广西壮族自治区河池市都安瑶族自治县高级中学2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试卷

都安瑶族自治县高级中学2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题
1．复数z 满足，则z 的虚部为( )A. B.-2
C.2
D.2i
2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，估计该田径队运动员的平均身高是( )A. B. C. D.3．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表，若以上两组数据的方差中较小的一个为，则的值为( )
C.1
4．在一次随机试验中，事件A ，B ，C 彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的
是( )
A.A 与C 是互斥事件，也是对立事件
B.与B 是互斥事件，也是对立事件
C.与B
是互斥事件，但不是对立事件
D.A 与是互斥事件，也是对立事件
5．设向量，，且，则向量在向量上的投影向量
为( )
B. D.6．在正方体，E 为棱
的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )2(1i)(1i)z =+-2i
-177.5cm 168.4cm 172.95cm
173.6cm
172.3cm
176cm
2s 2s 25
A B +A C +B C +m ()
n m n ⊥+ n m
12
- 14
m
- 1111ABCD A B C D -1AA 1EC AD
7．在中，且
边上的高等于( )
8．如图,在边长为2
的等边中,点E 为中线BD 的三等分点(靠近点B ),点F 为BC 的中
点,则( )
A.二、多项选择题
9．若甲组样本数据，，…
，（数据各不相同）的平均数为
2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为
4，则下列说法正确的是
( )A.a 的值为-2
B.乙组样本数据的方差为36
C.两组样本数据的样本中位数一定相同
D.两组样本数据的样本极差不同10．在平面直角坐标系中，已知点，，，则( )A.B.是直角三角形
C.以，为邻边的平行四边形的顶点D 的坐标为
D.与垂直的单位向量的坐标为或11．已知三棱锥中,,,E ,F 分别是BD ,CD 的中点,P 是棱AC 上(除端点外)的动点,下列选项正确的是( )
ABC △1BC =cos A ==BC ABC △FE EC ⋅=
1x 2x n x 13x a +23x a +3n x a +(0,0)O (1,2)A (3,1)B ||AB =
AOB △OA OB (4,4)
OA ⎛ ⎝A BCD -3AB AC DB DC ====2AD BC ==
A.直线PF 与AB 是异面直线;
B.当时,三棱锥
C.
;
D.三棱锥外接球的表面积.
三、填空题
12．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是______.13．平行四边形中，，，，Q 为中点，点P 在对
角线上，且，若，则_______.
14．在棱长为1的正方体中，过对角线的一个平面交，于点
E ，交于点
F ，得四边形，给出下列结论：①四边形有可能为梯形；②四边形有可能为菱形；
③四边形在底面
内的投影一定是正方形；④四边形有可能垂直于平面；⑤四边形其中正确的是_______________（请写出所有正确结论的序号）.
四、解答题
15．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：
(1)应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；
(2)已知该地区有X ，Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.
16．已知向量，.
(1)若2AP PC =P -PD +A BCD -11πABCD 4AB =3AD =60BAD ∠= CD BD BP BD λ=
AP BQ ⊥ λ=1111ABCD A B C D -1B D 1AA 1CC 1BFD E 1BFD E 1BFD E 1BFD E ABCD 1BFD E 11BB D D 1BFD Y (),4a m =-
()2,3b = ()
2a b b +⊥
(2)若向量，，求与夹角的余弦值.
17．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.(1)求某户居民用电费用y (单位：元)关于月用电量x (单位：千瓦时)的函数解析式.(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，b 的值.
(3)根据(2)中求得的数据a ＝0.0015，b ＝0.0020，计算用电量的75%分位数.
18．已知的三个内角的对边分别为.(1)若，求证：；
(2)若，且的面积
19．如图所示正四棱锥S -ABCD ，，
，求：
()2,1c =-- ()//2b a c + a 2a b + ABC △,,A B C ,,a b c 2C B =3cos 3cos 4cos A B B =-sin sin b B c C a -=ABC △S =4SA SB SC SD ====AB =3PD =
(1)正四棱锥S -ABCD 的表面积；
(2)侧棱SC 上是否存在一点E ，使得
说明理由.
//BE
参考答案
1．答案：B
解析：,故z 的虚部为-2,故选：B.2．答案：B
解析：由题意可得,田径队男,女队员的比例为，
用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本,男生占4人,女生占3人,
抽出的男运动员平均身高为,抽出的女运动员平均身高为,估计该田径队运动员的平均身高是
.
故选：B.3．答案：B
，
，故选：B.4．答案：D
解析：由于A ，B ，C 彼此互斥,且是必然事件,所以A 与C 是互斥事件,但不是对立事件,A 错误；
与B 可以同时发生,不是互斥事件,也不是对立事件,B 错误;
任何一个事件与其余两个事件的和事件必然是对立事件,故C 错误,D 正确.故选：D.5．答案：D
222
(1i)(1i)(1i)12i (i)2i(1i)2i 2i 22i z ⎡⎤=+-=+-+-=-+=--=-⎣⎦
48:364:3= 177.5cm 168.4cm ∴177.54168.43
173.67
⨯+⨯=67787
75
++++=
=222222
12(67)(77)(77)(87)(77)55s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲57689
7
5
x ++++=
=乙22
22221(57)(77)(67)(87)(97)25
s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙A B C ++A B +
解析：，
在上的投影向量为：
故选：D.6．答案：C
解析：在正方体中,，所以异面直线与所成角为
，如图设正方体边长为,则由E 为校的中点，可得，所以
，
则
故选：C 7．答案：A
解析：
,可得：,
()n m n ⊥+ 2()10n m n m n n m n ∴⋅+=⋅+=⋅+=
1,
m n ∴⋅=-
∴n m
1||cos ,||4m n n m m
m ⋅<>=-
1111ABCD A B C D -11B //C AD 1EC AD 11EC B ∠2a 1AA 1A E a =1B E =11111tan B E EC B C B ∠===
cos A = 4π
=
sin A ∴==
sin()C A B =+=
=
1=AB =
1sin 2ABC S AB BC B ∴=
⋅⋅=△
设边上的高为h ,
故选：
A.8．答案：B
,,所以.
由已知D 是AC 的中点,所以,
,.
所以,
,
所以,
故选:B.9．答案：ABD
解析：对于选项A ：由两组数据的平均数可知,
，,故选项A 正确,对于选项B ：,
BC 12ABC S BC h =⋅=△h ∴=
260ABC ∠=︒cos BA BC BA BC ABC ⋅=⋅∠ 1
2222
=⨯⨯=()
12
BD BA BC =+
()
1136BE BD BA BC ==+ 12
BF BC = FE BE BF =- ()
1162BA BC BC =+-
1163
BA BC =- EC BC BE =- ()
16BC BA BC =-+ 1566
BA BC =-+
11156366FE EC BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22175363618BA BA BC BC
=-+⋅-
175424363618=-
⨯+⨯-⨯=432a =⨯+2a ∴=-2a =- 11332
x a x ∴+=-()()
2
2
1132492x x ∴--=-()()()2
2
2
122224n x x x n
-+-+⋯+-= ()()()222121324324324n x x x n ⎡⎤
∴--+--++--⎣
⎦
，
故选项B 正确,
对于选项C:因为随着的增大而增大,所以若为甲组数据的中位数,则为乙组数据的中位数,故选项C 错误,
对于选项D:因为随着的增大而增大,所以甲组数据的极差为,则乙组数据的极差为,故选项D 正确,故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：因为，所以
因为
，所以，所以，即为直角三角形，
B 正确;因为以
，为邻边的平行四边形，，设
，则
，所以顶点D 的坐标为，C 错误;因为，设与垂直
的单位向量为，
则，解得或
故与垂直的单位向量的坐标为或，D 正确;故选：ABD.11．答案：
ACD
解析：对A,P 是平面ABC 内直线BA 外一点
,F 是平面ABC 外一点,
两点连线PF 与AB 是异面直线,故A 正确;
对B,将三棱锥放入长方体中,如图,
()()()222
121192229436n x x x n n n ⎡⎤=
⨯-+-+⋯+-=⨯⨯=⎣
⎦32n x -n x (1)m x m n ≤≤32(1)m x m n -≤≤32n x -n x p q x x -3m x ()()()32323p q p q x x x x ---=-(2,1)AB OB OA =-=- ||AB ==
||OA == |OB ==
222||||||OA AB OB += OA AB ⊥OAB △OA AB OA BD =
(,)D x y (1,2)(3,1)x y =--(4,3)(1,2)OA = OA
(,)m x y =
22
201x y x y +=⎧⎨+=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
OA ⎛ ⎝A BCD -
因为,所以,所以,设长方体的长,宽,高分别为x,y,z,
则,即,解得
显然三棱锥体积等于长方体体积减去长方体角上4个相同的三棱锥的体积,
对D,因为三棱锥外接球即为长方体的外接球,所以外接球半径
,故D正确;
对C,将三棱锥侧面,
展开在一个平面上,连接BD,交AC于M,
如图,
由余弦定理,
,
所以
所以
2
AP PC
=
2
3
AP AC
=
2
3
P
ABD C ABD
V V
--
=
22
22
22
9
9
4
x z
y z
y x
⎧+=
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
22211
x y z
++=x y z
===
C ABD
-
111
4
323
C ABD
V xyz xyz xyz
-
=-⨯⨯==
2
3
P ABD C ABD
V
--
==
A BCD
-
R==2
4π11π
S R
==
ACB
△ACD
△
222994
cos
2233
AC AB BC
CAB
AC AB
+-+-
∠===
⋅⨯⨯
2229491
cos
22323
AC AD DC
CAD
AC AD
+-+-
∠===
⋅⨯⨯
sin CAB
∠==CAD
∠==
711 cos cos()cos cos sin sin
933 BAD CAD BAC CAD BAC CAD BAC
∠=∠+∠=∠∠-∠∠=⨯=-
,
在中,,
所以
的最小值为
故选:ACD
12．答案：2次都中靶
解析：事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”,其对立事件是“2次都中靶”.故答案为：2次都中靶.解析：根据题意，如图：
若，则
变形可得：,解可得：
14．答案：②③④⑤解析：
ADB △2221
2cos 94223()173
BD AD AB AD AB BAD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=BD =PB +BD =()(1)AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD
λλλλ=+=+=+-=-+ 1122
BQ BC CQ BC CD AD AB
=+=+=- AP BQ ⊥
22
113[(1)]=++(10
222AP BQ AB AD AD AB AB AD AB AD λλλλλ-⎛⎫⎫⋅=-+--⋅= ⎪⎪⎝⎭
⎭ 820λ-=λ=
四边形有两组对边分别平行知是一个平行四边形,故①不正确,
当两条棱上的交点是中点时,四边形为菱形,四边形垂直于平面,故②④正确,
四边形在底面内的投影是面，一定是正方形，故③正确；E ，F 分别是两条棱的中点时,四边形
故⑤正确
.
总上可知有②③④⑤正确
,故答案为：②③④⑤
15．答案：（1）高一学生人数为2人，高二学生的人数为3人；，高二学；（2）记抽取的2名高一学生为，，3名高二的学生为，，，则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：，，，，，，
，，，，共10种可能；其中至少有1人在市场体验过程中租
X 型车的有，，，，，，，，
共9种，故所求的概率
1BFD E 1BFD E 1BFD E 11BB D D 1BFD E ABCD ABCD 1BFD 6=29=31a 2a 1b 2b 3b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()12,b b ()13,b b ()23,b b ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()12,b b ()13,b b ()23,b b 910
P =
（2）解析：（1）因为，，所以，．由
，可得，即4(m ＋2)－6＝0，解得
（2）依题意得因为，所以3(2m －2)＋2×9＝0，解得m ＝－2，
则，，所以，
故与夹角的余弦值为
17．答案：（1）；
（2），；（3）375千瓦时
解析：（1）当时，；
当时，；当时，.
所以y 与x 之间的函数解析式为（2）由（1）可知，当时，，即用电量不超过400千瓦时的占，结合频率分布直方图可知：
解得，.
（3）设分位数为m ，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为
(,4)a m =- (2,3)b = (2,1)a b m +=+- 2(4,6)b = (
)2a b b +⊥ ()
20a b b +⋅= m =(21,5a b +=-
b += ()222,9a
c m +=--//(2)
b a
c + (2,4)a =-- 2(2,2)a b += (2)cos ,22a a b a a b a a b ⋅+〈+〉===+
2a b + a 0.5,0200,y 0.860,200400,140,400.x x x x x x ≤≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪->⎩0.0015a =0.0020b =0200x ≤≤0.5y x =200400x <≤(0.52000.82000.80)6y x x =⨯+⨯=-－400x >0.52000.8200 1.0(414)000y x x =⨯+⨯+⨯-=-0.5,0200,y 0.860,200400,
140,400.x x x x x x ≤≤⎧⎪
=-<≤⎨⎪->⎩
260y =400x =80%0.00110021000.0031000.81000.00051000.2b a ⨯+⨯+⨯=⎧⎨
+⨯=⎩0.0015a =0.0020b =75%
用电量不超过400千瓦时的占，所以分位数为m 在内，所以
,
解得千瓦时，
即用电量的分位数为375千瓦时.18．答案：（1）证明见解析；（2）解析：（1），，
，（2）在中，
，
，，
，
，
而，，
19．答案：（1）
解析：（1）正四棱锥中，
，
0.0010.0020().003
10060%
++⨯=80%75%[)300,400()0.63000.0020.75m +-⨯=375m =75%58
B π=
2C B = 3A B ∴=π-()()cos cos 3cos 2cos cos2sin sin2A B B B B B B B
∴=π-=-+=-+()()2232cos 2cos 12sin cos cos 2cos 2cos 1cos B B B B B B B B =--+=-+-33cos 4cos B B =-3cos 3cos 4cos A B B
∴=-ABC △S = 2221sin 42
b c a S bc A +-==1cos 2
bc A =11cos sin 22bc A bc A ∴=tan 1A ∴=45A ∴=︒sin sin b B c C a -= 22sin sin sin B C A ∴-==cos2cos2C B ∴-=3222222
C A B B π
=π--=
-sin2cos2B B ∴--=sin 214B π⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭92,444B πππ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭3242B ππ∴+=
B ∴=8+2=S ABCD -4SA SB S
C S
D ====AB =h =
所以正四棱锥的表面积
（2）在侧棱上存在一点E ，使平面
，理由如下：取中点为Q ，因为，则，过Q 作的平行线交于E ，连接，.
在中有，平面，平面，所以平面，则，平面，平面，所以平面
，而，故面面，又面，则
平面.S ABCD -1
482
S =+⨯=+SC //BE PAC 2=SD 3SP PD =PQ PD =PC SC BQ BE BDQ △//BQ PO PO ⊂PAC BQ ⊄PAC //BQ PAC 2SQ
QP
==//QE PC PC ⊂PAC QE ⊄PAC //QE PAC BQ QE Q = //BEQ PAC BE ⊂BEQ //BE PAC 2=。