山西省晋中市2019-2020学年中考第三次大联考数学试卷含解析

山西省晋中市2019-2020学年中考第三次大联考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列计算正确的是( )
A．2x﹣x＝1 B．x2•x3＝x6
C．(m﹣n)2＝m2﹣n2D．(﹣xy3)2＝x2y6
2．最小的正整数是（）
A．0 B．1 C．﹣1 D．不存在
3．义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为x甲=89分，x乙=89分，S甲2=195，S乙2=1．那么成绩较为整齐的是（）
A．甲班B．乙班C．两班一样D．无法确定
4．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（）
A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃
5．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其忧，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（）
A．1.05×105B．0.105×10﹣4C．1.05×10﹣5D．105×10﹣7
6．对于二次函数,下列说法正确的是（）
A．当x>0，y随x的增大而增大
B．当x=2时，y有最大值－3
C．图像的顶点坐标为（－2，－7）
D．图像与x轴有两个交点
7．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为（）A．180元B．200元C．225元D．259.2元
8．下列四个图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
9．济南市某天的气温：-5~8℃，则当天最高与最低的温差为（）
A．13 B．3 C．-13 D．-3
10．某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“古诗词”大赛，各参赛选手成绩的数据分析如
班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 94 93 94 12 八（2）班
95
95.5
93
8.4
A ．八（2）班的总分高于八（1）班
B ．八（2）班的成绩比八（1）班稳定
C ．两个班的最高分在八（2）班
D ．八（2）班的成绩集中在中上游
11．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E 是△ABC 的内心，过点E 作EF ∥AB 交AC 于点F ，则EF 的长为( )
A ．
5
2
B ．
154 C ．83
D ．
103
12．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．ac ＜0
B ．b ＜0
C ．24b ac -＜0
D ．a b c ++＜0
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13111242-=112393
-=
113
416-=…则第n 个等式为_____．（用含n 的式子表示）
14．二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是x=_______. 15．当x 为_____时，分式
36
21
x x -+的值为1． 16．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处测得小岛C 位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C 的距离为_________海里.（结
17．若式子
有意义，则x的取值范围是_____________．
12x
18．甲、乙两个搬运工搬运某种货物．已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，点A、B在⊙O上，点O是⊙O的圆心，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠A的余角.
（1）图①中，点C在⊙O上；
（2）图②中，点C在⊙O内；
20．（6分）某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍．求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？
21．（6分）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．
22．（8分）如图，已知A （﹣4，n ），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数m
y x
= 的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； （3）求方程0x x
k b m
+-
p 的解集（请直接写出答案）．
23．（8分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书． （1）第一次购书的进价是多少元？
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？
24．（10分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：232212+=+（）
，善于思考的小明进行了以下探索： 设()2
a b 2m n 2
+=+（其中a b m n 、、、均为整数）
，则有22a b 2m 2n 2mn 2+=++．
∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a b 2+的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 当a b m n 、、、均为正整数时，若()2
a b 3m n 3
+=+，
用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝ ，b ＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空： ＋ ＝( ＋ 3)2；
（3）若()2
433
a m n +=＋，且a
b m n 、、、均为正整数，求a 的值．
25．（10分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，点P 为DC 上一点，且AP ＝AB ，过点C 作CE ⊥BP 交直线BP 于E. (1) 若
，求证：
；
(2) 若AB＝BC．
①如图2，当点P与E重合时，求的值；
②如图3，设∠DAP的平分线AF交直线BP于F，当CE＝1，时，直接写出线段AF的长.
26．（12分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB 的距离（结果保留根号）．
27．（12分）如图，已知△ABC．
（1）请用直尺和圆规作出∠A的平分线AD（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB=AC，∠B=70°，求∠BAD的度数．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
根据合并同类项的法则，积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、2x-x=x，错误；
B、x2•x3=x5，错误；
C、(m-n)2=m2-2mn+n2，错误；
D、(-xy3)2=x2y6，正确；
故选D．
【点睛】
考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果．
2．B
【解析】
【分析】
根据最小的正整数是1解答即可．
【详解】
最小的正整数是1．
故选B．
【点睛】
本题考查了有理数的认识，关键是根据最小的正整数是1解答．
3．B
【解析】
【分析】
根据方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，故可由两人的方差得到结论．
【详解】
∵S甲2>S乙2，
∴成绩较为稳定的是乙班。

故选：B.
【点睛】
本题考查了方差，解题的关键是掌握方差的概念进行解答.
4．B
【解析】
考点：负数的意义 5．C 【解析】
试题分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×
10﹣
n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．所以0.0000105=1.05×10﹣5，故选C ． 考点：科学记数法． 6．B 【解析】 【详解】 二次函数2211
4(2)344
y x x x =-
+-=---, 所以二次函数的开口向下，当x ＜2，y 随x 的增大而增大，选项A 错误； 当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B 正确； 顶点坐标为（2，-3），选项C 错误；
顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x 轴没有交点，选项D 错误， 故答案选B.
考点：二次函数的性质. 7．A 【解析】 【分析】
设这种商品每件进价为x 元，根据题中的等量关系列方程求解. 【详解】
设这种商品每件进价为x 元，则根据题意可列方程270×0.8－x ＝0.2x ，解得x ＝180.故选A. 【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程. 8．D 【解析】
试题分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 解：A 、不是中心对称图形，故本选项错误； B 、不是中心对称图形，故本选项错误； C 、不是中心对称图形，故本选项错误；
考点：中心对称图形．
9．A
【解析】
由题意可知，当天最高温与最低温的温差为8-（-5）=13℃，故选A.
10．C
【解析】
【分析】
直接利用表格中数据，结合方差的定义以及算术平均数、中位数、众数得出答案．
【详解】
A选项：八（2）班的平均分高于八（1）班且人数相同，所以八（2）班的总分高于八（1）班，正确；
B选项：八（2）班的方差比八（1）班小，所以八（2）班的成绩比八（1）班稳定，正确；
C选项：两个班的最高分无法判断出现在哪个班，错误；
D选项：八（2）班的中位数高于八（1）班，所以八（2）班的成绩集中在中上游，正确；
故选C．
【点睛】
考查了方差的定义以及算术平均数、中位数、众数，利用表格获取正确的信息是解题关键．
11．A
【解析】
【分析】
过E作EG∥AB，交AC于G，易得CG=EG，EF=AF，依据△ABC∽△GEF，即可得到EG：EF：GF，根据斜边的长列方程即可得到结论．
【详解】
过E作EG∥BC，交AC于G，则∠BCE=∠CEG．
∵CE平分∠BCA，∴∠BCE=∠ACE，∴∠ACE=∠CEG，∴CG=EG，同理可得：EF=AF．
∵BC∥GE，AB∥EF，∴∠BCA=∠EGF，∠BAC=∠EFG，∴△ABC∽△GEF．
∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=BC：BC：AC=4：3：5，设EG=4k=AG，则EF=3k=CF，FG=5k．
∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=5
6
，∴EF=3k=
5
2
．
故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构相似三角形以及构造等腰三角形． 12．B 【解析】 【分析】
根据抛物线的开口方向确定a ，根据抛物线与y 轴的交点确定c ，根据对称轴确定b ，根据抛物线与x 轴的交点确定b 2-4ac ，根据x=1时，y ＞0，确定a+b+c 的符号． 【详解】
解：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，
∵抛物线交于y 轴的正半轴， ∴c ＞0，
∴ac ＞0，A 错误； ∵-
2b
a
＞0，a ＞0， ∴b ＜0，∴B 正确；
∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2-4ac ＞0，C 错误； 当x=1时，y ＞0， ∴a+b+c ＞0，D 错误； 故选B ． 【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 132111(1)n n -++1
n
n +
【分析】
探究规律后，写出第n 个等式即可求解． 【详解】
12
=
3=
4
=
…
则第n =
= 【点睛】
本题主要考查二次根式的应用，找到规律是解题的关键. 14．1 【解析】 【分析】
利用公式法可求二次函数y=x 2-2x+1的对称轴．也可用配方法． 【详解】 ∵-
2b a =-22
-=1，
∴x=1． 故答案为：1 【点睛】
本题考查二次函数基本性质中的对称轴公式；也可用配方法解决． 15．2 【解析】 【分析】
分式的值是1的条件是，分子为1，分母不为1． 【详解】 ∵3x-6=1，
当x=2时，2x+1≠1．
∴当x=2时，分式的值是1．
故答案为2．
【点睛】
本题考查的知识点是分式为1的条件，解题关键是注意的是分母不能是1.
16．52
【解析】
【分析】
如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．
【详解】
如图，作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，∵AB=10海里，∠BAH=30°，
∴∠ABH=60°，BH=1
2
AB=5（海里），
在Rt△BCH中，∵∠CBH=∠C=45°，BH=5（海里），
∴BH=CH=5海里，
∴2．
故答案为2
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
17．x<1 2
【解析】
由题意得：1﹣2x＞0，解得：
1
2
x<，
故答案为
1
2
x<．
18．5000
x
＝
8000
600
+
x
【解析】
【分析】
设甲每小时搬运x千克，则乙每小时搬运（x+600）千克，根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg 所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．
【详解】
解：设甲每小时搬运x千克，则乙每小时搬运（x+600）千克，
由题意得：5000
x
＝
8000
600
+
x
．
故答案是：5000
x
＝
8000
600
+
x
．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找到等量关系是关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．图形见解析
【解析】试题分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为直角画图即可；（2）延长AC 交⊙O于点E ，利用（1）的方法画图即可.
试题解析：
如图①∠DBC就是所求的角；
如图②∠FBE就是所求的角
20．（1）A种品牌套装每套进价为1元，B种品牌套装每套进价为7.5元；（2）最少购进A品牌工具套装2套．
【解析】
试题分析：（1）利用两种套装的套数作为等量关系列方程求解.(2)利用总获利大于等于120,解不等式.
试题解析：
（1）解：设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元．
根据题意得：
200
2.5
x+
=2×
75
x
，
解得：x=7.5，
经检验，x=7.5为分式方程的解，
∴x+2.5=1．
答：A 种品牌套装每套进价为1元，B 种品牌套装每套进价为7.5元．
（2）解：设购进A 品牌工具套装a 套，则购进B 品牌工具套装（2a+4）套，
根据题意得：（13﹣1）a+（9.5﹣7.5）（2a+4）＞120，
解得：a ＞16，
∵a 为正整数，
∴a 取最小值2．
答：最少购进A 品牌工具套装2套．
点睛：分式方程应用题：一设，一般题里有两个有关联的未知量，先设出一个未知量，并找出两个未知量的联系；二列，找等量关系，列方程，这个时候应该注意的是和差分倍关系：三解，正确解分式方程；四验，应用题要双检验；五答，应用题要写答.
21．证明过程见解析
【解析】
【分析】
由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，可求得∠DCE=∠ACB ，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC ，再结合条件可证明△ABC ≌△DEC ．
【详解】
∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠5+∠4=∠4+∠3，
∴∠5=∠3，且∠B+∠CEA=180°，
又∠7+∠CEA=180°，
∴∠B=∠7，
在△ABC 和△DEC 中537BC CE B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
,
∴△ABC ≌△DEC （ASA ）．
22．（1）y=﹣
8x
，y=﹣x ﹣2（2）3（3）﹣4＜x ＜0或x ＞2 【解析】
试题分析：（1）将B 坐标代入反比例解析式中求出m 的值，即可确定出反比例解析式；将A 坐标代入反比例解析式求出n 的值，确定出A 的坐标，将A 与B 坐标代入一次函数解析式中求出k 与b 的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）对于直线AB ，令y=0求出x 的值，即可确定出C 坐标，三角形AOB 面积=三角形AOC 面积+三角形BOC 面积，求出即可；
（3）由两函数交点A 与B 的横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．
试题解析：（1）∵B （2，﹣4）在y=
m x 上， ∴m=﹣1．
∴反比例函数的解析式为y=﹣
8x ． ∵点A （﹣4，n ）在y=﹣
8x
上， ∴n=2．
∴A （﹣4，2）．
∵y=kx+b 经过A （﹣4，2），B （2，﹣4）， ∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
， 解之得12
k b =-⎧⎨=-⎩． ∴一次函数的解析式为y=﹣x ﹣2．
（2）∵C 是直线AB 与x 轴的交点，
∴当y=0时，x=﹣2．
∴点C （﹣2，0）．
∴OC=2．
∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =
12×2×2+12×2×4=3． （3）不等式0m kx b x
+-
<的解集为：﹣4＜x ＜0或x ＞2． 23．赚了520元
【解析】
【分析】
（1）设第一次购书的单价为x 元，根据第一次用1200元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书的数量比第一次多10本，列出方程，求出x 的值即可得出答案；
（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价﹣当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案．
【详解】
（1）设第一次购书的单价为x 元，
根据题意得：1200x +10＝15000(120)0
x +， 解得：x ＝5，
经检验，x ＝5是原方程的解，
答：第一次购书的进价是5元；
（2）第一次购书为1200÷5＝240（本），
第二次购书为240+10＝250（本），
第一次赚钱为240×（7﹣5）＝480（元），
第二次赚钱为200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元），
所以两次共赚钱480+40＝520（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了520元．
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
24．（1）22m 3n +，2mn ；（2）2，2，1，1（答案不唯一）；（3）a ＝7或a ＝1．
【解析】
【分析】
【详解】
(1)∵23(3)a b m n +=+，
∴223323a b m n mn +=++，
∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．
故答案为m 2＋3n 2，2mn ．
(2)设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝1，b ＝2mn ＝2．
故答案为1，2，1，2(答案不唯一)．
(3)由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．
∵2＝2mn ，且m 、n 为正整数，
∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，
∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝1．
25．（1）证明见解析；（2）①；②3.
【解析】
【分析】
(1) 过点A 作AF ⊥BP 于F,根据等腰三角形的性质得到BF=BP ，易证Rt △ABF ∽Rt △BCE ，根据相似三
角形的性质得到，即可证明BP=CE.
(2) ①延长BP、AD交于点F，过点A作AG⊥BP于G,证明△ABG≌△BCP，根据全等三角形的性质得BG＝CP，设BG＝1，则PG＝PC＝1，BC＝AB＝，在Rt△ABF中，由射影定理知，AB2＝BG·BF＝5，即可求出BF＝5，PF＝5－1－1＝3，即可求出的值；
②延长BF、AD交于点G，过点A作AH⊥BE于H，证明△ABH≌△BCE，根据全等三角形的性质得BG＝CP，设BH＝BP＝CE＝1，又，得到PG＝，BG＝，根据射影定理得到AB2＝BH·BG ，
即可求出AB＝，根据勾股定理得到
，根据等腰直角三角形的性质得到.
【详解】
解：(1) 过点A作AF⊥BP于F
∵AB=AP
∴BF=BP，
∵Rt△ABF∽Rt△BCE
∴
∴BP=CE.
(2) ①延长BP、AD交于点F，过点A作AG⊥BP于G
∵AB＝BC
∴△ABG≌△BCP（AAS）
∴BG＝CP
设BG＝1，则PG＝PC＝1
∴BC＝AB＝
在Rt△ABF中，由射影定理知，AB2＝BG·BF＝5
∴BF＝5，PF＝5－1－1＝3
∴
②延长BF、AD交于点G，过点A作AH⊥BE于H ∵AB＝BC
∴△ABH≌△BCE（AAS）
设BH＝BP＝CE＝1
∵
∴PG＝，BG＝
∵AB2＝BH·BG
∴AB＝
∴
∵AF平分∠PAD，AH平分∠BAP
∴∠FAH＝∠BAD＝45°
∴△AFH为等腰直角三角形
∴
【点睛】
考查等腰三角形的性质，勾股定理，射影定理，平行线分线段成比例定理等，解题的关键是作出辅助线.难度较大.
26．1003米.
【解析】
【分析】如图，作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值进行求解即可得.
【详解】如图，过P点作PC⊥AB于C，
由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，
在Rt△PAC中，tan∠PAC=PC
AC
，∴AC=
3
PC，
在Rt△PBC中，tan∠PBC=PC
BC
，∴BC=3PC，
∵AB=AC+BC=3
PC+3PC=10×40=400，
∴PC=1003，
答：建筑物P到赛道AB的距离为1003米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值进行解答是关键.
27．（1）见解析；（2）20°；
【解析】
【分析】
（1）尺规作一个角的平分线是基本尺规作图，根据作图步骤即可画图；
（2）运用等腰三角形的性质再根据角平分线的定义计算出∠BAD的度数即可.
【详解】
（1）如图，AD为所求；
（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．
【点睛】
考查角平分线的作法以及等腰三角形的性质，掌握角平分线的作法是解题的关键.。