苏教版高中数学必修五等比数列思想方法文字素材

“等比数列”知识问答
问：当我们使用公比q 时应注意哪些问题？ 答：（1）注意讨论公比1q =时的情形．
（2）注意公比q 可以为负数．如等比数列(2)n n a =-，其公比为2-． （3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(0)q q ≠，则 当1q >，10a >或01q <<，10a <时，{}n a 是递增数列； 当1q >，10a <或01q <<，10a >时，{}n a 是递减数列； 当1q =时，{}n a 是常数列； 当0q <时，{}n a 是摆动数列．
问：若2b ac =，则a b c ，，成等比数列，对吗？
答：不对，在2b ac =中，a b c ，，可以为0，故不能推出a b c ，，成等比数列．所以，应明确它成立的前提条件是0a c >·．
问：解决等比数列问题有哪些基本方法？ 答：（1）注意与等差数列对比，会用类比思想解决问题．
（2）等比数列的前n 项和公式及通项公式涉及到五个量：1n n a q n a S ，，，，，已知其中任意三个，可通过列方程（组）求出另外两个．
（3）注意灵活设未知数．例如：三个数成等比数列，可设这三数为a
a aq q
，，；四个正
数或负数成等比数列，可设这四个数为
33
a a
aq aq q q
，，，； （4）巧妙利用等比中项的性质：(0)a G b ab >，，成等比数列，则2G ab =
或G =；但要注意，两个正数或两个负数的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数和一个负数没有等比中项．
（5）在求等比数列的和时，当1q =，易得1n S na =；当1q ≠时，其求解方法可参照第6期的相关内容．
问：在数列{}n a 中，如何求解满足下面几种特殊类型递推式的通项公式：①11n n n a pa qa +-=+（p q ，是不为零的常数，且1p ≠）；②110(0)n n n n n px x qx rx x ++++=≠；③1(0010)k
n n n a pa p k k a +=>≠≠>，，，；④1n n n Ax B x Bx A ++=+．
答：对于①11n n n a pa qa +-=+（p q ，是不为零的常数，且1p ≠）型的递推式，此式称为二阶递推关系式，可以用待定系数法求通项，即设11()n n n n a xa y a xa +-+=+，与原式比较，求出x y ，，转化为一个新的等比数列求解．
②110(0)n n n n n px x qx rx x ++++=≠型的递推式，则可用倒数法求通项，即作倒数1
n n
a x =代换，将原式化为10n n p qa ra +++=的形式，问题便可迎刃而解．
③1(0010)k
n n
n a pa p k k a +=>≠≠>，，，型的递推式，则可用对数法求通项，即两边取对数，得1lg lg lg n n a k a p +=+，设lg n n b a =，则将原式化为1lg n n b kb p +=+，问题便可以解决了． ④1n n n Ax B
x Bx A
++=
+型的递推式，则可用合分比定理求通项，即使用合分比定理，得
111()11()()1n n n n n n x A B x A B x A B x A B x A B A B x ++++++++==------·．所以数列11n n x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭
是以
A B
A B +-为公比的等比数列，从而使问题得以解决．
等比数列中的思想方法
数列是高中数学的重要内容，蕴涵着极其丰富的思想方法．因此，如果能够有效地运用数学思想方法去分析问题、解决问题，不仅能够强化同学们的解题意识，而且对快速、巧妙的解题也大有裨益．下面，就数列解题中常用的思想方法加以说明，以供参考．
1．方程思想
等比（或等差）数列{}n a 的通项公式、前n 项和公式集中了等比（或等差）数列的五个基本元素1a 、q （或d ）、n 、n a 、n S ．“知三求二”是等比（或等差）数列中最基本的题型．因此，我们常依据等比（或等差）数列的这一内在关系列出方程（组），通过解方程（组）的方法解决问题．
例1 在等比数列{}n a 中，372S =，6632
S =，求n a ． 解：∵632S S ≠， ∴1q ≠．
由372S =，6632S =，得316
1(1)7
12(1)63.12a q q a q q
⎧-=⎪
-⎪
⎨-⎪=⎪-⎩①②
，
②÷①，得3
19q +=， ∴2q =， 代入①，得112
a =
，
∴12
12n n n a a q --==．
2．函数思想
数列可以看作是定义在正整数集（或其有限子集）上的函数，因此利用函数观点解决数列问题是一种有效的方法．利用函数的思想方法将问题转化为关于自变量n 的函数，问题往往会迎刃而解．
例2 实数a q ，满足什么条件时，数列{}
n aq ()n +∈N 是递增数列？ 解：设函数()x
f x aq =，
显然当(0)a ∈+∞，，(1)q ∈+∞，或(0)a ∈-∞，，(01)q ∈，时，函数()x
f x aq =是R 上的递增函数．
所以，当(0)a ∈+∞，，(1)q ∈+∞，或(0)a ∈-∞，，(01)q ∈，时，数列{}
n aq （()n +∈N 是递增数列． 3．整体思想
在数列求值等问题中，由于未知数的个数多，在根据题意列方程（组）求解时，有时运算较繁琐，甚至解不出．若能从问题的全局出发，依据题目的某些条件，变换思考问题的角度，整体处理，常常可以简化问题，减少运算量，从而使解法简捷明快．
例3 在等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，2348a a a ++=，求公比q ．
分析：本题可以利用前面的方程思想，列出关于首项1a 及公比q 的两个方程，通过解方程组求得q ，但我们若用整体思想来审视本题，则有更简洁的解法．
解：∵1234a a a ++=，2348a a a ++=， ∴1q ≠．
∵123234()q a a a a a a ++=++， ∴234
123
2a a a q a a a ++=
=++．
4．分类讨论思想
分类是按一定的标准把所要研究的对象分成若干种情况，把一个复杂的问题分解成若干个相对简单的问题，最终使整个问题得以解决．如等比数列的前n 项和公式就是对公比q 按
1q =和1q ≠分类讨论获得的．
例4 求数列1，3a ，2
5a ，…，1
(21)n n a
--，…(0)a ≠的前n 项之和．
解：数列1，3a ，
25a ，…，1
(21)n n a --，…的通项为1
(21)n n a n a -=-，其中数列{}
21n -是等差数列，数列{}
1n a -是等比数列．
（1）当1a =时，2
135(21)n S n n =++++-=L ．
（2）当1a ≠时，
∵21
135(21)n n S a a n a -=++++-L ，① ∴2335(21)n
n aS a a a n a =++++-L ．②
①-②，得21(1)1222(21)n n
n a S a a a n a --=++++--L
12(1)1(21)1n n a a n a a --=+---，
∴12
1(21)2(1)
1(1)n n n n a a a S a a ----=+--；
综上得12
21(21)2(1)
(1)1(1)(1).n n n n a a a a a a S n a -⎧---+≠⎪--=⎨⎪=⎩
，。