上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(解析)

格致中学二〇二四学年度第一学期期中考试
高三年级数学试卷
（测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷）
一、填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知复数2i
i z -=
（i 为虚数单位），则z 的虚部为________.
【答案】2-【解析】
【分析】根据除法运算可得12i z =--，进而可得虚部.【详解】因为复数2i
12i i
z -==--，所以z 的虚部为2-.故答案为：2-.
2. 函数(
)ln f x x =的定义域为______
【答案】(]01，
【解析】【分析】
根据解析式可得不等式组210,
0,x x ì-³í>î解不等式组，即可得答案；
【详解】Q 210,
0,x x ì-³í>î01x Þ<£，
故答案为：(]01，
.3. 若直线1:210l x my ++=与2:31l y x =-垂直，则实数m ＝__．【答案】6【解析】
【分析】根据两直线垂直时，斜率乘积为-1，解方程求得m 的值．【详解】由直线1:210l x my ++=且斜率存在，则直线12:1
l y x m m
=--，由直线1:210l x my ++=与2:31l y x =-垂直，则2
31m
-´=-解得6m =.故答案为：6．
4. 已知集合{}
1A x a x a =££+，{40}B x x =-£<，若A B Í，则实数a 的取值范围是________.【答案】{}|41a a -£<-【解析】
【分析】分析可知A ¹Æ，结合包含关系列式求解即可.
【详解】因为集合{}
1A x a x a =££+，{40}B x x =-£<，显然A ¹Æ，若A B Í，则4
10
a a ³-ìí
+<î，解得41a -£<-，
所以实数a 的取值范围是{}|41a a -£<-.故答案为：{}|41a a -£<-.
5. 等比数列{}n a 满足11a =，23520a a a +=，则1
i
i a
+¥
==å________.
【答案】23
【解析】
【分析】求出q 值，再由无穷递缩等比数列的求和公式计算．
【详解】23520a a a +=，则234
1120a q a q +=，即3420q q +=，即()3
120q q +=，
因为0q ¹，则12
q =-
，∴
11
12
11312i i a a q +¥
==
==-+å．
故答案为：
23
.6. 在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是________.
211368
3022445594111336789502455889
【答案】50【解析】
【分析】分析可知这组数据的第75百分位数是第23位数，结合茎叶图即可得结果.
【详解】因为300.7522.5´=，可知这组数据的第75百分位数是第23位数，结合茎叶图可知第23位数是50，所以这组数据的第75百分位数是50.故答案为：50.
7.
二项式8
2x æ
çè
的展开式的常数项是________．【答案】112【解析】
【分析】写出二项式展开式的通项4883
1
8
2
r r
r r T
C x
--+=，令4
803
r -
=即可得到答案.
【详解】二项式展开式的通项为4888318
8(2)2r r
r
r r r
r T C x C x ---+==，令4803r -=，
得6r =，所以26
382112T C ==.故答案：112.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到求展开式中的特殊项，只需准确写出通项公式即可.8. 已知()()000,01P x y x <<
是曲线1C =上一点，作曲线C 在点P 处的切线l ，l 与x 轴、y
轴分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，则OA OB +=________.【答案】1【解析】
【分析】先将曲线C
1+=
转化为1y x =-，()01x <<，利用导数求出曲线C 在点P 处的
切线斜率，得切线l 的方程及l 在x 轴、y 轴上的截距，化简OA OB +即得结果.【详解】因为()()000,01P x y x <<
在曲线1C +=
1
=
1+=
1=
平方，得1y x =-+，()
01x <
<12121y x ¢
æö=-=ç÷èø
¢
，0
1x x k y ===-
¢∴曲线C 在点P 处的切线l
：()001y y x x æ-=-ççè，令0x =
，(
)000011y y x y y x y æ-=-Þ=-+Þ=ççè
1OB =-为
令0y =
，()001y x x æ-=-
-ççè
，则1-=
，(
01x x -=-
，x =
∴OA =
∴11OA OB +=+-=.
故答案为：1.
9. 如图（1），在长方体ABCD EFGH -中，2AB BC ==，1AE =，O 为上底面EFGH 的中心.现将矩形EFGH 绕点O 在原平面内顺时针旋转π
(0)4
q q <£
角，连接AE 、DE 、AF 、BF 、BG 、CG 、CH 、DH ，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球M 的球面上，则球M 的表
面积是________.
【答案】9π【解析】
【分析】首先确定球心，再求球心到顶点的距离，即可求得外接球的半径，再代入球的表面积公式.
32
=
，所以这个十面体的外接球的半径为32，从而其表面积2
34π9π2S æö=×=ç÷èø
.
故答案为：9π10. 已知())(0,02π)f x x w j w j =
+><<，函数()y f x =的部分图像如图所示，已知点A 、D
为()y f x =的图像与x 轴的交点，其中1
,03
D æöç÷èø
，点B 、C 分别为()y f x =的图像的最高点和最低点，
且212
AB DC AB ×=-uuu r uuu
r uuu
r ，则j =________.
【答案】5π6
【解析】
【分析】结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得w ，再由函数零点即可得j ．【详解】因为1,03
D æöç÷èø
，且0w >，可知f (x )的最小正周期2π
T w
=
，
所以1π1π1π,0,,,33232A B C w w w æöææ--+ç
÷ççèøèè，
所以ππ,,22AB DC w w ææ==ççèèuuu r uuu r ．所以222
2π1π33424AB DC w w æö×=-=-+ç÷èø
uuu r uuu r ，化简得223π3
082w -=．又0w >，所以π
2
=
w ，又因为1
3是f (x )递减区间内的零点，
则
()π12ππ23k k j ´+=+ÎZ ，解得()5π2π6
k k j =+ÎZ ．因为02πj <<，所以5π
6
j =．
故答案为：5π6
.11. 已知k 为常数，若关于x 的不等式2
1
()e e
x k
x k -£
对任意的(0,)x Î+¥都成立，则实数k 的取值范围为______.【答案】1,02éö
-÷êëø
【解析】
【分析】分析可知0k <，整理可得2
211e 0e x
k
x k k æè-ö-£ç÷ø
，换元令0x t k =<，构建
()()2
21
1e ,0e t f t t t k
-
=-<，利用导数求其最值，并结合恒成立问题分析求解.【详解】显然0k ¹，
若0k >，当x 趋近于+¥，2()e x
k y x k =-趋近于+¥，不合题意，
可知0k <，因为21()e e x k
x k -£，可得2
211e 0e x
k x k k æè-ö
-£ç÷ø
，
由0x >，可得
0x k <，令0x t k =<，可得()2
211e 0e t t k
--£，原题意等价于()2211e 0e t
t k --£对任意的(),0t Î-¥都成立，
构建()()2211e ,0e t f t t t k
-=-<，则()()
21e t
t t f ¢-=，
令()0f t ¢>，解得1t <-；令()0f t ¢<，解得10t -<<；可知()f t 在(),1¥--内单调递增，在()1,0-内单调递减，则()()241
10e e f t f k £-=
-£，解得12
k ³-，所以实数k 的取值范围为1,02éö
-
÷êëø
.故答案为：1,02éö
-
÷êëø
.12. 从椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>外一点P (x 0,y 0)向椭圆引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB
称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为
00221x x y y
a b
+=.现有如图所示的两个椭圆1C 、2C ，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为1e 、2e ，2C 在1C 内，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为M l ，若原点O 到直线M l 的距离为定值1，则2
2
12e e -的最大值为______.。