究函数的单调性求得最大值. 【详解】
解：（1）连PC ．由条件得0,
2πθ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
． 在三角形POC 中,10OC =,20OP =,POC πθ∠=-2,由余弦定理,得
()()2222cos 210054cos2PC OC OP OC OP θθ=+-⋅π-=+,
因为PQ 与半圆C 相切于Q ,所以CQ PQ ⊥,
所以()2
2
2
4001cos2PQ PC CQ θ=-=+,所以PQ θ=．
所以四边形COPQ 的周长为
()
40f CO OP PQ QC θθ=+++=+,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
．
（2）设四边形COPQ 的面积为()S θ,则
())
100
2sin cos OCP QCP S S S θθθθ=+=+△△,0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．
所以()()()
2
2
1002cos 2sin 1004sin 2S θθθθθθ2
'=+-=-+,0,
2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
．
令()0S t '=,得sin 8
θ= 列表：
答：要使改建成的展示区COPQ 的面积最大,sin θ的值为8
． 【点睛】
本题考查余弦定理、直线与圆的位置关系、导数与函数最值的关系,考查考生的逻辑思维能力,运算求解能力,以及函数与方程的思想.
20．某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A B ，两种，且这两种的个体数量大致相等，记A 种蜻蜓和B 种蜻蜓的翼长（单位：mm ）分别为随机变量X Y ，，其中X 服从正态分布()45,25N ，Y 服从正态分布()55,25N .
（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[]45,55的概率；
（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z ，若用正态分布()
2
00,N μσ来近似描述Z 的分布，请你根据（Ⅰ）
中的结果，求参数0μ和0σ的值（精确到0.1）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间[]42.2,57.8的个数为W ，求W 的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）. 注:若(
)2
~,X N μσ
，则0.640.640.473(7)P X μσμσ-≤≤+≈，0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，
2205().946P X μμμσ-≤≤+≈.
【答案】（Ⅰ）0.4773；（Ⅱ）050.0μ=，07.8σ≈；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题知这只蜻蜓是A 种还是B 种的可能性是相等的，所以
()()()11
45554555455522
P t P X P Y ≤≤=⨯≤≤+⨯≤≤，代入数值运算即可；
（Ⅱ）可判断均值应为04555
50.02μ+==，再结合（1）和题干备注信息可得0000450.64,550.64μσμσ=-=+，进而求解；
（Ⅲ）求得42.257.80.68()27()P T P T μσμσ≤≤=-≤≤+=，该分布符合二项分布，故()~3,0.6827W B ，列出分布列，计算出对应概率，结合()E W np =即可求解； 【详解】
（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为t .
因为A 种蜻蜓和B 种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A 种还是B 种的可能性是相等的.
所以()()()11
45554555455522
P t P X P Y ≤≤=⨯≤≤+⨯≤≤
()()11
45452555255522P X P Y =⨯≤≤+⨯+⨯-⨯≤≤ 10.954610.95460.47732222
=⨯+⨯=. （Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，X Y ，的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知
04555
50.02
μ+=
=
由（Ⅰ）可知0000450.64,550.64μσμσ=-=+，得05
7.80.64
σ=
≈. （Ⅲ）设蜻蜓的翼长为T ，则42.257.80.68()27()P T P T μσμσ≤≤=-≤≤+=.
由题有()~3,0.6827W B ，所以()330.68270.317k k k
P W k C -==⨯⨯.
因此W 的分布列为
W
1
2
3
P
0330.3173C
11230.68270.3173C ⋅
22130.68270.3173C ⋅
3
330.6827C
()30.6827 2.0481E W =⨯=. 【点睛】
本题考查正态分布基本量的求解，二项分布求解离散型随机变量分布列和期望，属于中档题
21．如图，底面ABCD 是等腰梯形，//,224AD BC AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .
（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG . （2）求二面角A BF D --的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）70
sin 35
θ=【解析】 【分析】
（1）先证明四边形ABCE 是菱形,进而可知AC BE ⊥,然后可得到AC ⊥平面BEFG ,即可证明平面ACF ⊥平面BEFG ;
（2）记AC,BE 的交点为O,再取FG 的中点P.以O 为坐标原点,以射线OB,OC,OP 分别为x 轴、y 轴、z
轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系
O xyz -,分别求出平面ABF 和DBF 的法向量,m n u r r
,然后由cos ,||||
m n
m n m n ⋅〈〉=u r r
u r r u r r ,可求出二面角A BF D --的余弦值,进而可求出二面角的正弦值. 【详解】
（1）证明：因为点E 为AD 的中点,2AD BC =,所以AE BC =,
因为//AD BC ,所以//AE BC ,所以四边形ABCD 是平行四边形, 因为AB BC =,所以平行四边形ABCE 是菱形,所以AC BE ⊥,
因为平面BEFG ⊥平面ABCD ,且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =,所以AC ⊥平面BEFG . 因为AC ⊆平面ACF ,所以平面ACF ⊥平面BEFG .
（2）记AC,BE 的交点为O,再取FG 的中点P.由题意可知AC,BE,OP 两两垂直,故以O 为坐标原点,以射线OB,OC,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 因为底面ABCD 是等腰梯形,//,224AD BC AD AB BC ===,所以四边形ABCE 是菱形，且
60BAD ︒∠=,
所以(0,3,0),(1,0,0),(1,0,0),(2,3,0),(1,0,2)A B E D F -
---,
则(1,3,0),(2,0,2),(3,3,0)AB BF BD ==-=-u u u r u u u r u u u r
,设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z =u r ,
则111130
220m AB x y m BF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
u u u v v u u u v v
,不妨取11y =-,则(3,1,3)m =-u r , 设平面DBF 的法向量为()222,,n x y z =r
,
则2222330220n BD x y n BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
u u u v v u u u v v ,不妨取21x =,则(1,3,1)n =r , 故3105
cos ,35||||75
m n m n m n ⋅〈〉===⨯u r r
u r r u
r r . 记二面角A BF D --的大小为θ,故3470
sin 135θ=-
=
.
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题.
22．已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为3
4
-
，设点P 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点
T ，求
||
||
TF MN 的最小值及此时直线l 的方程. 【答案】（1）()22
1243
x y x +=≠±（2）||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x = 【解析】 【分析】
（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为(,)P x y ，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围； （2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，消元并整理得(
)
2
2
34690m y my ++-=， 设()12,M x y ，()22,N x y ，则可得12y y +，，12y y
，由12MN y =-求出MN ， 将直线FT 方程()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -，求得TF ，计算
||
||
TF MN
，设t =.显然1t ≥，构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫
==+≥ ⎪⎝⎭
，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线l 的方程. 【详解】
（1）设(),P x y ，则34
PA PB k k ⋅=-
，即
()3224y y x x ⋅=---- 整理得()22
1243
x y x +=≠±
（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2
231412my y ++= 即(
)
2
2
34690m y my ++-=
设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-
+，12
29
34
y y m =-+
22
12(1)34m MN m +==+ 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -
∴TF ==
∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝
设t =.显然1t ≥
构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫
=
=+≥ ⎪⎝⎭
()211304f t t ⎛⎫
'=-> ⎪⎝⎭
在[)1,t ∈+∞上恒成立
所以()y f t =在[
)1,+∞上单调递增
所以
||1131||4FT t MN t ⎛⎫
=+≥ ⎪⎝⎭
，当且仅当1t =，即0m =时取“=”
即||||
TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x =. （注：1.如果按函数1
y x x
=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.） 【点睛】
本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得
1212,x x x x +（或1212,y y y y +），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的
逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．
23．已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足2log n n b a =，求22222222
12345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.
【答案】（1）()21
*
2n n a n N -=∈（2）20000-
【解析】 【分析】
（1）由公比q 表示出232,,a a S ，由223,2,a S a 成等差数列可求得q ，从而数列的通项公式；
（2）求（1）得n b ，然后对和式2
2
2
2
2
2
2
2
12345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-两两并项后利用等差数列的前n 项和公式可求解． 【详解】
（1）∵{}n a 是等比数列，且223,2,a S a 成等差数列
∴2234S a a =+，即()211114a a q a q a q +=+
∴244q q q +=+，解得：1q =-或4q =
∵0q >，∴4q = ∵12a = ∴()1
21*24
2n n n a n N --=⋅=∈
（2）∵2log 21n n b a n ==- ∴2222221357197199-+-+⋅⋅⋅+-
()()()()()()13135757197199197199=-++-++⋅⋅⋅+-+ ()()21357199=-++++⋅⋅⋅+ 1199
21002
+=-⋅
⋅ 20000=-
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的n 项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．。