高二文科数学期末综合训练四

高二文科数学期末综合训练四
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1．抛物线2x ay =的准线方程是2y =-，则a =（ ）
A. 16a =
B. 8a =
C. 4a =
D. 2a =
2．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ＝－3＋bx ，若∑10i ＝1xi ＝17，∑10i ＝1yi
＝4，则b 的值为( )
A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－1
3．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )
A B C D 4．下列命题错误的是（ ）
A ．命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为:“若方程20x x m +-=无实根,则0m ≤”.
B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.
C ．命题“若0xy =,则,x y 中至少有一个为零”的否命题是:“若0xy ≠,则,x y 至多有一个为零”.
D ．对于命题:p R x ∃∈,使得210x x ++<;则p ⌝是:R x ∀∈,均有210x x ++≥.
5．已知i 为虚数单位，复数i
i
z -+=
121，则复数z 的虚部是 （ ） A. 23i B . 23 C. i 21- D. 2
1
-
6．双曲线22
143
x y -=的焦点到一条渐近线的距离是（ ）
2 D.
7．若不等式11a x a -<<+成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（ ） A.[]1,3 B.()1,+∞ C. ()3,+∞ D.[)3,+∞
8．已知函数()ln f x kx x =-在()1,+∞上为增函数，则k 的取值范围是（ ）
A. [)1,+∞
B. [)2,+∞
C. (],1-∞-
D. (],2-∞-
9．已知数列11{}
,1,n n n a a a a n +==+中，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）
A ．8n ≤
B ．n ≤9
C ．n ≤10
D ．n ≤11 10．已知圆M ：()2
2116x y ++=及定点()1,0N ，点P 是圆M 上
的动点，线段PN 的中垂线与线段PM 相交于点G ，则点G 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 11．我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
3
2
a ，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为( ) A ．
63a B ．52a C ．223
a D ．a 12．已知a 为正常数，动点(,)(0)M x y y ≠分别与两定点12(,0),(,0)F a F a -的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．3
D ．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上．) 13．设i 是虚数单位，则6i = .
14．已知一个球状物的原有半径为1，从现在开始半径r （单位：米）随着时间t （单位：秒）在变化，且31r t =+，则该球的表面积在时刻2t =时的变化率是 2米∕秒.
15．设)(x f 定义如下面数表，}{n x 满足50=x ，且对任意自然n 均有)(1n n x f x =+，则2007x 的值为 。

x
1 2 3 4 5 )(x f
4
1
3
5
2
16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2
2，且过点()1,1M 的直线与椭圆C 交于
,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则直线AB 的斜率k = .
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）（1）已知
11
123x yi i i
+=+-+，求实数,x y 的值； （2）已知12,z z C ∈，若121234,5,z i z z z =+=⋅是纯虚数，求2z ．
18．（本小题满分12分）已知a b c >>，且0a b c ++=<
19. （14分）某地区甲校高二年级有1100人,乙校高二年级有900人,为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩,采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩,如下表:(已知本次测试合格线是50分,两校合格率均为100%)
乙校高二年级数学成绩:
若数学成绩不低于80分为优秀,低于80分为非优秀,根据以上统计数据写下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”?
20. （本小题满分12分）()()6,23-++=在点已知曲线b ax x x f 处的切线方程是03213=--y x . （I ）求b a ,的值；（II ）如果曲线()y f x =的某一切线与直线1
34
y x =-+垂直，求切点坐标与切线的方程.
21、（本小题满分14分）),2()22,(),2(321y a C x B y a A +-、、是抛物线)0(22>=p x p y 上三点，其中20<<a ，并且A 、B 、C 三点到焦点的距离成等差数列． （1）求抛物线方程； （2）证明：2431<+y y ．
22．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x a x =-，()()ln a g x x a x
=+∈R ．
（1）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；
（2）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()f x ＜0()g x 成立，求a 的取值范围．
高二文科数学期末综合训练四答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
A
D
C
B
B
D
A
B
B
A
A
二 填空题13. -1 14. ()2
2
4431S r t ππ==+，()2
24321168t S ππ='=⨯+= 15. 4
16. 【解析】：设1122(,),(,)A x y B x y ，则由2222
112222221,1,x y x y a b a b +=+=两式相减变形得：
1212121222()()()()0,x x x x y y y y a b -+-++=
由e =得22
2a b
=，故22
220k a b +=， 221
.2
b k a =-=-
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）（1）已知
11
123x yi i i
+=+-+，求实数,x y 的值； （2）已知12,z z C ∈，若121234,5,z i z z z =+=⋅是纯虚数，求2z ． 17.解：（1）177
,2626
x y =
= （2）设2,,z a bi a b R =+∈ ()()()12343443z z i a bi a b a b i =++=-++
2225
340430
a b a b a b ⎧+=⎪
-=⎨⎪+≠⎩
4433a a b b ==-⎧⎧∴⎨
⎨==-⎩⎩或224343z i z i ∴=+=--或 18．（本小题满分12分）已知a b c >>，且0a b c ++=
<
18．证明：因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，
r ，即证223b ac a -<， 从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，
因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->， 所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立． 19.（14分）某地区甲校高二年级有1100人,乙校高二年级有900人,为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩,采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩,如下表:(已知本次测试合格线是50分,两校合格率均为100%)
甲校高二年级数学成绩: 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数
10
25
35
30
x
乙校高二年级数学成绩: 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数
15
30
25
y
5
若数学成绩不低于80分为优秀,低于80分为非优秀,根据以上统计数据写下面2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”? 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计
【解析】数学成绩不低于80分为优秀,低于80分为非优秀,得到列联表: 甲校 乙校 总计 优秀 40 20 60 非优秀 70 70 140 总计
110
90
200
所以K2的观测值k=≈4.714,
又因为4.714>3.841,故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”.
20.（本小题满分12分）
()()6,23-++=在点已知曲线b ax x x f 处的切线方程是03213=--y x . （I ）求b a ,的值；（II ）如果曲线()y f x =的某一切线与直线1
34
y x =-+垂直，求切点坐标与切线的方程.
解：（I ）∵
（II ） ∵切线与直线y ＝－x
4＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4， ∴x0＝±1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x0＝1，y0＝－14，
或⎩⎪⎨⎪⎧
x0＝－1，
y0＝－18.
切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.
即y ＝4x －18或y ＝4x －14.
21、（本小题满分14分）),2()22,(),2(321y a C x B y a A +-、、是抛物线)0(22>=p x p y 上三点，其中20<<a ，并且A 、B 、C 三点到焦点的距离成等差数列． （1）求抛物线方程； （2）证明：2431<+y y ．
21、（1）由抛物线的定义，A 、B 、C 三点到焦点的距离分别为222222p
a p x p a ++++-，
， 依题意得)2
2()22()2(22p
a p a p x ++++-=+ 解得22=x ．
将)22,2(B 代入px y 22=，得2=p ，
所以抛物线方程为x y 42=． （2）因为20<<a ，所以
而这是显然成立的，所以2431<+y y 成立．
22．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x a x =-，()()ln a
g x x a x
=+
∈R ．
（1）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （2）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()f x ＜0()g x 成立，求a 的取值范围． 【解析】：（1）()()1ln a
h x x a x x
=-+-
，()0,x ∈+∞， ()()()()2
222
1111x a x a x a x a a h x x x x x -++--+'=-+==， ①当0a ≤时，由()'
0h x >得：1x >，所以h x 的单调递增区间为()1,+∞； 由()'
0h x <得：01x <<，所以h x 的单调递减区间为()0,1； ②当01a <<时，由()'
0h x >得：()
()0,1,x a ∈+∞，所以h
x 的单调递增区间为
()()0,,1,a +∞；由()'0h x <得：(),1x a ∈，所以的单调递减区间为(),1a ；
4
42484248)22(24)2(4)2(42
42222231>⇔<-⇔<-⇔<-+⇔<++-⇔<++-⇔<+a a a a a a a a y y
③当1a =时，()'
0h x ≥，故h x 的单调递增区间为()0,+∞；
④当1a >时，由()'
0h x >得()()0,1,x a ∈+∞，此时h x 的单调递增区间为
()()0,1,,a +∞．由()'0h x <得1x a <<，此时h x 的单调递减区间为()1,a ．
（2）在[1,]e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得
()00h x <，即函数()()1ln a h x x a x x
=-+-在[1,]e 上的最小值小于0．由（1）知：
当1a ≤时，h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 110h x h a ==-<，∴1a >（舍去） ②当1a >时，h x 的单调递增区间(),a +∞，单调递减区间()1,a 当1a e <<时，h x 的单调递增区间(),a e ，单调递减区间()1,a
故()()min 1ln 10h h a a a a ==-+-<，记()()()1ln 1,1,x x x x x e ϕ=-+-∈ 则()'
11
1ln ln x x x x x x
ϕ+=--
=--，而()()'01,x e ϕ<在上恒成立，所以()()1,x e ϕ在上单调递减，故()()10x ϕϕ<=，所以()min 0h h a =<恒成立，故1a e <<；
当a e ≥时，h x 在[1,e]上单调递减，故()()min 110h h e e e ==-+-<，恒成立，故a e ≥， 综合得： 1.a。