南湖区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

南湖区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列判断正确的是（ ）
A ．①不是棱柱
B ．②是圆台
C ．③是棱锥
D ．④是棱台
2． 设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内
4． 已知函数f （x ）=x 4cosx+mx 2+x （m ∈R ），若导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f ′（x ）在区间[﹣2，2]上的最小值为（ ）
A ．﹣12
B ．﹣10
C ．﹣8
D ．﹣6
5． 如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6． 若，[]0,1b ∈，则不等式22
1a b +≤成立的概率为（ ） A ．
16π B ．12π C ．8π D ．4
π 7． 设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P ∩（∁U Q ）=（ ） A ．{1，2，3，4，6} B ．{1，2，3，4，5} C ．{1，2，5} D ．{1，2}
8． 定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f （7）=6，则f （x ）（ ）
A ．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6
B ．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6
C ．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6
D ．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6
9． 已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（0，1） C ．（﹣1，0）
D ．（﹣∞，﹣1）
10．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（ ）
A ．若α≠
，则tan α≠1 B ．若α=
，则tan α≠1
C ．若tan α≠1，则α≠
D ．若tan α≠1，则α=
11．抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）
A ．y=1
B ．y=
C ．x=1
D ．x=
12．设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）
A ．
B ． C. D ．
二、填空题
13．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测1564 年份 2030 2035 2040 2045 2050 年份代号t 1 2 3 4 5 所占比例y
68
65
62
62
61
的线性回归方程为
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： =， =﹣．
14．在矩形ABCD 中，=（1，﹣3），，则实数k= ．
15．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
①若AC=BD ，则四边形EFGH 是 ； ②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是 ．
16．已知函数()f x 23(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系 是 ．
17．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．
18．椭圆C ： +
=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为 ．
三、解答题
19．椭圆C ：
=1，（a ＞b ＞0）的离心率
，点（2，
）在C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM
的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
20．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]
如图，点C 为圆O 上一点，CP 为圆的切线，CE 为圆的直径，3CP =.
（1）若PE 交圆O 于点F ，16
5
EF =
，求CE 的长； （2）若连接OP 并延长交圆O 于,A B 两点，CD OP ⊥于D ，求CD 的长.
21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．
22．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b足+=，求证：+≥m．
23．已知椭圆
：
的长轴长为，
为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率； （Ⅱ） 设动直线与y 轴相交于点，点
关于直线的对称点
在椭圆
上，求
的最小值．
24．（本小题满分10分） 已知函数()2f x x a x =++-．
（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．
南湖区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：①是底面为梯形的棱柱；
②的两个底面不平行，不是圆台；
③是四棱锥；
④不是由棱锥截来的，
故选：C．
2．【答案】A
【解析】解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．
3．【答案】B
【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．4．【答案】C
【解析】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，
令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，
由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，
从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．
故选C．
【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．
5．【答案】D
【解析】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，
∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，
∴sinθ＜0，
∴θ是第四象限角．
故选：D．
【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．
6．【答案】D
【解析】
考点：几何概型．
7．【答案】D
【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，
∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，
∴P∩（C U Q）={1，2}
故选D．
8．【答案】D
【解析】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6，
∵函数f（x）是偶函数，
∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，
故选：D
9．【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x2+1，有两个零点，不满足条件．
若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax2﹣6x=6ax（x﹣），
若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增，
由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），
若存在唯一的零点x0，且x0＞0，
则f（）＞0，即2a（）3﹣3（）2+1＞0，
（）2＜1，即﹣1＜＜0，
解得a＜﹣1，
故选：D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
10．【答案】C
【解析】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是
“若tan α≠1，则α≠”．
故选：C ．
11．【答案】D
【解析】解：抛物线x=﹣4y 2
即为
y 2=﹣x ，
可得准线方程为x=．
故选：D ．
12．【答案】A 【解析】
试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.
二、填空题
13．【答案】 y=﹣1.7t+68.7
【解析】解： =
， =
=63.6．
=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．
=4+1+0+1+2=10．
∴
=﹣
=﹣1.7.
=63.6+1.7×3=68.7．
∴y 关于t 的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7． 故答案为y=﹣1.7t+68.7．
【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．
14．【答案】4．
【解析】解：如图所示，
在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，
∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），
∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，
解得k=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．
15．【答案】
菱形；
矩形．
【解析】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC=BD
∴EF=FG
∴四边形EFGH是菱形．
②由①知四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：菱形，矩形
【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．
16．【答案】12()()f x f x ] 【
解
析】
考
点：不等式，比较大小．
【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．
17．【答案】
．
【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球
故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，
方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P 1=
，
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P 2
再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，
根据条件概率公式，得：P 2=
=，
故答案为： 【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．
18．【答案】 ．
【解析】解：椭圆C ： +
=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，
可得c=2，2a=
=8，可得a=4，
b 2=a 2﹣
c 2=12，可得b=2， 椭圆的短轴长为：4．
故答案为：4
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）椭圆C ：
=1，（a ＞b ＞0）的离心率
，点（2，）在C 上，可得，
，解得a 2=8，b 2
=4，所求椭圆C 方程为：
．
（2）设直线l ：y=kx+b ，（k ≠0，b ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x M ，y M ），
把直线y=kx+b 代入可得（2k 2+1）x 2+4kbx+2b 2
﹣8=0，
故x M =
=
，y M =kx M +b=
，
于是在OM 的斜率为：K OM =
=
，即K OM k=
．
∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
20．【答案】（1）4CE =；（2）13
CD =. 【解析】
试题分析：（1）由切线的性质可知ECP ∆∽EFC ∆，由相似三角形性质知::EF CE CE EP =,可得4CE =；
（2）由切割线定理可得2(4)CP BP BP =+，求出,BP OP ,再由CD OP OC CP ⋅=⋅,求出CD 的值. 1 试题解析：
（1）因为CP 是圆O 的切线，CE 是圆O 的直径，所以CP CE ⊥，0
90CFE ∠=，所以ECP ∆∽EFC ∆,
设CE x =，EP =，又因为ECP ∆∽EFC ∆，所以::EF CE CE EP =，
所以2
x =
4x =.
考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质. 21．【答案】
【解析】解：（1）证明：取PB 中点Q ，连接MQ 、NQ ， 因为M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，
所以QN ∥BC ∥MD ，且QN=MD ，于是DN ∥MQ ．
⇒DN ∥平面PMB ．
（2）
⇒PD ⊥MB
又因为底面ABCD 是∠A=60°、边长为a 的菱形，且M 为AD 中点， 所以MB ⊥AD ． 又AD ∩PD=D ，
所以MB ⊥平面PAD.
⇒平面PMB ⊥平面PAD ．
（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离．
过点D 作DH ⊥PM 于H ，由（2）平面PMB ⊥平面PAD ，所以DH ⊥平面PMB ．
故DH是点D到平面PMB的距离.．
∴点A到平面PMB的距离为．
【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分）
当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分）
∴m=2．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵（+）[]≥（）2=3，
∴（+）×≥（）2，
∴+≥2．…（7分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
23．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆C：，
所以，，
故，解得，
所以椭圆的方程为．
因为，
所以离心率．
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设点，
则线段的中点的坐标为
，
且直线的斜率
，
由点
关于直线的对称点为
，得直线
，
故直线的斜率为，且过点
，
所以直线的方程为：，
令，得
，则
，
由，得
，
化简，得． 所以
． 当且仅当，即
时等号成立．
所以的最小值为
．
24．【答案】（1）(][),06,-∞+∞；（2）[]1,0-.
【解析】
试题分析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为(][),06,-∞+∞；（2）()3f x x ≤-等价于23x a x x ++-≤-，即11x a x --≤≤-在[]0,1上
恒成立，即10a -≤≤.
试题解析：
（1）当4a =-时，()6f x ≥，即2426x x x ≤⎧
⎨
-+-≥⎩或24426x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或4426x x x ≥⎧
⎨-+-≥⎩，
解得0x ≤或6x ≥，不等式的解集为(]
[),06,-∞+∞；
考
点：不等式选讲．。