2018-2019学年高二数学选修2-1阶段质量检测(一) 常用逻辑用语

16.(本小题满分 14 分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆 否命题．
(1)若 α＝β，则 sin α＝sin β；
3
2
(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形； (3)已知 a，b，c，d 都是实数，若 a＝b，c＝d，则 a＋c＝b＋d.
17．(本小题满分 14 分)已知 p：2x2－9x＋a＜0，q：Erro．
答案：∃x∈R，x2－2x＋1<0 3．解析：l1 与 l2 平行的充要条件是 a(a＋1)＝2×1，且 a×4≠1×(－1)，可解得 a＝1
或 a＝－2，故 a＝1 是 l1∥l2 的充分不必要条件． 答案：充分不必要 4．解析：命题 p 真，命题 q 假，因此綈 p 假，綈 q 真，①是假命题，②假命题，③真
2
上是增函数不能得到 a＝1，如当 a＝0 时，函数 f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间
[ ) [ ) 1
1
，＋∞
，＋∞
2
上是增函数．因此“a＝1”是“函数 f(x)＝|2x－a|在区间 2
上为增函数”的
充分不必要条件．
答案：(1)充要条件 (2)充分不必要条件 14．解析：由∀x∈[0,1]，a≥ex，得 a≥e；由∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，得
2
阶段质量检测(一) 常用逻辑用语 [考试时间：120 分钟 试卷总分：160 分]
二 题 号 一
15 16 17 18 19 20
得 分
总 分
一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．将答案填在题中的横线上) 1．命题：“若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0”的逆否命题是 ____________________________． 2．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是 ___________________________________． 3．设 a∈R，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平 行”的________条件． 4．已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是负数．则下列命题中 为真命题的是________(填所有真命题的序号)． ①(綈 p)∨q；②p∧q；③p∨q；④(綈 p)∨(綈 q)． 5．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个角均为 60°”的否命题；③“若 k<0，则方程 x2＋(2k＋1)x＋k＝0 必有两相异实数根”的逆否命 题．其中真命题的个数是________个． 6．(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是 “好货”的________条件． 7．(湖南高考改编)“1<x<2”是“x<2”成立的________条件． 8．命题“若 x＝1 或 x＝2，则 x2－3x＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中， 真命题的个数是________． 9．(辽宁高考改编)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；
Δ＝42－4a≥0，解得 a≤4，从而 a 的取值范围为[e,4]．
答案：[e,4] 15．解：(1)綈 p：存在一个末位数字为 9 的整数不能被 3 整除．綈 p 为真命题．
(2)綈 p：所有的素数都不是偶数．因为 2 是素数也是偶数，故綈 p 为假命题．
3
2
(3)綈 p：对任意的实数 x，都有 x2＋1≠0.綈 p 为真命题． (4)綈 p：∃x0，y0∈R，x20＋y20＋2x0－4y0＋5≠0. 綈 p 为真命题． 16．解：(1)逆命题：若 sin α＝sin β，则 α＝β； 否命题：若 α≠β，则 sin α≠sin β； 逆否命题：若 sin α≠sin β，则 α≠β. (2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等， 则梯形不是等腰梯形； 逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等． (3)逆命题：已知 a，b，c，d 都是实数，若 a＋c＝b＋d，则 a＝b，c＝d； 否定题：已知 a，b，c，d 都是实数，若 a≠b 或 c≠d，则 a＋c≠b＋d； 逆否命题：已知 a，b，c，d 都是实数，若 a＋c≠b＋d，则 a≠b 或 c≠d. 17．解：由Error! 得Error!即 2＜x＜3. ∴q：2＜x＜3. 设 A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}， ∵綈 p⇒綈 q，∴q⇒p.∴B⊆A. 即 2＜x＜3 满足 2x2－9x＋a＜0. 设 f(x)＝2x2－9x＋a， 要使 2＜x＜3 满足不等式 2x2－9x＋a＜0， 需有Error!即Error! ∴a≤9. ∴实数 a 的取值范围是{a|a≤9}． 18．解：∵不等式 x2＋2x－4－a≥0 对 x∈R 恒成立， ∴x2＋2x－4≥a 对 x∈R 恒成立， 令 y＝x2＋2x－4，
_______________；
[ ) 1
，＋∞
(2)“a＝1”是“函数 f(x)＝|2x－a|在区间 2
上为增函数”的________________．
14．已知命题 p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题 q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述
两个命题都是真命题，则实数 a 的取值范围为________．
命题，④真命题． 答案：③④ 5．解析：显然①假，②真，对于③，当 k<0 时，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，故③为
真． 答案：2 6．解析：便宜⇒没好货，等价于其逆否命题，好货⇒不便宜，∴“不便宜”是“好货”
的必要不充分条件． 答案：必要不充分 7．解析：设 A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<2}，
20．(本小题满分 16 分)已知命题 p：不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2>0 的解集是 R，命 题 q：sin x＋cos x>m.如果对于任意的 x∈R，命题 p 是真命题且命题 q 为假命题，求 m 的 范围．
3
2
1．若 a≠0 且 b≠0，则 ab≠0
答案
2．解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题．
二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
15．(本小题满分 14 分)写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：末位数字为 9 的整数能被 3 整除；
(2)p：有的素数是偶数；
(3)p：至少有一个实数 x，使 x2＋1＝0；
(4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
∵p 与 q 一真一假，
∴Error!或Error!解得 0≤m<2.
答案：[0,2) 12．解析：对于①，易知是正确的；对于②，由綈 p 是 q 的必要条件知：q⇒綈 p 则
22 p⇒綈 q，即 p 是綈 q 的充分条件，正确；对于③，由 M>N 不能得知(3)M>(3)N，因此③是
错误的．综上所述，其中正确的命题个数是 2.
| |x－1
1－ 由 3 ≤2，得－2≤x≤10. ∴綈 p：B＝{x|x<－2 或 x>10}． ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，且 m>0， ∴AB. ∴Error! 解得 m≥9. 注意到当 m≥9 时，③中等号成立，而②中等号不成立．∴实数 m 的取值范围是 [9，＋∞). 法二：∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件 ∴q 是 p 的必要不充分条件 ∴p 是 q 的充分不必要条件 ∴CD， 又∵p：C＝{x|－2≤x≤10}，
π sin x＋cos x＝ 2sin(x＋4)∈[－ 2， 2]，若对于任意的 x∈R，命题 q：sin x＋cos x>m 是假命题，则 m≥ 2.综上，m 的取值范围是[ 2，9)．
3
答案：2 13．解析：(1)当 p＝3 时，A＝{－1,2,3}，此时 A∩B＝B；若 A∩B＝B，则必有 p＝3.
因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．
[ ) 1
，＋∞
(2)当 a＝1 时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在 2
上是增函数；但由 f(x)＝|2x－a|在区间
[ ) 1
，＋∞
2－m 11．已知命题 p：不等式|x－1|>m 的解集是 R，命题 q：f(x)＝ x 在区间(0，＋∞)上
是减函数，若命题“p 或 q”为真，命题“p 且 q”为假，则实数 m 的取值范围是
________．
12．下列结论中正确命题的个数是________．
①命题 p：“∃x∈R，x2－2≥0”的否定形式为綈 p：“∀x∈R，x2－2<0”；
{ }an
p3：数列 n 是递增数列； p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为________．
3
2
10．命题 p：任意两个等边三角形都是相似的．
①它的否定是_______________________________________________________；
②否命题是_________________________________________________________．
18．(本小题满分 16 分)设有两个命题：p：关于 x 的不等式 x2＋2x－4－a≥0 对一切 x∈R 恒成立；q：已知 a≠0，a≠±1，函数 y＝－|a|x 在 R 上是减函数，若 p∧q 为假命题， p∨q 为真命题，求实数 a 的取值范围．
| |x－1
1－ 19．(本小题满分 16 分)已知 p： 3 ≤2；q：x2－2x＋1≤m2(m>0)．若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围．
3
2
q：D＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， ∴Error! 解得 m≥9. 故实数 m 的取值范围是[9，＋∞). 20．解：对于命题 p： (1)当 m－1＝0 时，原不等式化为 2>0 恒成立，满足题意． (2)当 m－1≠0 时，只需Error! 得 1<m<9，所以，m∈[1,9)． 对于命题 q：
②若綈 p 是 q 的必要条件，则 p 是綈 q 的充分条件；
( ) ( ) 2 2
③“M >N”是“ 3 M> 3 N”的充分不必要条件．
13．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”
中，选出适当的一种填空：
(1)记集合 A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的
3
2
∴ymin＝－5，∴a≤－5， ∴命题 p 即为 p：a≤－5， 函数 y＝－|a|x(a≠0，a≠±1)在 R 上是减函数， ∴|a|>1，∴a>1 或 a<－1， ∵p∧q 为假，p∨q 为真， ∴p，q 一真一假， ∴Error!或Error! ∴－5<a<－1 或 a>1. 即实数的取值范围是(－5，－1)∪(1，＋∞)． 19．解：法一：由 x2－2x＋1≤m2(m>0)， 得 1－m≤x≤1＋m. ∴綈 q：A＝{x|x<1－m 或 x>1＋m，m>0}．
故 AB，即当 x0∈A 时，有 x0∈B，反之不一定成立．
因此“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件 答案：充分不必要 8．解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．
又∵它的逆命题若“x2－3x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝2”是真命题，∴它的否命题也是真
命题． 答案：4 9．解析：设 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以 p1 为真命题；若
an＝3n－12，则满足已知，但 nan＝3n2－12n 并非递增数列，所以 p2 为假命题；若
3
2
an 1 an＝n＋1，则满足已知，但 n ＝1＋n是递减数列，所以 p3 为假命题；由于 an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以 p4 为真命题．
答案：p1，p4 10．①存在两个等边三角形不相似 ②如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似 11．解析：命题 p：m<0，命题 q：m<2.