江苏省宿迁市宿豫中学高考数学二轮复习直线和圆的位置关系专题检测(含解析)

31 直线和圆的位置关系
1．直线(1＋3m )x ＋(3－2m )y ＋8m －12＝0(m ∈R )与圆x 2
＋y 2
－2x －6y ＋1＝0的交点个数为________． 答案 2
解析 将含参直线方程分离变量可得m (3x －2y ＋8)＋x ＋3y －12＝0，
不论m 取何值，直线恒过两直线⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －2y ＋8＝0，
x ＋3y －12＝0的交点A (0,4)，
又易知定点A 在圆内，故直线必与圆恒相交．
2．(2014·浙江改编)已知圆x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值为________． 答案 －4
解析 由圆的方程x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0可得， 圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .
圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为
d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.
由r 2＝d 2
＋(42
)2，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.
3．(2014·北京改编)已知圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________． 答案 6
解析 根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连结OP ，
易知|OP |＝1
2|AB |＝m .
要求m 的最大值，
即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．
因为|OC |＝32＋42
＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.
4．(2014·福建改编)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2
＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是
“△OAB 的面积为1
2”的________条件．
答案 充分不必要
解析 将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2
＋y 2
＝1的圆心到该直线的
距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |
k 2＋1＝
12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为1
2”的充分不必要条件． 5．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2
＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度为________． 答案 2 3
解析 ∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离 d ＝|0＋3×0－2|12＋(3)2
＝1，半径r ＝2， ∴弦长|AB |＝2r 2
－d 2
＝222
－12＝2 3.
6．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2
＋(x －b )2
＝2相切”的________条件． 答案 充分不必要
解析 根据已知得直线与圆相切的充要条件为：|a －b ＋2|2＝2⇒|a －b ＋2|＝2⇔a ＝b 或a
－b ＝－4，故“a ＝b ”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
7．已知圆C 1：x 2
＋y 2
－2mx ＋4y ＋m 2
－5＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
＋2x －2my ＋m 2
－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 答案 －5或2
解析 对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得
圆C 1：(x －m )2
＋(y ＋2)2
＝9，圆C 2：(x ＋1)2
＋(y －m )2
＝4， 则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2. 如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有C 1C 2＝r 1＋r 2， 即(m ＋1)2
＋(m ＋2)2
＝5，
则m 2
＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2， 所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切．
8．已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________．
答案 x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43
解析 ∵圆C 关于y 轴对称，
∴圆C 的圆心在y 轴上，可设C (0，b )，
设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2
＋(y －b )2
＝r 2
.
依题意，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
12＋(－b )2＝r 2
，
|b |＝1
2r ，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
r 2
＝4
3，b ＝±3
3
.
∴圆C 的方程为x 2
＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫y ±
332＝43
. 9．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4截得的弦长为________．
答案 2555
解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.
圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝35
5，
所以弦长为2r 2
－d 2
＝2
22
－(355)2＝2555
.
10．(2014·山东)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________． 答案 (x －2)2
＋(y －1)2
＝4
解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)， 由题意得a ＝2b >0，且a 2
＝(3)2
＋b 2
， 解得a ＝2，b ＝1.
所以，所求圆的标准方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝4.
11．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2
＋(y －2)2
＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；
(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；
(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 解 (1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3.
由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知， 此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.
由题意知|k －2＋1－3k |
k 2＋1＝2，
解得k ＝3
4
.
所以直线方程为y －1＝3
4(x －3)，
即3x －4y －5＝0.
综上所述，过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.
(2)由题意有|a －2＋4|
a 2＋1＝2，
解得a ＝0或a ＝4
3
.
(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|
a 2＋1，
∴(
|a ＋2|
a 2＋1
)2
＋(232)2＝4，
解得a ＝－3
4
.
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2
＋y 2
－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B . (1)求k 的取值范围；
(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →
共线？如果存在求k 的值；如果不存在，请说明理由．
解 方法一 (1)圆的方程可写成(x －6)2
＋y 2
＝4， 所以圆心为Q (6,0)．
过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2， 代入圆的方程得x 2
＋(kx ＋2)2
－12x ＋32＝0， 整理得(1＋k 2
)x 2
＋4(k －3)x ＋36＝0.① 直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于
Δ＝[4(k －3)]2
－4×36(1＋k 2
)＝42
(－8k 2
－6k )>0，
解得－34<k <0，即k 的取值范围为(－3
4，0)．
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →＋OB →
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，
由方程①得，x 1＋x 2＝－4(k －3)
1＋k 2.②
又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③
而P (0,2)，Q (6,0)，PQ →
＝(6，－2)．
所以OA →＋OB →与PQ →
共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34
.
由(1)知k ∈(－3
4，0)，
故不存在符合题意的常数k .
方法二 (1)∵Q (6,0)，直线AB 的方程：y ＝kx ＋2，
∴Q 到AB 的距离d ＝|6k ＋2|
1＋k
2
<2(圆半径r ＝2)， ∴k ∈(－3
4，0)．
(2)∵OA →＋OB →＝2OC →(C 为AB 中点)，∴OC →∥PQ →. 而PQ →
＝(6，－2)，
过Q 与AB 垂直的直线为y ＝－1
k
(x －6)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，y ＝－1
k (x －6)，解得C (6－2k k 2＋1，6k ＋2
k 2＋1
)，
即OC →＝(6－2k k 2＋1，6k ＋2k 2＋1)．
∴6k ＋26－2k ＝－13，k ＝－34∉(－34，0)， 故不存在符合题意的常数k .。