山东历届【数列】高考题精选带详解

[2010年18题] 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .
（1）求n
a 及n
S ；（2）令211n
n b a =-（n N +Î）,求数列{}n b 的前n 项和n T .
[2009年20题] 等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知对任意的n N +
Î,点(,)n n S ，均在函数
(0x
y b r b =+>且1,,b b r ¹均为常数均为常数))的图像上
（1）求r 的值；（2）当2=b 时，记1
()4n n
n b n N a ++=Î,
求数列{}n b 的前n 项和n T [2008年19题]将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为
数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)n n n n b
n b S S =-≥．（1）证明数列1n S ìüíýîþ
成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；的通项公式；
（2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正
数．当814
91
a =-
时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．行所有项的和． [2007年17题] 设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知3
7S =，且
123334a a a ++，，构成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式．的通项公式． （2）令31
ln 12n
n b a
n +==，，，，
求数列{}n
b 的前n 项和T ．
[2010年18题] 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）令2
11
n n b a =
-（n N +Î）,求数列{}n b 的前n 项和n T .
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有，所以有
1127
21026
a d a
d +=ìí+=î，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n
S =n(n-1)3n+22
´=2
n +2n . （2）由（）由（11）知2n+1n a =，所以n
b =
211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)×=111(-)4n n+1×
， 所以n
T =1
111
11
(1-++
+-)4223
n n+1×-=1
1
(1-)=
4n+1×n
4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =
n
4(n+1)
.
[2009年20题] 等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知对任意的n N +Î,点(,)n n S ，均在函数
(0x y b r b =+>且1,,b b r ¹均为常数均为常数))的图像上的图像上..
（1）求r 的值；（2）当2=b 时，记
1
()4n
n n b n N a +
+=Î,
求数列{}n b 的前n 项和n T
解:(1) 对任意n N +
Î,(,)n n S 均在(0x y b r b =+>且1,,b b r ¹为常数为常数))图像上图像上..所以n
n S b r =+,
当1n =时,11a S b r ==+, 当2n ³时,1
1
1
1()(1)n
n n
n n n n n a S S b r b
r b b
b b
----=-=+-+=-=-,
又因为又因为{{n a }为公比是b 的等比数列的等比数列,,b r b b b a a +-=\)1(12，所以1r =- ,
所以所以1
(1)n n
a b b -=- （2）当2=b 时，1
1
(1)2
n n
n a b b
--=-=, 111114422
n n n n n n n b a -++++===´ 则234
123412222
n n n T ++=+
+++
345
1
2
1234
12
2222
2
n n n n n T +++=++++
+
相减相减,,得2345121
211111
2222222
n n n n T +++=+++++- 31211
(1)112212212n n n -+´-++
--12311422n n n +++=-- 所以1131133
22222
n n n n n n T ++++=--=-
[2008年19题]将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： 记表中的第一列数1247a a a a ，，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为
数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)n
n n n
b n b S S =-≥．（1）证明数列1n S ìüíýîþ
成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；的通项公式；
（2）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491
a =-
时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和．行所有项的和．
（1）证明：由已知，当2n ≥时，
221n
n n n
b b S S =-，又12n n S b b b =+++，
所以1212()1
()n
n n n n n
S S S S S S ---=--，即112()1n
n n n S S S S ---=-，所以1
1
1
1
2n n S S --=，又1111S b a ===． 所以数列1n S ìüíýîþ
是首项为1，公差为1
2的等差数列．的等差数列．
由上可知
11
1
1(1)22
n n n S +=+-=
，即2
1n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++．因此1122(1)n n b n n n =ìï=í-ï+î
， ，
，
．
≥ （2）解：设表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >． 因为12131212782
´++
+=
=，
所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项，项， 故81a 在表中第13行第三列，因此91421381-==q b a ．
又132
1314
b =-
´，所以2q =．
记表中第(3)k k ≥行所有项的和为S ，
则
(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k k k k b q S k q
k k k k --==-=--+-+≥． [2007年17题] 设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且
1
2
3
334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n
a 的通项公式．的通项公式．
（2）令
31
ln 12n
n b a
n +==，，，，
求数列{}n
b 的前n 项和T ． 解：（1）由已知得123
1
327:(3)(4)3.
2a a a a a a ++=ìïí+++=ïî
，, 解得22a =．
设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1
322a a q q
=
=，．
又37S =，可知
2227q q
++=，即2
2520q q -+=，解得12122
q q ==
，．
由题意得12q q >\=，．1
1a \
=．故数列{}n a 的通项为1
2n n a -=． （2）由于
31
ln
12n
n b
a
n +==，，，， 由（由（11）得3312n
n a +=3ln 23ln 2n
n b n \==
又2ln 31=-+n
n b b {}
n b \是等差数列．12n n T b b b \=+++,故3(1)
ln 22
n n n T +=
．。