中考数学专题复习 数学思想方法问题(2021学年)

２017年中考数学专题复习数学思想方法问题
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数学思想方法问题
【专题点拨】
整体思想：整体思想,就是研究和解决问题时，从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理,从而达到迅速解题的目的。

分类讨论思想：当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论.
转化思想:转化思想亦可在狭义上称为划归思想。

就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B,通过解决问题B来解决问题A的方法。

数学建模思想:为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性,客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象,这种语言就是数学。

使用数学语言描述的事物就称为数学模型。

数学建模,其实就是把数学问题转化为用方程、不等式、函数等来解决的数学方法。

数形结合思想：所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,利用“数形结合"可使所要研究的问题化难为易，化繁为简.
类比思想:类比思想是数学创造型思维中很重要的一种思想方法,它可以帮助学习者建立新旧知识联系的桥梁,实现知识的正迁移,将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移到陌生的问题中,进而使问题得到解决.
【解题策略】
整体思想:分析问题整体结果→发现问题特征→找到相互关联→运用整体思想→化难为易解决问题
分类讨论思想:分析问题有变化→探索不同分析思路→找到需分解的部分→运用分类讨论的思想→多种情况分析解决问题
转化思想：分析问题有难度→转化手段和方法→从难到易转化→运用转化化归的思想→通过另一途径解决问题
建模思想：分析抽象问题→借助模型思想→找到相同本质→运用数学建模的思想→采用方程或函数等解决问题
数形结合思想：分析问题较抽象→转化为直观易分析→找到相对应图形→运用数形结合的思想→化难为易解决问题
类比思想:分析问题有深度→借助新旧知识的关联→合理进行知识迁移→运用类比的思想→轻松解决疑难问题
【典例解析】
类型一:整体思想应用问题
例题１:(201６·青海西宁·2分)已知x2+x﹣5=０,则代数式(x﹣1）２﹣x(ｘ﹣3）+(x+2）(x ﹣2）的值为２．
【考点】整式的混合运算－化简求值.
【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式＝x2＋x﹣3，然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:原式=x２﹣2x+１﹣x２+3x＋ｘ2﹣4
=ｘ２＋x﹣3,
因为x２+x﹣5＝0，
所以x2+x=5,
所以原式=5﹣3＝２．
故答案为2.
变式训练1:
（2015·菏泽)已知m是方程x２-x-１=0的一个根，求2
+
（）—2
m m1
（）的值。

m m34
++
类型二:分类讨论思想问题
例题２:（201６·贵州安顺·３分)已知实数x,ｙ满足，则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( ）
Ａ.20或16B.2０
Ｃ.１6D.以上答案均不对
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出ｘ、ｙ的值,再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解:根据题意得
,
解得,
(1)若4是腰长，则三角形的三边长为:4、４、8,
不能组成三角形;
(２)若４是底边长,则三角形的三边长为：４、8、８,
能组成三角形,周长为４+８+8=20．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系;解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键.
变式训练2：
（2０16·江西·３分)如图是一张长方形纸片ABＣD，已知AＢ=8,AＤ=7，E为AB上一点,AE＝5,现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEＰ),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是．
类型三:转化思想问题
例题3:(201６·浙江省绍兴市·4分)）解分式方程:+＝4．
【考点】解分式方程.
【分析】观察可得方程最简公分母为(x﹣1)，将方程去分母转化为整式方程即可求解．【解答】解：方程两边同乘(x﹣1）,
得:x﹣2=4(ｘ﹣1),
整理得：﹣3x=﹣2,
解得:x=,
经检验ｘ=是原方程的解,
故原方程的解为x＝．
变式训练3:（20１6·吉林·5分)解方程:=.
类型四：数学建模问题
例题4：(2016·四川宜宾）今年“五一”节,Ａ、B两人到商场购物，A购3件甲商品和２件乙商品共支付１6元,B购５件甲商品和3件乙商品共支付25元,求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元／件,乙商品售价y元/件，则可列出方程组．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.
【分析】分别利用“A购3件甲商品和2件乙商品共支付１6元,B购５件甲商品和3件乙商品共支付25元”得出等式求出答案．
【解答】解:设甲商品售价x元/件,乙商品售价y元／件,则可列出方程组：．
故答案为：．
变式训练4：
(201６·四川眉山·3分)受“减少税收，适当补贴”政策的影响,某市居民购房热情大幅提高.据调查,２016年１月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，３月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为．
类型五:数形结合问题
例题5:（201６·黑龙江齐齐哈尔·12分)有一科技小组进行了机器人行走性能试验,在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从Ａ、B两点同时同向出发,历时７分钟同时到达C点，乙机器人始终以６0米/分的速度行走,如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米)与他们的行走时间ｘ（分钟)之间的函数图象,请结合图象,回答下列问题: (１）A、B两点之间的距离是70 米，甲机器人前2分钟的速度为95 米／分;
（２）若前3分钟甲机器人的速度不变,求线段EＦ所在直线的函数解析式;
(3)若线段ＦＧ∥x轴，则此段时间,甲机器人的速度为60 米/分；
（4）求A、C两点之间的距离；
（5)直接写出两机器人出发多长时间相距28米．
【考点】一次函数的应用.
【分析】（１)结合图象得到Ａ、Ｂ两点之间的距离，甲机器人前2分钟的速度;（2)根据题意求出点Ｆ的坐标，利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式;
(3)根据一次函数的图象和性质解答；
（4)根据速度和时间的关系计算即可;
（5）分前2分钟、2分钟﹣3分钟、4分钟﹣７分钟三个时间段解答.
【解答】解：(１）由图象可知,A、B两点之间的距离是70米,
甲机器人前2分钟的速度为:（7０+60×2）÷2=95米/分;
（2)设线段EF所在直线的函数解析式为:y=kx+b，
∵１×(９5﹣6０)=35,
∴点Ｆ的坐标为（3,35），
则，
解得，,
∴线段ＥF所在直线的函数解析式为y=３5x﹣7０；
(3)∵线段FG∥x轴,
∴甲、乙两机器人的速度都是６0米／分;
(4)A、C两点之间的距离为70+60×７=4９0米；
（5）设前２分钟,两机器人出发ｘs相距28米,
由题意得,60x+70﹣95x=2８，
解得，x=1.2，
前２分钟﹣3分钟,两机器人相距28米时,
35x﹣7０=２8,
解得，x＝2.8,
４分钟﹣7分钟,两机器人相距28米时,
（95﹣6０）x=28，
解得,x=０。

8,
0。

8+4=4.8，
答：两机器人出发1。

2s或2．8ｓ或4.8s相距2８米.
变式训练５:
（201６·湖北荆州·8分)为更新果树品种,某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育,若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元／棵,购买B种苗所需费用y(元)与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（1)求y与x的函数关系式；
(２)若在购买计划中,B种苗的数量不超过35棵,但不少于A种苗的数量,请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用.
类型六:数学类比问题
例题6:（201６·浙江省湖州市)数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCＤ(∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且６0°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点)．
（1）初步尝试
如图1,若AD=AB，求证:①△BCE≌△ACF，②ＡE+ＡF=ＡＣ;
（2)类比发现
如图2,若AD=2AB,过点C作ＣH⊥AD于点Ｈ,求证：AＥ=2FH；
(3)深入探究
如图3,若AD＝3ＡB，探究得：的值为常数ｔ,则ｔ= ．
【考点】几何变换综合题．
【分析】(1）①先证明△ABC,△ＡＣD都是等边三角形,再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题．②根据①的结论得到BE=ＡF,由此即可证明．
(２）设DＨ=x,由由题意,CD=2x,ＣH=ｘ,由△AＣＥ∽△ＨCＦ，得=由此即可证明．
(3)如图3中,作CＮ⊥AD于Ｎ,CM⊥BA于M,CM与AＤ交于点H．先证明△CFＮ∽△ＣEM，得＝，由AB•CM=ＡＤ•CN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以=＝，设CN＝a,ＦN ＝ｂ,则CM＝３ａ，EM=3b，想办法求出AC，AＥ＋3AＦ即可解决问题.
【解答】解;(1)①∵四边形ＡBCＤ是平行四边形,∠BAD＝１20°,
∴∠D=∠B＝６0°，
∵AD=AB,
∴△ABC，△ACD都是等边三角形,
∴∠B＝∠CAＤ=6０°,∠AＣＢ=60°，ＢC=AC，
∵∠ECF=60°,
∴∠BＣE＋∠ACＥ=∠ＡＣF+∠AＣE=6０°,
∴∠ＢCE=∠AＣF,
在△ＢCＥ和△ACF中，
∴△BＣE≌△ACF.
②∵△BCE≌△ACF,
∴BE=ＡＦ,
∴AE+ＡF=AE+BE=AＢ=AＣ．
（２)设DH＝x,由由题意，CＤ＝2x,ＣH=x，
∴AD=2AＢ=4ｘ,
∴ＡH=AD﹣ＤH=３x，
∵ＣＨ⊥AD,
∴AC==２ｘ，
∴AC2+CD2=AＤ2,
∴∠ＡCD=90°,
∴∠BＡC=∠ACＤ=90°，
∴∠CAD=30°,
∴∠ＡＣＨ=60°,
∵∠ＥCF＝60°，
∴∠HＣF=∠ACＥ,
∴△ACE∽△HＣＦ,
∴==２,
∴ＡE＝2FH.
（3）如图3中，作CN⊥ＡD于N,CＭ⊥BA于M,CＭ与ＡD交于点H.∵∠ECF+∠EＡF=180°,
∴∠ＡEC+∠AFC=180°,
∵∠AFC＋∠CＦN=180°,
∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠ＣNF=90°,
∴△CFN∽△CEM,
∴＝,
∵AB•CM=ＡD•ＣN，AD＝3ＡB，
∴CM=3CN,
∴＝=,设CN=a，FN＝b，则CM＝3ａ，ＥM=3ｂ,
∵∠ＭAH=60°，∠M=9０°，
∴∠AＨＭ=∠ＣＨN=30°,
∴HC=2ａ,ＨM=ａ,HN=ａ，
∴AＭ=a,AH=a，
∴AC=＝ａ,
AE+3AＦ=(EM﹣AM）+3(AＨ+HN﹣ＦN）＝EM﹣AＭ+３AH+3HN﹣3ＦＮ＝3ＡＨ+3HＮ﹣AM=a,
∴＝=.
故答案为．
变式训练6：
（201６·陕西）问题提出
（1)如图①，已知△ABC,请画出△ABＣ关于直线AC对称的三角形.
问题探究
（2）如图②,在矩形ABＣＤ中,AＢ＝4,AD=６，AE=4，ＡＦ=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGＨ的周长最小?若存在,求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由.
问题解决
（3)如图③,有一矩形板材ABCD,AB=３米,AD=６米,现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFＧ＝90°，ＥF=FG=米,∠EHG＝45°，经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AF<ＢF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件,试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能,求出裁得的四边形ＥFGH部件的面积;若不能，请说明理由．
【能力检测】
1.(2016·四川泸州)分式方程﹣=０的根是.
2．(2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)有一面积为5的等腰三角形,它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为.
３。

(2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A(1,2）是反比例函数y=图象上的一点,连接AＯ并延长交双曲线的另一分支于点B,点P是x轴上一动点;若△PAB是等腰三角形,则点P的坐标是什么?．
4.（2０16·内蒙古包头）一幅长２0cm、宽12cm的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3：2.设竖彩条的宽度为ｘcm，图案中三条彩条所占面积为yｃm2．
(1)求y与x之间的函数关系式;
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
5。

(2016·陕西)昨天早晨7点，小明乘车从家出发,去西安参加中学生科技创新大赛,赛后,他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中,他距西安的距离y（千米)与他离家的时间x（时）之间的函数图象.
根据下面图象，回答下列问题:
(1）求线段AB所表示的函数关系式;
(2）已知昨天下午3点时,小明距西安１12千米，求他何时到家？
6。

（2016河南）(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=ａ，AB＝ｂ.
填空：当点Ａ位于时，线段ＡC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示）（2)应用：点Ａ为线段BC外一动点，且BＣ=３，AＢ=1，如图２所示,分别以AＢ，AC 为边,作等边三角形ABＤ和等边三角形ACE,连接CＤ，BE.
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由;
②直接写出线段BE长的最大值.
(3)拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（２，0)，点B的坐标为(５,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=２,PＭ=PB,∠BＰM＝90°,请直接写出线段ＡM长的最大值及此时
点P的坐标．
【参考答案】
变式训练1:
（2０15·菏泽)已知m是方程x2—x-1=0的一个根，求2
（）—2
+
m m1
（）的值。

++
m m34
【解析】把m代入方程求得m2—m＝1，再把有关ｍ的代数式化简,最后整体代入求出代数式的值。

【解答】∵m是方程x2－x－1＝0 的一个根，
∴ｍ2—m-1=０.
即m2-m＝１.
m（m+１）２—m2(m+3)＋4
=m３+２m2+m－m3—3m2+４
=－m2+m＋４
＝-(ｍ2—m)+4
=-１+４＝3。

【点评】本题考查代数式的求值,解答这类问题要善于观察代数式的整体特征，先将条件进行转化,再把代数式化简,然后将化简结果转成与条件有关的式子进行计算.
变式训练２：
（2016·江西·3分)如图是一张长方形纸片AＢCD,已知AB=8,AD＝7，Ｅ为AＢ上一点，AE=５，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP）,使点Ｐ落在长方形ＡBCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是.
【考点】矩形的性质;等腰三角形的性质;勾股定理．
【分析】分情况讨论:①当ＡP=ＡE＝5时，则△ＡEP是等腰直角三角形,得出底边ＰE=ＡＥ=５即可；
②当PE=AE＝5时,求出ＢＥ,由勾股定理求出PＢ,再由勾股定理求出等边ＡP即可;
③当ＰA=ＰＥ时，底边AE=5;即可得出结论.
【解答】解:如图所示：
①当AP=AＥ=5时，
∵∠BＡD=９0°，
∴△ＡEP是等腰直角三角形,
∴底边PE=AＥ=５;
②当PE=AＥ=5时,
∵ＢE=AＢ﹣AE=8﹣5=３，∠B=90°，
∴ＰB==４,
∴底边ＡＰ＝＝＝4;
③当ＰＡ=PＥ时,底边ＡE=5;
综上所述:等腰三角形AEP的对边长为5或4或5;
故答案为:５或4或５.
变式训练3：(201６·吉林·5分）解方程:＝.
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得:2x﹣2=x+3，
解得:x=5，
经检验x＝5是分式方程的解．
变式训练４:
（2016·四川眉山·3分)受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高.据调查,2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为10０套，３月份的住房销售量为169套.假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为１0０（１+ｘ)2=16９．
【分析】根据年１月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套,3月份的住房销售量为1６９套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．【解答】解:由题意可得,
10０(1+x)2=169,
故答案为:100(１+x）2=169.
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是明确题意,列出形应的方程．
变式训练５:
（2016·湖北荆州·８分）为更新果树品种,某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵,其中Ａ种苗的单价为7元/棵,购买B种苗所需费用ｙ（元）与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．
(1)求y与ｘ的函数关系式;
（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵,但不少于A种苗的数量,请设计购买方案，使总费用最低,并求出最低费用．
【分析】(1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可;
(２）根据所需费用为Ｗ=Ａ种树苗的费用＋Ｂ种树苗的费用,即可解答．
【解答】解:(１）设y与ｘ的函数关系式为：ｙ＝kx+b，
把(２0，1６0),(４０,288)代入y＝ｋx+ｂ得:
解得:
∴y=６.4ｘ+32．
(2)∵B种苗的数量不超过35棵,但不少于A种苗的数量，
∴
∴２２.5≤x≤35,
设总费用为W元,则Ｗ=6。

４ｘ+32+7（45﹣x)＝﹣0。

6x＋３4７,
∵k=﹣0。

6，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=35时,W总费用最低,Ｗ最低=﹣0.６×35+3４7＝13７(元)．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键.
变式训练6:
(2016·陕西)问题提出
(１）如图①，已知△AＢＣ，请画出△ＡBC关于直线AC对称的三角形.
问题探究
（2）如图②,在矩形AＢＣD中,AB＝4,AD＝6,AE=４,AF=2,是否在边BC、ＣＤ上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小?若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
(３)如图③,有一矩形板材ＡBCD,AB＝3米，ＡD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=9０°，EF=FG=米,∠ＥHG=45°,经研究,只有当点E、F、Ｇ分别在边AD、ＡB、BＣ上,且ＡF<BF，并满足点H在矩形ＡＢCＤ内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件,试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出裁得的四边形ＥFGH部件的面积;若不能，请说明理由.
【考点】四边形综合题.
【分析】（1)作B关于AC 的对称点D,连接AD，ＣD,△ＡCD即为所求;
（2)作E关于ＣＤ的对称点E′,作F关于BC的对称点Ｆ′,连接E′Ｆ′,得到此时四边形EＦGH 的周长最小,根据轴对称的性质得到BF′=BF=AＦ=2，D E′=DE=2,∠A=90°,于是得到
AF′=6,AE′=８，求出E′F′=1０，EF=2即可得到结论;
(３）根据余角的性质得到１=∠2,推出△AEF≌△ＢＧＦ，根据全等三角形的性质得到AF=ＢG，AＥ=BＦ，设AF＝ｘ，则AE＝BF=３﹣ｘ根据勾股定理列方程得到AF=BG＝1,BF=AE=２,作△EFＧ关于EG的对称△EOG，则四边形EＦGO是正方形，∠EOG＝9０°，以O为圆心,以EG为半径作⊙O,则∠ＥHG＝45°的点在⊙O上,连接ＦO,并延长交⊙O于H′，则H′在EG 的垂直平分线上，连接EH′GＨ′,则∠EＨ′G＝45°,于是得到四边形ＥFGＨ′是符合条件的最大部件,根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解:（１）如图1，△AＤC即为所求；
(2)存在,理由：作E关于CD的对称点E′,
作F关于ＢC的对称点F′,
连接E′Ｆ′,交ＢC于G，交ＣＤ于Ｈ，连接FG,EH,
则Ｆ′Ｇ=FG,E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，
由题意得：BF′=BF=ＡF＝２，DＥ′=DE=2，∠A=９0°,
∴AF′=6,AＥ′=8,
∴E′F′=10，ＥF=2,
∴四边形EFGＨ的周长的最小值=EF+FG+GH＋ＨE＝EF+Ｅ′F′=2+10，∴在边BC、CD上分别存在点Ｇ、H，
使得四边形EFGH的周长最小，
最小值为２+10;
(3)能裁得，
理由：∵EF=FＧ=,∠A=∠B=90°,∠1+∠AFE=∠2＋ＡＦE=90°,
∴∠1＝∠２，
在△AEF与△ＢGF中,,
∴△AＥF≌△BGF，
∴ＡF=BＧ，AE=BF,设ＡＦ=x，则AE＝BＦ=3﹣x,
∴x2+(3﹣x)2＝（）2，解得：x=１，ｘ=2(不合题意,舍去）,
∴AF=BG=1,BF=ＡE=2，
∴ＤE=4,ＣＧ＝5，
连接ＥG，
作△EFＧ关于EG的对称△ＥOG,
则四边形EFGO是正方形,∠ＥOＧ＝90°,
以Ｏ为圆心，以EG为半径作⊙O,
则∠ＥＨG=45°的点在⊙O上,
连接FO，并延长交⊙O于H′,则H′在EG的垂直平分线上，
连接ＥＨ′GH′，则∠ＥＨ′G=45°，
此时,四边形EFGＨ′是要想裁得符合要求的面积最大的,
∴C在线段EG的垂直平分线设,
∴点Ｆ，O,Ｈ′,C在一条直线上,
∵ＥG=,
∴OF=EＧ=,
∵ＣF=2,
∴OC=，
∵OH′＝OE＝FG=，
∴ＯＨ′<OC,
∴点H′在矩形ＡBCD的内部，
∴可以在矩形ABCD中,裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件,
这个部件的面积＝EG•FH′=××（+)=5+,
∴当所裁得的四边形部件为四边形EFＧH′时，裁得了符合条件的最大部件,这个部件的面积为(５+)m２．
【能力检测】
1。

（201６·四川泸州）分式方程﹣=0的根是x=﹣1 ．
【考点】分式方程的解.
【分析】把分式方程转化成整式方程,求出整式方程的解,再代入x(x﹣3)进行检验即可.
【解答】解:方程两边都乘以最简公分母x(x﹣3)得：４x﹣(ｘ﹣３)=0，
解得：x＝﹣１，
经检验：x=﹣１是原分式方程的解,
故答案为：x=﹣1.
2。

(201６·黑龙江齐齐哈尔·３分)有一面积为5的等腰三角形,它的一个内角是3０°,则以它的腰长为边的正方形的面积为20和２０.
【考点】正方形的性质;等腰三角形的性质．
【分析】分两种情形讨论①当３0度角是等腰三角形的顶角,②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．
【解答】解:如图1中，当∠Ａ=30°,ＡB=AC时,设AB=ＡC=a，
作BD⊥ＡＣ于D,∵∠Ａ=３0°，
∴BD=AＢ＝ａ,
∴•ａ•ａ=5，
∴a2=２０,
∴△ＡBＣ的腰长为边的正方形的面积为20.
如图2中，当∠ABC=30°,AB=AC时,作BD⊥CＡ交CA的延长线于D,设AB=AＣ=a,∵AB=AC,
∴∠ＡBＣ=∠C＝３0°,
∴∠BAC＝1２0°，∠BＡD＝60°,
在RT△ＡBD中,∵∠Ｄ=9０°,∠BAD＝60°，
∴ＢD=a,
∴•ａ•a＝５，
∴a2=2０,
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
故答案为2０或20.
３.(2０1６·湖北荆门·３分)如图，已知点A(1,2)是反比例函数y=图象上的一点，连接ＡO并延长交双曲线的另一分支于点B，点Ｐ是x轴上一动点;若△PＡB是等腰三角形，则点P 的坐标是什么?.
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;等腰三角形的性质．
【分析】由对称性可知O为AB的中点,则当△ＰAB为等腰三角形时只能有PA=ＡB或PB=AB,设P点坐标为(x，0)，可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x,可求得P点坐标．
【解答】解：
∵反比例函数y＝图象关于原点对称,
∴A、B两点关于O对称,
∴O为AB的中点,且B（﹣1,﹣2），
∴当△PA B为等腰三角形时有PＡ=AＢ或ＰB=AB,
设P点坐标为（ｘ，0)，
∵A(1，2）,B（﹣1,﹣２），
∴AB==2，PＡ=,PB=,
当PA=AB时,则有=2，解得x=﹣3或5,此时P点坐标为(﹣3，０)或(5，0);
当PB＝AB时,则有=2,解得x＝3或﹣5,此时P点坐标为(3,0)或（﹣5，０）;
综上可知P点的坐标为(﹣３,0)或（5，0)或(3，0)或(﹣5,0),
故答案为：(﹣3,0)或（5,0)或(3，0）或（﹣5,0）.
4.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cｍ的图案，如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:２.设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ｙcｍ２．(1）求y与x之间的函数关系式;
(２)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】（1)由横、竖彩条的宽度比为3:2知横彩条的宽度为xcm，根据:三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；
(2)根据:三条彩条所占面积是图案面积的,可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．
【解答】解：（1)根据题意可知，横彩条的宽度为ｘcm,
∴y=20×ｘ＋2×12•x﹣2×x•x=﹣3ｘ２+54x,
即y与x之间的函数关系式为ｙ=﹣3x2+54x；
（2）根据题意,得:﹣3x2+5４x=×2０×１2,
整理,得:ｘ２﹣18x+32=0，
解得:ｘ１=２，x2=１6(舍)，
∴x=３,
答:横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
5. (2０１６·陕西)昨天早晨7点,小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛,赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中,他距西安的距离y(千米)与他离家的时间ｘ(时）之间的函数图象.
根据下面图象，回答下列问题:
（1）求线段ＡB所表示的函数关系式;
(2)已知昨天下午3点时,小明距西安112千米,求他何时到家？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）可设线段AB所表示的函数关系式为:y=kx＋b,根据待定系数法列方程组求解即可;
(２）先根据速度=路程÷时间求出小明回家的速度，再根据时间＝路程÷速度,列出算式计算即可求解．
【解答】解：(1）设线段AB所表示的函数关系式为:ｙ=kx＋ｂ,
依题意有,
解得．
故线段AＢ所表示的函数关系式为：y=﹣9６x+192(0≤x≤２);
（2)1２＋3﹣(7+6．6)
=１5﹣１3。

6
=１。

４(小时）,
112÷1.4=8０(千米/时)，
÷80
=8０÷８0
＝1（小时),
3＋1=4(时）．
答：他下午4时到家．
6。

(2０16河南）(1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且ＢC=a，ＡB=b．填空：当点A位于CB的延长线上时，线段AＣ的长取得最大值，且最大值为a＋ｂ(用含a,b的式子表示)
(2）应用:点Ａ为线段ＢC外一动点，且BＣ=3，AB=１,如图2所示，分别以ＡB,AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形AＣE,连接CD,BE.
①请找出图中与ＢE相等的线段,并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
（3)拓展:如图３,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0)，点B的坐标为(５,0）,点P 为线段AB外一动点,且ＰA=2，ＰM＝ＰＢ，∠ＢPM=９０°，请直接写出线段ＡM长的最大
值及此时点Ｐ的坐标.
【考点】三角形综合题.
【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时,线段AＣ的长取得最大值,即可得到结论；
（２)①根据等边三角形的性质得到AD=AＢ,AC=AＥ，∠BＡD＝∠ＣAE=60°，推出△C ＡD≌△EAB,根据全等三角形的性质得到ＣD＝BＥ；②由于线段BE长的最大值=线段ＣD的最大值，根据(1）中的结论即可得到结果；
(3)连接BＭ，将△ＡPM绕着点Ｐ顺时针旋转90°得到△PBN，连接ＡＮ,得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA＝2，BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BＮ取得最大值，即可得到最大值为2＋３;如图2,过Ｐ作PE⊥ｘ轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解:(1）∵点Ａ为线段BC外一动点,且BC=a,AＢ=b,
∴当点A位于CＢ的延长线上时，线段AＣ的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，故答案为:CB的延长线上，ａ+b;
(2）①ＣD＝BE,
理由：∵△ＡBＤ与△ACE是等边三角形,
∴AD＝AＢ，AC=ＡE,∠BAＤ＝∠CAＥ=60°，
∴∠BＡD+∠BAＣ＝∠ＣAE＋∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD与△EAＢ中,,
∴△ＣAD≌△EAＢ,
∴CＤ=BE；
②∵线段BＥ长的最大值＝线段CD的最大值，
由(1）知，当线段CＤ的长取得最大值时,点Ｄ在CB的延长线上,
∴最大值为BD+BC=AＢ＋ＢＣ=4；
(３)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接ＡN,
则△AＰＮ是等腰直角三角形，
∴PN=PＡ=2，BN=AＭ,
∵A的坐标为（２，0），点B的坐标为(5，0），
∴OA=2,ＯB＝5，
∴AB=3,
∴线段AＭ长的最大值=线段BＮ长的最大值，
∴当Ｎ在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值，
最大值＝ＡB+AＮ，
∵AN=AP＝2，
∴最大值为２＋3；
如图2，过Ｐ作PＥ⊥ｘ轴于E，
∵△ＡPN是等腰直角三角形,
∴PＥ＝AＥ=，
∴OE=BO﹣﹣3=２﹣,
∴P(2﹣,)．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质，最大值问题,旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

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