江西省新余市2024届中考数学考试模拟冲刺卷含解析

江西省新余市2024年中考数学考试模拟冲刺卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）
A ．12
B ．13
C ．310
D ．15
2．把边长相等的正六边形ABCDEF 和正五边形GHCDL 的CD 边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG 交AF 于点P ，则∠APG ＝（ ）
A ．141°
B ．144°
C ．147°
D ．150°
3．下列计算正确的是（ ）
A ．（a 2）3＝a 6
B ．a 2•a 3＝a 6
C ．a 3+a 4＝a 7
D ．（ab ）3＝ab 3
4．如图，是反比例函数4y (x 0)x
=>图象，阴影部分表示它与横纵坐标轴正半轴围成的区域，在该区域内(不包括边界)的整数点个数是k ，则抛物线2y (x 2)2=---向上平移k 个单位后形成的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．不等式组325521x x +>⎧⎨-≥⎩
的解在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．
D ．
6．在数轴上表示不等式2（1﹣x ）＜4的解集，正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，等边三角形ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从
点A 出发，沿A→B→C 的方向运动，到达点C 时停止．设点M 运动的路程为x ，MN 2=y ，则y 关于x 的函数图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
8．下列运算正确的是 （ ）
A ．22a +a=33a
B ．()32m =5m
C ．()222x y x y +=+
D ．63a a ÷=3a
9．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=︒，在C 点测得60BCD ∠=︒，又测
得50
AC=米，则小岛B到公路l的距离为（）米．
A．25 B．253C．1003
3
D．25253
+
10．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）
A．y1B．y2C．y3D．y4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知一组数据：3,3,4,5,5，则它的方差为____________
12．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点
O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为_____．
13．如图，正方形内的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，AC=6，那么CE=________．
15．分解因式：x3y﹣2x2y+xy=______．
16．如图，AC、BD为圆O的两条垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿线段线段DO的路线作匀速运动．设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t的函数关系最恰当的是（）
A．B．C．D．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）今年 3 月12 日植树节期间，学校预购进A、B 两种树苗，若购进A种树苗 3 棵，B 种树苗 5 棵，需2100 元，若购进A 种树苗 4 棵，B 种树苗10棵，需3800 元．
（1）求购进A、B 两种树苗的单价；
（2）若该单位准备用不多于8000 元的钱购进这两种树苗共30 棵，求A 种树苗至少需购进多少棵？
18．（8分）（1）观察猜想
如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为______；
（2）问题解决
如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；（3）拓展延伸
如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD的长．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交⊙O于点C，连接BC，过点D作FD⊥OC交⊙O的切线EF于点F．
（1）求证：∠CBE＝1
2
∠F；
（2）若⊙O的半径是23，点D是OC中点，∠CBE＝15°，求线段EF的长．
21．（8分）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人？
22．（10分）黄岩某校搬迁后，需要增加教师和学生的寝室数量，寝室有三类，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）．因实际需要，单人间的数量在20至30之间（包括20和30），且四人
间的数量是双人间的5倍．
（1）若2018年学校寝室数为64个，以后逐年增加，预计2020年寝室数达到121个，求2018至2020年寝室数量的年平均增长率；
（2）若三类不同的寝室的总数为121个，则最多可供多少师生住宿？
23．（12分）如图，一次函数y＝﹣3
4
x+6的图象分别交y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿射线BA以每
秒1个单位的速度出发，设点P的运动时间为t秒．
（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为6，求此时P的坐标；
（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？（只需写出t的值，无需解答过程）
24．一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解题分析】
一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，共有10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案.
【题目详解】
根据题意：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=
2
10
=
1
5
.
故答案为D
【题目点拨】
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=
m n
. 2、B
【解题分析】
先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG 的度数．
【题目详解】
(6﹣2)×180°÷6＝120°，
(5﹣2)×180°÷5＝108°，
∠APG ＝(6﹣2)×180°﹣120°
×3﹣108°×2 ＝720°﹣360°﹣216°
＝144°，
故选B ．
【题目点拨】
本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n ﹣2)•180 (n≥3)且n 为整数)．
3、A
【解题分析】
分析：根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方公式即可得出答案．
详解：A 、幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式计算正确；B 、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，原式=5a ，故错误；C 、不是同类项，无法进行加法计算；D 、积的乘方等于乘方的积，原式=33a b ，计算错误；故选A ．
点睛：本题主要考查的是幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方计算法则，属于基础题型．理解各种计算法则是解题的关键．
4、A
【解题分析】
依据反比例函数的图象与性质，即可得到整数点个数是5个，进而得到抛物线2y (x 2)2=---向上平移5个单位后形成的图象．
【题目详解】
解：如图，反比例函数4y (x 0)x
=>图象与坐标轴围成的区域内(不包括边界)的整数点个数是5个，即k 5=，
∴抛物线2y (x 2)2=---向上平移5个单位后可得：2y (x 2)3=--+，即2y x 4x 1=-+-，
∴形成的图象是A 选项．
故选A ．
【题目点拨】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象、二次函数的性质与图象，解答本题的关键是明确题意，求出相应的k 的值，利用二次函数图象的平移规律进行解答．
5、C
【解题分析】
先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．
【题目详解】
解：由不等式①，得3x ＞5-2，解得x ＞1，
由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，
∴数轴表示的正确方法为C ．
故选C ．
【题目点拨】
考核知识点：解不等式组.
6、A
【解题分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数轴上表示不等式的解集． 2(1– x )＜4
去括号得：2﹣2ｘ＜4
移项得：2x ＞﹣2，
系数化为1得：x ＞﹣1，
故选A ．
“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
7、B
【解题分析】
分析：分析y 随x 的变化而变化的趋势，应用排它法求解，而不一定要通过求解析式来解决：
∵等边三角形ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，
∴AN=1。

∴当点M 位于点A 处时，x=0，y=1。

①当动点M 从A 点出发到AM=12
的过程中，y 随x 的增大而减小，故排除D ； ②当动点M 到达C 点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y 的值与点M 在点A 处时的值不相等，故排除A 、C 。

故选B 。

8、D
【解题分析】
根据整式的混合运算计算得到结果，即可作出判断．
【题目详解】
A 、22a 与a 不是同类项，不能合并，不符合题意；
B 、()32m =6m ，不符合题意；
C 、原式=22x 2y xy ++，不符合题意；
D 、63a a ÷=3a ，符合题意，
故选D ．
【题目点拨】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9、B
【解题分析】
解：过点B 作BE ⊥AD 于E ．
设BE=x．
∵∠BCD=60°，tan∠BCE
BE CE =，
CE x
∴=，
在直角△ABE中，，AC=50米，
50
x
-=，
解得x=
即小岛B到公路l的距离为
故选B.
10、A
【解题分析】
由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．【题目详解】
由图象可知：
抛物线y1的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1=3
4
（x+2）2-2；
抛物线y2的顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2=x2-1；
抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3=（x-1）2+1；
抛物线y4的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y4=2（x-1）2-3；
综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1
故选A．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、4 5
【解题分析】
根据题意先求出这组数据的平均数是：（3+3+4+5+5）÷
5=4，再根据方差公式求出这组数据的方差为：15×[（3–4）2+（3–4）2+（4–4）2+（5–4）2+（5–4）2]=
45． 故答案为45
． 12、 【解题分析】
试题分析：根据矩形的性质求出△AOB 的面积等于矩形ABCD 的面积的
，求出△AOB 的面积，再分别求出、、、的面积，即可得出答案 ∵四边形ABCD 是矩形，
∴AO=CO ，BO=DO ，DC ∥AB ，DC=AB ，
∴
， ∴
， ∴， ∴，
，
，
∴
考点：矩形的性质；平行四边形的性质 点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等
13、13
． 【解题分析】
试题分析：此题是求阴影部分的面积占正方形面积的几分之几，即为所求概率．阴影部分的面积为：3×1÷2×4=6，因
为正方形对角线形成4个等腰直角三角形，所以边长是2233+326÷(232=6÷18=13． 考点：求随机事件的概率．
14、4 3
【解题分析】
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=2，
∵BE、AD分别是边AC、BC上的高，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCE，
∴AC CD BC CE
=，
∴62
4CE =，
∴CE=4
3
，
故答案为4 3 .
15、xy（x﹣1）1
【解题分析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【题目详解】
解：原式=xy（x1-1x+1）=xy（x-1）1．
故答案为：xy（x-1）1
【题目点拨】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16、C.
【解题分析】
分析：根据动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小，当P在上运动时，∠APB不变，当P在DO上运动时，∠APB 逐渐增大，即可得出答案．
解答：解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；
当P在上运动时，∠APB不变；
当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．
故选C．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）购进 A 种树苗的单价为200 元/棵，购进B 种树苗的单价为300 元/棵（2）A 种树苗至少需购进 1 棵【解题分析】
（1）设购进A种树苗的单价为x元/棵，购进B种树苗的单价为y元/棵，根据“若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需210元，若购进A种树苗4棵，B种树苗1棵，需3800元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需购进A种树苗a棵，则购进B种树苗（30-a）棵，根据总价=单价×购买数量结合购买两种树苗的总费用不多于8000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【题目详解】
设购进 A 种树苗的单价为x 元/棵，购进 B 种树苗的单价为y 元/棵，根据题意得：，
解得：．
答：购进 A 种树苗的单价为200 元/棵，购进 B 种树苗的单价为300 元/棵．
（2）设需购进A 种树苗 a 棵，则购进 B 种树苗（30﹣a）棵，根据题意得：
200a+300（30﹣a）≤8000，
解得：a≥1．
∴A种树苗至少需购进 1 棵．
【题目点拨】
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
18、（1）BC=BD+CE，（2）10（3）32
【解题分析】
（1）证明△ADB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到BD=AC，EC=AB，即可得到BC、BD、CE之间的数量关系; （2）过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，证明△ABC≌△DEA，得到DE=AB=2，AE=BC=4，Rt△BDE中，BE=6，根据勾股定理即可得到BD的长；
（3）过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，证明△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质得到CE=AF，ED=DF，设AF=x，DF=y，根据CB=4，AB=2，列出方程组，求出
,x y的值，根据勾股定理即可求出BD的长.
【题目详解】
解：（1）观察猜想
结论：BC=BD+CE，理由是：
如图①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，
∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠D=∠EAC，
∵∠B=∠C=90°，AD=AE，
∴△ADB≌△EAC，
∴BD=AC，EC=AB，
∴BC=AB+AC=BD+CE；
（2）问题解决
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
由（1）同理得：△ABC≌△DEA，
∴DE=AB=2，AE=BC=4，
Rt△BDE中，BE=6，
由勾股定理得：22
62210
BD=+=；
（3）拓展延伸
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，同理得：△CED≌△AFD，
∴CE=AF，ED=DF，
设AF=x，DF=y，
则
4
2
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
1
3,
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
∴BF=2+1=3，DF=3，
由勾股定理得：22
3332
BD=+=．
【题目点拨】
考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
19、（1）（1）A （a ，0），B （3,0），D （0,3a ）.（2）a 的值为73.（3）当a=5时，D 、O 、C 、B 四点共圆. 【解题分析】
【分析】（1）根据二次函数的图象与x 轴相交，则y=0，得出A （a ，0），B （3，0），与y 轴相交，则x=0，得出D （0，3a ）. （2）根据（1）中A 、B 、D 的坐标，得出抛物线对称轴x=32a +，AO=a ，OD=3a ，代入求得顶点C （32a +，-2
32a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
），从而得PB=3- 32a +=32a -，PC=232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；再分情况讨论：①当△AOD ∽△BPC 时，根据相似三角形性质得233322a a a a =--⎛⎫ ⎪⎝⎭， 解得：a= 3（舍去）；
②△AOD ∽△CPB ，根据相似三角形性质得23332
2a
a a a =
--⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，解得：a 1=3（舍），a 2=73； （3）能；连接BD ，取BD 中点M ，根据已知得D 、B 、O 在以BD 为直径，M （
32，32a ）为圆心的圆上，若点C 也在此圆上，则MC=MB ，根据两点间的距离公式得一个关于a 的方程，解之即可得出答案.
【题目详解】（1）∵y=（x-a ）（x-3）（0<a<3）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），
∴A （a ，0），B （3，0），
当x=0时，y=3a ，
∴D （0，3a ）；
（2）∵A （a ，0），B （3，0），D （0，3a ）.∴对称轴x=32
a +，AO=a ，OD=3a ， 当x= 32a +时，y=- 2
32a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∴C （32a +，-232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭）， ∴PB=3-32a +=32a -，PC=232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ①当△AOD ∽△BPC 时，
∴AO OD BP PC
=， 即 233322a a a a =--⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 解得：a= 3（舍去）；
②△AOD ∽△CPB ，
∴AO OD CP PB
=， 即23332
2a
a a a =
--⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 解得：a 1=3（舍），a 2=
73 . 综上所述：a 的值为73
； （3）能；连接BD ，取BD 中点M ，
∵D 、B 、O 三点共圆，且BD 为直径，圆心为M （
32，32
a ）， 若点C 也在此圆上，
∴MC=MB ， ∴2
22223333333222222a a a a ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， 化简得：a 4-14a 2+45=0，
∴（a2-5）（a2-9）=0，
∴a2=5或a2=9，
∴a1a2a3=3（舍），a4=-3（舍），
∵0<a<3，
∴
∴当D、O、C、B四点共圆.
【题目点拨】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.
20、（1）详见解析；（1）6-
【解题分析】
(1)连接OE交DF于点H，由切线的性质得出∠F+∠EHF =90∘，由FD⊥OC得出∠DOH+∠DHO =90∘，依据对顶
角的定义得出∠EHF＝∠DHO，从而求得∠F=∠DOH，依据∠CBE=1
2
∠DOH，从而即可得证；
(1)依据圆周角定理及其推论得出∠F=∠COE＝1∠CBE =30°，求出OD的值，利用锐角三角函数的定义求出OH的值，进一步求得HE的值，利用锐角三角函数的定义进一步求得EF的值．
【题目详解】
（1）证明：连接OE交DF于点H，
∵EF是⊙O的切线，OE是⊙O的半径，
∴OE⊥EF．
∴∠F+∠EHF＝90°．
∵FD⊥OC，
∴∠DOH+∠DHO＝90°．
∵∠EHF＝∠DHO，
∴∠F＝∠DOH．
∵∠CBE＝1
2
∠DOH，
∴
1
2 CBE F ∠=∠
（1）解：∵∠CBE＝15°，
∴∠F＝∠COE＝1∠CBE＝30°．
∵⊙O 的半径是23，点D 是OC 中点，
∴3OD =．
在Rt △ODH 中，cos ∠DOH ＝
OD OH ， ∴OH ＝1．
∴232HE =-．
在Rt △FEH 中，tan =
EH F EF
∠ ∴3623EF EH ==-
【题目点拨】
本题主要考查切线的性质及直角三角形的性质、圆周角定理及三角函数的应用，掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．
21、1人
【解题分析】
解：设九年级学生有x 人，根据题意，列方程得：
19361936?0.8x x 88
⋅=+，整理得0.8（x+88）=x ，解之得x=1． 经检验x=1是原方程的解．
答：这个学校九年级学生有1人．
设九年级学生有x 人，根据“给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元”可得每个文具包的花费
是：
1936x 元，根据“若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元”可得每个文具包的花费是：1936?x 88
+，根据题意可得方程19361936?0.8x x 88⋅=+，解方程即可． 22、（1）2018至2020年寝室数量的年平均增长率为37.5%；（2）该校的寝室建成后最多可供1名师生住宿.
【解题分析】
（1）设2018至2020年寝室数量的年平均增长率为x ，根据2018及2020年寝室数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设双人间有y间，则四人间有5y间，单人间有（121-6y）间，可容纳人数为w人，由单人间的数量在20至30之间（包括20和30），即可得出关于y的一元一次不等式组，解之即可得出y的取值范围，再根据可住师生数=寝室数×每间寝室可住人数，可找出w关于y的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【题目详解】
（1）解：设2018至2020年寝室数量的年平均增长率为x，
根据题意得：64（1+x）2=121，
解得：x1=0.375=37.5%，x2=﹣2.375（不合题意，舍去）．
答：2018至2020年寝室数量的年平均增长率为37.5%．
（2）解：设双人间有y间，可容纳人数为w人，则四人间有5y间，单人间有（121﹣6y）间，
∵单人间的数量在20至30之间（包括20和30），
∴
121620
{
121630
y
y
-≥
-≤
，
解得：15 1
6
≤y≤16
5
6
．
根据题意得：w=2y+20y+121﹣6y=16y+121，
∴当y=16时，16y+121取得最大值为1．
答：该校的寝室建成后最多可供1名师生住宿．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量之间的关系，找出w关于y的函数关系式．
23、（1）（2,4.5），（-2，7.5）；（2）2.8,4,5,16
【解题分析】
（1）先求出△OPA的面积为6时BP的长，再求出点P的坐标；
（2）分别讨论AO=AP，AP=OP和AO=OP三种情况.
【题目详解】
（1）在y=-3
4
x+6中，令x=0，得y=6，令y=0，得x=8，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，∴AB=10，
∴AB边上的高为6×8÷10=24
5
，
∵P点的运动时间为t，∴BP=t，则AP=10t-，
当△AOP面积为6时，则有1
2
AP×
24
5
=6，即
1
10
2
t-×
24
5
=6，解得t=7.5或12.5，
过P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E、F，
则PE=
·
AO PB
AB
=4.5或7.5，BE=
·
OB PB
AB
=6或10，
则点P坐标为（8-6,4.5）或（8-10,7.5），即（2,4.5）或（-2,7.5）；
（2）由题意可知BP=t，AP=10t-，
当△AOP为等腰三角形时，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三种情况．
①当AP=AO时，则有10t-=6，解得t=4或16；
②当AP=OP时，过P作PM⊥AO，垂足为M，如图1，
则M为AO中点，故P为AB中点，此时t=5；
③当AO=OP时，过O作ON⊥AB，垂足为N，过P作PH⊥OB，垂足为H，如图2，
则AN=1
2
AP=
1
2
（10-t），
∵PH∥AO，∴△AOB∽△PHB，
∴PB
PH
=
AB
AO
，即
t
PH
=
10
6
,∴PH=
3
5
t，
又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°，∴∠AON=∠PBH，又∠ANO=∠PHB，∴△ANO∽△PHB，
∴PB
AO
=
PH
AN
，即
6
t
=
()
3
5
1
10
2
t
t-
，解得t=
14
5
；
综上可知当t的值为14
5
、4、5和16时，△AOP为等腰三角形．
24、解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．
根据题意，得111
x 1.5x12 +=，
解得x=1．
经检验，x=1是方程的解且符合题意．
1.5 x=2．
∴甲，乙两公司单独完成此项工程，各需1天，2天．
（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，
根据题意得12（y+y﹣1500）=10100解得y=5000，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：1×5000=100000（元）；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：2×（5000﹣1500）=105000（元）；
∴让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少．
【解题分析】
（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙工程公司单独完成需1.5x天，根据合作12天完成列出方程求解即可．（2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．。