第7章 逐步法——对一般动力荷载的反应

§7.1 一般概念
高等结构动力学
§7.1 一般概念
分析承受任意动力荷载的线性结构，Duhamel积 分或频域分析，提供了最方便的解法。 这两种方法的推导过程中都使用了叠加原理，只 能适用于线性体系，即反应过程中体系的特性保持不 变。 另一方面，有许多种重要的结构动力学问题，体 系不能视作线性的。如：足以引起严重破坏的地震运 动下的建筑物反应等等。因此，还需要发展适用于非 线性体系的其它分析方法。
高等结构动力学
1 v 0 (1 )hv v 0 hv 1
1 0 ( ) h 2 v 0 h 2 v v1 v0 hv 1 2
（7-14a） （7-14b）
由式（7-14a）显然可见，系数 提供了在初始和 最终加速度改变影响之间的线性变化的权重，类似 地，系数β提供了在这些初始和最终加速度对位移改 变贡献的权重。
k d v1 p1d
于这时间步最终加速度的一个固定的值，这个过程可以前进一步到下一时间步。
§7.5
积分法
高等结构动力学
迭代的列式
开始时用任意假设的值
1， v
再用图7-3所列式（a）
h 1 v 0 (v 0 v 1 ) v 2 2
h 0 h (v 0 v 1 ) v1 v0 v 4
( )d v1 v0 v
0
h
（7-13b）
§7.5
积分法
高等结构动力学
最终速度和位移依据这些值的初始值 加一个积分表达式。速度的变化依赖于加 速度历程的积分，而位移的变化依赖于相 应的速度积分。 为了进行这类分析，首先需要假设在 时间步的持续时间内加速度是如何变化的 ；加速度的假设也控制了速度的变化，因 而可以由这一步向前获得下一时间步。
k c v1 p1c
这是一个静力平衡方程的形式，它包含等效刚度
~
~
（7-17）
kc k
~
2c 4 m 2 h h
（7-17a）
§7.5
积分法
高等结构动力学
和等效荷载
2v0 4v0 4 0 v 0 ) p1c p1 c( v0 ) m( 2 v h h h

高等结构动力学
h
加速度 （常数）
0 v
av v
1 0 v 1 ) (v 2
1 v
( ) v 0 (v 0 v 1 ) v 2

速度 （线性）
1 v 0 v
h 0 v 1 ) (v 2
0 v
0 v( ) v0 v
高等结构动力学
高等结构动力学
第七章
对一般动力荷载的反应— 逐步法
高等结构动力学
第七章 对一般动力荷载的反应—逐步法
§7.1 §7.2 §7.3 §7.3 §7.3 §7.3 §7.3 一般概念 分段精确方法 数值近似方法—一般注释 二阶中心差分列式 积分法 非线性分析的增量列式 线加速度法步骤概要
~
（7-17b）
在式（7-17）里下标c用以标记常平均加速度法。
1 vBiblioteka 1 v§7.5积分法
高等结构动力学
使用这个显式公式，时间步终点位移v1可直接由式（7-17） 计算，所要用到的仅是时间步开始时的数据。然后，此时 刻的速度 可用式（7-16b）计算，最后，此时间步终点的 加速度 由求解该时刻的动力平衡方程而得
§7.2 分段精确方法
高等结构动力学
§7.2 分段精确方法
高等结构动力学
图E7-2 分段精确计算的反应
§7.3 数值近似方法——一般注释
高等结构动力学
§7.3 数值近似方法——一般注释
数值方法——数值微分、数值积分 近似逐步法的要点： 1）列式可以为显式亦可为隐式； 2）效率是重要的，关系到达到精度的工作量，任何情 况下步长必须短到足以提供荷载和反应历程足够的精度； 3）产生误差的技术原因——舍入、不稳定性、截断； 4）产生误差的自身原因——相位的漂移或频率的显著 改变、人工阻尼。
2
4
0 v (v 1)
0 h v1 v0 v
h2 0 v (v 1) 4
位移 （二次的）
v0
h
t0
t1
图7-3 基于常平均加速度的运动
§7.5
积分法
高等结构动力学
0 ，这可以解 t t0 时刻 为了对任意步开始这种分析，首先需要计算初始加速度 v
4 (v v ) 4 v 0 v 0 v 1 1 0 2 h h
（7-16a）
再代入图7-3式（a）中，获得最终 速度表达式为
2 1 (v1 v0 ) v 0 v h
（7-16b）
§7.5
积分法
高等结构动力学
在t1时刻写出动力平衡方程 mv 1 cv1 kv1 p1 并将式（7-16a）和（7-16b）代入上式，则可导得仅含时间步 终点未知位移v1的表达式。经适当归并同类项，此式可写为
v( ) vh ( ) v p ( )
(7-3)
vh ( ) exp( )( A cos D B sin D ) 1 ac v p ( ) ( p0 ) 2 (7-4) k k v( ) A0 A1 A2 exp( ) cos D
v1 v1 0 v 2h
（7-10）
0 v1 v1 2hv
§7.4 二阶中心差分列式
2
高等结构动力学
h 0 0 kv0 ) v1 v0 hv ( p0 cv 2m
使用平均速度的概念,可以得到;
（7-11）
v1 v0 1 0 v 1 ) (v 2 h
1 1 kv1 ) v ( p1 cv 1 m
[而不是从式（7-16a）求]，因而保留了平衡条件。
§7.5
积分法
高等结构动力学
采用同样的方法，使用图7-4中的式（a）和（b ），也可以类似地将线性加速度法转换为显式形式 ，这些列式的位移差别就是等效刚度，等效荷载及 最终速度的表达式不同。对线加速度分析来说，等 效静力平衡方程为
§7.4 二阶中心差分列式
高等结构动力学
§7.4 二阶中心差分列式
§7.4 二阶中心差分列式
高等结构动力学
0 cv 0 kv0 p0 mv
1 0 ( p0 cv 0 kv0 ) v m
使用中心差分:
（7-7）
1 2 v
v0 v1 v1 v0 1 2 ； v ； h h
1 1 kv1 ) v ( p1 cv 1 m
高等结构动力学
常平均加速度法的主要优点：是无条件稳 定的。也就是说，从一步到下一步不管时间步 长选得如何长，误差不会放大。因此时间步长 的选择只需要考虑所定义动力激励和结构的振 动反映特性。
§7.5
积分法
高等结构动力学
Newmark—β法 一种更一般的逐步列式是由Newmark提 出的，前面的方法可以作为它的特殊情况。但 是也可以在其他一些形式下应用。在Newmark 列式中，对最终速度和位移的基本积分[式（713）]如下所示：
§7.5
积分法
高等结构动力学
变换到显式公式
β 法的隐式列式是不方便应用的，因为每 一时间步内为了确定此步终点加速度需要进行 迭代。因此，通常被修改为显式形式，目的是 最终加速度用其他反应量表示——选择一个基 本未知量（位移较好）。
§7.5
积分法
高等结构动力学
根据图7-3式（b）对最终加速度求解可得
高等结构动力学
动力反应分析的方法
1 、叠加法——线性体系，即反应过程中体系的特性保 持不变； 2、逐步法——体系不能视作线性的，要发展适用于非 线性体系的方法。
§7.1 一般概念
高等结构动力学
逐步法的思想
将荷载和反应历程分成一系列的时间间隔或步； 每步期间结构特性保持常数； 每步的反应为此步开始时的初始条件（位移及速 度）和该步期间的荷载历程引起； 是一个分段线性化的系统。
§7.5
积分法
高等结构动力学
另一方面，如果β取作1/6（用γ=1/2）， 最终速度和位移的表达式成为
h 1 v 0 (v 0 v v ) 1 2
2 2 h h 0h v 0 v v1 v0 v 3 6 1
（7-15a）
（7-15b）
§7.5
积分法
2(v1 v0 ) 1 0 v v h
（7-12）
§7.5
积分法
高等结构动力学
§7.5
积分法
另一类一般性的逐步进行动力反应分析的数 值方法是，对每一时间步，从初始到最终条件应 用积分前进一步。这个基本概念可用如下式子表 示：
1 v 0 v ( )d v
0
h
（7-13a）
（7-8）
0 v
1 2 v 1 2 v h
1 1 2 (v1 v0 ) 2 (v0 v1 ) h h
§7.4 二阶中心差分列式
高等结构动力学
（7-9）
1 0 2 (v1 2v0 v1 ) v h
h2 0 kv0 ) v1 2v0 v1 ( p0 cv m h2 0 kv0 ) 2v0 v1 v1 ( p0 cv m
§7.1 一般概念
高等结构动力学
近似的方法 方程的近似 方程求解方法的近似 1）数值微分 2）数值积分
§7.2 分段精确方法
高等结构动力学
§7.2 分段精确方法
§7.2 分段精确方法
高等结构动力学
(7-1) (7-2)
p( ) p0
cv kv p0 mv

§7.5
积分法
高等结构动力学
从该列式性能的研究发现，系数γ 控制了由这个逐 步法导致的人工阻尼量；如果γ=1/2，方法是无人工阻 尼的，因此这个值被推荐用于标准的单自由度分析。 在式（7-14a）和式（7-14b）中令系数γ =1/2和 β =1/4，此时可以看到， Newmark列式直接退化为 图7-3所示最终速度和位移的表达式。因此， Newmarkβ =1/4法也可以归诸于常平均加速度法。
高等结构动力学
这些结果也可以如图7-4所示，由假设在时间步 0 和 v 持续期间加速度在 v 1 的初始到最后值之间线性变 化来得到；因此β =1/6的Newmark法也称为线加速度 法。像常平均加速度法一样，此法在实际中也是广为 应用的。但是与β =1/4方法对比，线加速度法仅是条 件稳定的。可是，与二阶中心差分法一样，在单自由 度体系分析中这个限制并不重要，因为要获得动力荷 载和反应的满意表示，必须取比这一限制更短的时间 步长。
§7.5
积分法
高等结构动力学
Euler-Gauss方法
最简单是假设加速度在时间步持续时 间内为常数，结果是在持续时间内速度为线 性，位移为二次曲线 ——著名的Euler-Gauss方法 。
§7.5
积分法
高等结构动力学
列式特性的样式，假设常量加速度是 由初值及步长持续时间内所获得的最终加 速度的平均。在此图中也显示了速度和位 移的表达式，它们是对此加速度在这步持 续时间内任意时刻 由逐次积分所获得的 ，把 h 代入这些表达式而获得最终速度 和位移。
A3 exp( )sin D
(7-5)
§7.2 分段精确方法
高等结构动力学
其中
A1 2
1
A0 v0
2

2
3
A2 v0 A0
0 A2 A3 (v ) D 2
同样地，可获得时间步长期间的速度为 ( ) A v 1 (D A 3 A 2 ) exp( ) cos D (7-6) (D A 2 +A3 )exp( )sinD
1 需要应用隐式列式， 式（7-7）所示的动力平衡表达式获得。另外，最终加速度 v 1 开始时用任意假设的值，再用图7-3所列式（a） 它的值可以由迭代获得。对 v 1 和 v1 的值。然后，用与式（7-7）相当的表达式从动力平衡方程计算 和（b）得到 v 1 值的一个改进，由此再导得速度 v 1 和位移 v1 的改进值，最后，迭代收敛 t1 时刻 v