温泉县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

温泉县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
2． 自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）
A ．86210x y --=
B ．86210x y +-=
C ．68210x y +-=
D ．68210x y --=
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．
3． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（ ） A ．T 1=T 19 B ．T 3=T 17
C ．T 5=T 12
D ．T 8=T 11
4． 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
内变动 时，的取值范围是（ ）
A ． ()0,1 B
．⎝ C
．()1,3⎫
⎪⎪
⎝⎭
D ．(
5． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．300
6． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20
210220x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪-+⎩
……… 内的概率为（ ）
A.
3
4
B.
38
C.
14
D.
18
【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 7． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A ．（∁U
B ）∩A B ．（∁U A ）∩B
C ．∁U （A ∩B ）
D ．∁U （A ∪B ） 8． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=x ﹣1
B ．y=lnx
C ．y=x 3
D ．y=|x|
9． 过点（0，﹣2）的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）
A ．10米
B ．100米
C ．30米
D ．20米
11．设函数()()()
21ln 31f x g x ax x ==-+，，若对任意1[0)x ∈+∞，，都存在2x ∈R ，使得()()12f x f x =，则实数的最大值为（ ）
A ．
94 B ． C.9
2 D ．4 12．以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =
B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<
C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数
D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2
C π
=
”的充要条件
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
二、填空题
13．已知三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，
3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为 .
14．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．
15．函数f （x ）=
（x ＞3）的最小值为 ．
16．已知x ，y 为实数，代数式222
2)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .
【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.
17．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()3
2f x x x =-，若曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线经过圆()2
2
:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．
18．已知函数f （x ）=x m 过点（2，），则m= ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=xlnx ，求函数f （x ）的最小值．
20．在直角坐标系xOy 中，过点P （2，﹣1）的直线l 的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
坐标建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2
θ=4cos θ，直线l 和曲线C 的交点为A ，B ．
（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求|PA|•|PB|．
21．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为
23
π
，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧
AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．
（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，观光道路最长？
22．某市出租车的计价标准是4km以内10元（含4km），超过4km且不超过18km的部分1.5元/km，超出18km的部分2元/km．
（1）如果不计等待时间的费用，建立车费y元与行车里程x km的函数关系式；
（2）如果某人乘车行驶了30km，他要付多少车费？
23．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女
总计
（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．
附：K2=
P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024
6.635
7.879 10.83
24．（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.
（1）求0x =，1y =，2z =的概率；
（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．
温泉县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y ﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：
=
．
故选：A ．
2． 【答案】D
【解析】由切线性质知PQ CQ ⊥，所以2
2
2
PQ PC QC =-，则由PQ PO =，得，
2222(3)(4)4x y x y -++-=+，化简得68210x y --=，即点P 的轨迹方程，故选D ，
3． 【答案】C 【解析】解：∵a n =2
9﹣n
，
∴T n =a 1•a 2•…•a n =2
8+7+…+9﹣n
=
∴T 1=28，T 19=2﹣19
，故A 不正确
T 3=221，T 17=20，故B 不正确 T 5=230，T 12=230，故C 正确 T 8=236，T 11=233，故D 不正确 故选C
4． 【答案】C 【解析】1111]
试题分析：由直线方程1:L y x =，可得直线的倾斜角为0
45α=，又因为这两条直线的夹角在0,
12π⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以直线2:0L ax y -=的倾斜角的取值范围是0
3060α<<且0
45α≠，所以直线的斜率为
00tan30tan 60a <<且0tan 45α≠1a <<或1a << C. 考点：直线的倾斜角与斜率. 5． 【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队． 各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人， 首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有：
+
+
=390．
故选：C．
6．【答案】B
【解析】
7．【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，
∴对应的集合表示为A∩∁U B．
故选：A．
8．【答案】D
【解析】解：选项A：y=在（0，+∞）上单调递减，不正确；
选项B：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，不正确；
选项C：记f（x）=x3，∵f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，又∵y=x3区间（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；
选项D：记f（x）=|x|，∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|，∴f（x）≠﹣f（x），故y=|x|不是奇函数，不正确．
故选D
9．【答案】A
【解析】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点，
直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2，
即kx﹣y﹣2=0，
若过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，
则圆心到直线的距离d≤1，
即≤1，即k2﹣3≥0，
解得k ≤﹣或k ≥，
即
≤α≤
且α≠，
综上所述，
≤α≤
，
故选：A ．
10．【答案】C
【解析】解：如图，过炮台顶部A 作水平面的垂线，垂足为B ，设A 处观测小船C 的俯角为45°，
设A 处观测小船D 的俯角为30°，连接BC 、BD Rt △ABC 中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt △ABD 中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30
米
在△BCD 中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD 2=BC 2+BD 2﹣2BCBDcos30°=900 ∴CD=30米（负值舍去） 故选：C
【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．
11．【答案】] 【解析】
试题分析：设()()
2ln 31g x ax x =-+的值域为A ，因为函数()1f x =[0)+∞，上的值域为(0]-∞，，所以(0]A -∞⊆，，因此()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，
中的每一个数，又()01h =，于是，实数需要满足0a ≤或0940
a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得9
4a ≤．
考点：函数的性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的性质用，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型。

首先求出A ，再利用转化思想将命题条件转
化为(0]A -∞⊆，，进而转化为()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，
中的每一个数，再利用数形结合思想建立不等式组：0a ≤或0940
a a >⎧⎨∆=-≥⎩，从而解得9
4a ≤．
12．【答案】
D
二、填空题
13．【答案】
16π
【解析】如图所示，∵222AB AC BC +=，∴CAB ∠为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O '，ABC △和DBC △所在的平面互相垂直，则球心O 在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接圆为球大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的表面积为24π16πS R ==
14．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
15．【答案】12．
【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0
由题意知：=﹣
令t=∈（0，），h（t）==t﹣3t2
因为h（t）=t﹣3t2的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；
故h（t）∈（0，]
由h（t）=⇒f（x）=≥12
故答案为：12
16．
【解析】
17．【答案】2-
【解析】结合函数的解析式可得：()3
11211f =-⨯=-，
对函数求导可得：()2
'32f x x =-，故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=，
则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，
圆C ：()2
2
2x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.
18．【答案】 ﹣1 ．
【解析】解：将（2，）代入函数f （x ）得： =2m ，
解得：m=﹣1； 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞） 求导函数，可得f ′（x ）=1+lnx
令f ′（x ）=1+lnx=0，可得
∴0＜x ＜时，f ′（x ）＜0，x ＞时，f ′（x ）＞0
∴时，函数取得极小值，也是函数的最小值
∴f （x ）min =
=
=﹣．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】（1）∵ρsin 2θ=4cos θ，∴ρ2sin 2
θ=4ρcos θ，…
∵ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，
∴曲线C 的直角坐标方程为y 2
=4x …
（2）∵直线l 过点P （2，﹣1），且倾斜角为45°．∴l 的参数方程为
（t 为参数）．…
代入 y 2
=4x 得t 2
﹣6
t ﹣14=0…
设点A ，B 对应的参数分别t 1，t 2 ∴t 1t 2=﹣14… ∴|PA|•|PB|=14．…
21．【答案】（1）cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
;（2）设∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=
时，观光道路最长.
【解析】试题分析：（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO ==∠∠∠
2cos 3CD πθθθ⎛⎫
∴=-= ⎪⎝⎭
，OD θ=
1sin 03OD OB π
θθθ<<∴<<<
cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫
∴=∈ ⎪⎝⎭
（2）设观光道路长度为()L θ， 则()L BD CD AC θ=++弧的长
= 1cos θθθθ+++= cos 1θθθ++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
∴(
)sin 1L θθθ=-+' 由()0L θ'=
得：sin 6πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
6πθ∴=
∴当6
π
θ=
时，()L θ取得最大值，即当6
π
θ=
时，观光道路最长.
考点：本题考查了三角函数的实际运用
点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。

如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。

除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题 22．【答案】
【解析】解：（1）依题意得： 当0＜x ≤4时，y=10；…（2分）
当4＜x ≤18时，y=10+1.5（x ﹣4）=1.5x+4…
当x ＞18时，y=10+1.5×14+2（x ﹣18）=2x ﹣5…（8分） ∴
…（9分）
（2）x=30，y=2×30﹣5=55…（12分）
【点评】本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：
非体育迷 体育迷合计
男 30 15 45 女 45 10 55 总计
75 25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K 2
的观测值为：k=
=
≈3.030．
∵3.030＜3.841， ∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}，其中a i （i=1，2，3）表示男性，b j （j=1，2）表示女性．
设A 表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A 包括7个基本事件：（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）．
∴P （A ）=
．
【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（1）由0x =，1y =，2z =知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，
此时的概率2
13111324
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭.
（4分）。