第一章 常用逻辑用语

1．(2023·上饶模拟)“x2>2 021”是“x2>2 022”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则綈p为()
A．∀x∉Q，都有x∉N B．∃x∉Q，使得x∈N
C．∀x∈Q，都有x∈N D．∃x∈Q，使得x∈N
3．已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是() A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
4．(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()
A．a≥4 B．a≥5
C．a≤4 D．a≤5
6．(多选)下列命题是真命题的是()
A．所有的素数都是奇数
B．有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0
C．“α＝β”是“sin α＝sin β”成立的充分不必要条件
D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”
7．(多选)若“∃x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是() A．1 B．2 2 C．3 D．3 2
8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的()
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．命题“∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin x <cos x ”的否定是________． 10．使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．
11．已知命题“∃x ∈{x |－2<x <3}，使得等式2x －m ＝0成立”是假命题，则实数m 的取值范围是________．
12．已知α：x <2m －1或x >－m ，β：x <2或x ≥4，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是________．
13．(多选)若“∀x ∈M ，|x |>x ”为真命题，“∃x ∈M ，x >3”为假命题，则集合M 可以是( )
A ．(－∞，－5)
B ．(－3，－1]
C ．(3，＋∞)
D ．[0,3]
14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
15．(2022·九江模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝ka n ＋k ，则“数列{a n }为等差数列”是“k ＝1”的( )
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a >b ”是“A ＋cos A >B ＋cos B ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
§1.2 常用逻辑用语
1．B 2.C 3.B 4.C 5.B 6.CD 7.AB 8.B
9．∃x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π4，sin x ≥cos x 10．x <－1(答案不唯一)
11．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
12.⎝⎛⎭⎫13，＋∞
解析 设A ＝{x |x <2m －1或x >－m }，B ＝{x |x <2或x ≥4}，
若α是β的必要条件，则B ⊆A ，
当2m －1>－m ，即m >13
时， 此时A ＝R ，B ⊆A 成立；
当2m －1≤－m ，即m ≤13
时， 若B ⊆A ，此时⎩⎪⎨⎪⎧
2m －1≥2，－m <4，无解． 综上，m >13
. 13．AB [∵∃x ∈M ，x >3为假命题，
∴∀x ∈M ，x ≤3为真命题，
可得M ⊆(－∞，3]，
又∀x ∈M ，|x |>x 为真命题，
可得M ⊆(－∞，0)，
∴M ⊆(－∞，0)．]
14．乙
解析 四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知罪犯是乙．
15．B [当k ＝1时，a n ＋1＝a n ＋1，则{a n }为等差数列，必要性成立；
若{a n }为等差数列，由a 1＝1，a 2＝2k ，a 3＝2k 2＋k ，
有2k 2＋k ＋1＝4k ，解得k ＝1或12
. 当k ＝12时，a n ＋1＝12a n ＋12
，此时a n ＝1，充分性不成立．] 16．C [在△ABC 中，若a >b ，则根据大边对大角可得A >B .
设f (x )＝x ＋cos x ，x ∈(0，π)，
则f ′(x )＝1－sin x ，x ∈(0，π)时，
sin x∈(0,1]，
∴f′(x)≥0，
∴f(x)在(0，π)上单调递增，
∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cos A>B＋cos B．]。