青海2018届中考数学复习第1编第3章函数及其图象第5节二次函数的图象及性质精讲习题

第五节二次函数的图象及性质,青海五年中考命题规律),青海五年中考真题) 二次函数的图象及性质1．(2012西宁中考)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(－1，1)，(2，－1)两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是( B)A．当x＝0时，y的值大于1B．当x＝3时，y的值小于0C．当x＝1时，y的值大于1D．y的最大值小于0二次函数图象和性质的综合应用2．(2017青海中考)如图，抛物线y ＝12x 2－32x －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x轴对称．(1)求点A ，B ，C 的坐标； (2)求直线BD 的解析式；(3)在直线BD 下方的抛物线上是否存在一点P ，使△PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由12x 2－32x －2＝0，得x 2－3x －4＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，当x ＝0时，y ＝－2，∴C(0，－2)；(2)∵D 点与C 点关于x 轴对称，∴D 点坐标为(0，2)．设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2，∴直线BD 的解析式为y ＝－12x ＋2； (3)存在这样的点P.设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m 2－32m －2，过点P 作PE⊥x 轴，与x 轴交于点F ，与BD 交于点E ，如答图．则E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－12m ＋2，∴|PE|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2－32m －2＝－12m ＋2－12m 2＋32m ＋2＝－12m 2＋m ＋4，∴S △PBD ＝S △PDE ＋S △PEB＝12|PE|·|OF|＋12|PE|·|BF|＝12|PE|·(|OF|＋|BF|)＝12|PE|·|OB|＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 2＋m ＋4×4＝－m 2＋2m ＋8＝－(m －1)2＋9.∴当m ＝1时，△PBD 的面积取得最大值9.此时，12m 2－32m －2＝12×12－32×1－2＝－3，∴P 点坐标为(1，－3)．3．(2016青海中考)如图所示(注：与图②完全相同)，二次函数y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求该二次函数的解析式；(2)设该抛物线的顶点为D ，求△ACD 的面积；(请在图①中探索)(3)若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．当P ，Q 运动到t s 时，△APQ 沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形APEQ 的形状，并求出E 点坐标．(请在图②中探索)图①图②解：(1)∵二次函数y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧43×9＋3b ＋c ＝0，43×1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－83，c ＝－4， ∴y ＝43x 2－83x －4；(2)如答图①，过点D 作DM⊥y 轴于点M. ∵y ＝43x 2－83x －4＝43(x －1)2－163，∴点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，－163，点C(0，－4)，则S △ACD ＝S 梯形AOMD －S △CDM －S △AOC ＝12×(1＋3)×163－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫163－4×1－12×3×4＝4；(3)四边形APEQ 为菱形．如答图②，E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF⊥AP 于F ，∴FQ ∥OC ，∴AF AO ＝FQOC ＝AQ AC ，∴AF 3＝FQ 4＝t 5，∴AF ＝35t ，FQ ＝45t ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－35t ，－45t .∵EQ ＝AP ＝t ，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－85t ，－45t .∵E 在二次函数y ＝43x 2－83x －4上，∴－45t ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫3－85t 2－83⎝ ⎛⎭⎪⎫3－85t －4，∴t ＝14564或t ＝0(与A 重合，舍去)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－58，－2916.4．(2015青海中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx －3的图象与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C.该抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的解析式；(2)判断△BCM 的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3的图象与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，9a ＋3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，则抛物线解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)△BCM 为直角三角形．理由如下：对于抛物线解析式y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，即顶点M 坐标为(1，－4)，令x ＝0，得到y ＝－3，即C(0，－3)，根据勾股定理得BC ＝32，BM ＝25，CM ＝2.∵BM 2＝BC 2＋CM 2，∴△BCM 为直角三角形；(3)存在．点P 的坐标为(0，0)或(9，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.5．(2014青海中考)如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为M(－2，－4)，与x 轴交于A ，B 两点，且A(－6，0)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)能否在抛物线第三象限的图象上找一点P ，使△APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)设此函数的解析式为y ＝a(x －h)2＋k.∵函数图象顶点为M(－2，－4)，∴y ＝a(x ＋2)2－4，又∵函数图象经过点A(－6，0)，∴0＝a(－6＋2)2－4，解得a ＝14，∴此函数的解析式为y ＝14(x ＋2)2－4，即y ＝14x 2＋x －3；(2)∵点C 是函数y ＝14x 2＋x －3的图象与y 轴的交点，∴点C 的坐标是(0，－3)．在y ＝14x 2＋x －3中，令y＝0，则14x 2＋x －3＝0，解得x 1＝－6，x 2＝2，∴点B 的坐标是(2，0)，∴S △ABC ＝12|AB|·|OC|＝12×8×3＝12；(3)假设存在这样的点P ，过点P 作PE⊥x 轴于点E ，交AC 于点F.设E(x ，0)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，14x 2＋x －3.设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b.∵直线AC 过点A(－6，0)，C(0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝0，－3＝b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝－3，∴直线AC 的解析式为y ＝－12x －3.∴可设点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－12x －3，则|PF|＝－12x －3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋x －3＝－14x 2－32x ，∴S △APC ＝S △APF＋S △CPF ＝12|PF |·|AE|＋12|PF|·|OE|＝12|PF|·|OA|＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2－32x ×6＝－34x 2－92x ＝－34(x ＋3)2＋274，∴当x＝－3时，S △APC 有最大值274，此时P 点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－3，－154.6．(2013青海中考)如图，已知抛物线经过点A(2，0)，B(3，3)及原点O ，顶点为C. (1)求抛物线的解析式；(2)若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；(3)P 是抛物线上第二象限内的动点，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P 使得以点P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，且过A(－2，0)，B(－3，3)，O(0，0)可得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，9a －3b ＋c ＝3，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x ；(2)①当AO 为边时，∵A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE ＝AO ＝2.∵点E 在抛物线对称轴上，对称轴为直线x ＝1，∴点E 的横坐标为1，∴点D 的横坐标为3或－1，代入y ＝x 2－2x ，得y ＝3.∴D(3，3)或(－1，3)；②当AO 为对角线时，则DE 与AO 互相平分，∵点E 在对称轴上，对称轴为直线x ＝1，由对称性知，符合条件的点D 只有一个，与点C 重合，即D(1，－1)．综上所述，点D 的坐标为(3，3)或(－1，3)或(1，－1)；(3)∵点B(3，3)，C(1，－1)，∴△BOC 为直角三角形，∠COB ＝90°，且OC∶OB ＝1∶3，①若△PMA∽△COB，设PM ＝t ，则AM ＝3t ，∴点P(2－3t ，t)，代入y ＝x 2－2x 得(2－3t)2－2(2－3t)＝t ，解得t 1＝0(舍)，t 2＝79，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，79；②若△PMA∽△BOC，设PM ＝3t ，则AM ＝t ，点P(2－t ，3t)，代入y ＝x 2－2x 得(2－t)2－2(2－t)＝3t ，解得t 1＝0(舍)，t 2＝5，∴P(－3，15)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，79或(－3，15)．,中考考点清单)二次函数的概念及解析式1．定义：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项．2．三种表示方法(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)两点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种解析式之间的关系顶点式――→确定一般式――→分解因式两点式 4．二次函数解析式的确定(1)求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数解析式； ①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 形式； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式；③当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)． (2)步骤：①设二次函数的解析式；②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．二次函数的图象及其性质5．图象性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c为常数，a ≠0)图象对称轴 直线x ＝①__－b2a __直线x ＝－b2a顶点 坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 续表函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c为常数，a ≠0)增减性在对称轴的左侧，即x ＜－b2a时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而增大，简记为左减右增 在对称轴的左侧，即当x ＜－b2a时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而减小，简记为左增右减最值抛物线有最低点，当②__x ＝－b2a__时，y 有最小值，y 最小值＝抛物线有最高点，当x ＝－b2a时，y 有最大值，y 最大值＝③__4ac －b24a4ac－b2__4a6.系数a，b，c与二次函数的图象关系项目字母字母的符号图象的特征aa＞0 开口向上a＜0 ④__开口向下__bb＝0 对称轴为y轴ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧cc＝0 ⑤__经过原点__c＞0 与y轴正半轴相交c＜0 与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac＞0 与x轴有两个不同交点b2－4ac＜0 与x轴没有交点特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0二次函数图象的平移7．平移步骤(1)将抛物线解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．8.平移规律移动平移前的解析式平移后的解析式规律方向二次函数与一元二次方程的关系9．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．10．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．11．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．12．二次函数与一元二次方程及b2－4ac的关系,中考重难点突破) 二次函数的图象与性质【例1】(2017宜宾中考)如图，抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B ，C 两点，且D ，E 分别为顶点，则下列结论：①a ＝23；②AC＝AE ；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x ＞1时，y 1＞y 2.其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】∵抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，∴3＝a(1－4)2－3，解得a ＝23，故①正确；∵E 是抛物线的顶点，∴AE ＝EC ，∴无法得出AC ＝AE ，故②错误；当y ＝3时，3＝12(x ＋1)2＋1，解得：x 1＝1，x 2＝－3，故B(－3，3)，D(－1，1)，则AB ＝4，AD ＝BD ＝22，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴③△ABD 是等腰直角三角形，正确；∵12(x ＋1)2＋1＝23(x －4)2－3时，解得：x 1＝1，x 2＝37，∴当37＞x ＞1时，y 1＞y 2，故④错误，故选B .【答案】B1．(2017襄阳中考)将抛物线y ＝2(x －4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为( A )A ．y ＝2x 2＋1B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝2(x －8)2＋1D ．y ＝2(x －8)2－32．(2017泰安中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4，其中正确的结论有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2017青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是__m ＞9__．二次函数的图象和性质的综合应用【例2】(2017菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B(4，0)，与过A 点的直线相交于另一点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，过点D 作DC⊥x 轴，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在线段OC 上(不与点O ，C 重合)，过P 作PN⊥x 轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求△PCM 面积的最大值；(3)若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为t ，是否存在t ，使以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)把B(4，0)，点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52代入y ＝ax 2＋bx ＋1即可得出抛物线的解析式；(2)先用含t 的代数式表示P ，M 坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM 的面积与t 的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM 面积的最大值；(3)若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN ＝DC ，故可得出关于t 的二元一次方程，解方程即可得到结论．【答案】解：(1)把点B(4，0)，点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，代入y ＝ax 2＋bx ＋1中，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋1＝0，9a ＋3b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝114，∴抛物线的解析式为y ＝－34x 2＋114x ＋1；(2)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b.∵A(0，1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3k ＋b ＝52，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1，∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.设P(m ，0)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m ＋1.∴PM＝12m ＋1.∵CD ⊥x 轴，∴PC ＝3－m ，∴S △PCM ＝12PC·PM＝12×(3－m)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋1，∴S △PCM ＝－14m 2＋14m ＋32＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋2516，∴△PCM 面积的最大值是2516；(3)∵OP＝t ，∴点M ，N 的横坐标为t ，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12t ＋1， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－34t 2＋114t ＋1，∴MN ＝－34t 2＋114t ＋1－12t －1＝－34t 2＋94t ，CD ＝52.如果以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN ＝CD ，即－34t 2＋94t ＝52.∵Δ＝－39，∴方程－34t 2＋94t ＝52无实数根，∴不存在t ，使以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形．4．(2017泸州中考)已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一动点，则△PMF 周长的最小值是( C )A ．3B ．4C ．5D ．65．(河北中考)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t)(x －t ＋4)(常数t ＞0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP⊥x 轴，交双曲线y ＝kx(k ＞0，x ＞0)于点P ，且OA·MP＝12.(1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图象(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标．解：(1)设P(x ，y)，则OM ＝x ，MP ＝y ，由OA 的中点为M 可知OA ＝2x ，代入OA·MP＝12， ∴2x ·y ＝12，即xy ＝6， ∴k ＝xy ＝6；(2)当t ＝1时，令y ＝0，得0＝－12(x －1)(x ＋3)，∴x 1＝1，x 2＝－3，∴B(－3，0)，A(1，0)，∴AB ＝4，∴L 的对称轴为直线x ＝－1，点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴直线MP 与L 对称轴的距离为32； (3)∵A(t，0)，B(t －4，0)，∴L 的对称轴为x ＝t －2.又∵直线MP 的解析式为x ＝t 2，∴当t －2≤t2，即t≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点的坐标；当t －2＞t 2，即t ＞4时，L 与直线MP 的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，－18t 2＋t 就是G 的最高点的坐标．。