2021年高考数学模拟试题十九含解析

2021年高考数学模拟测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2
=|20M x x -<，{}2,1,0,1,2N =--，则M
N =（ ）
A. ∅
B. {}1
C. {}0,1
D. {}1,0,1-
【答案】B 【解析】 【分析】
化简集合M ，按交集定义，即可求解.
【详解】由220x x -<，得()0,2x ∈，所以{}1M N ⋂=， 故选：B ．
【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.
2.已知复数z 满足z (1+2i )=i ，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】解：由(12)z i i +=，得(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i -=
==+++-，所以21
55
z i =- ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为21,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，在第四象限．
故选：D ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 3.已知向量(),2a m =-，()2,1b =，则“m ＜1”是“a ，b 夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】
由题意结合平面向量数量积的知识可得若a ，b 夹角为钝角，则1m <且4m ≠-，再由{
1m m <且
}4m ≠- {}1m m <结合充分条件、必要条件的概念即可得解.
【详解】若a ，b 夹角为钝角，则cos ,0a b <且cos ,1a b ≠-，
由2cos ,a b a b a
b m ⋅==
可得01
<≠-，解得1m <且4m ≠-，
由{
1m m <且}4m ≠- {}
1m m <可得“m ＜1”是“a ，b 夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】本题考查了利用平面向量数量积解决向量夹角问题，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.
4.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ） A. 90 B. 120 C. 210 D. 216
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解. 【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人， 所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：33
63120C A =种站法；
第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：222
36290C C A =种站法；
所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是12090210+=. 故选：
C
【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
5.已知定义在R 上
函数()2x
f x x =⋅，3(lo
g a f =，31(log )2
b f =-，(ln 3)
c f =，则a ，b ，c 的
大小关系为（ ）
A. c b a >>
B. b c a >>
C. a b c >>
D. c a b >>
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 5,log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小.
【详解】当0x >时，'()22()2ln 220x
x x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函
数.因为
()2
2()x
x f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有
33311
(log )(log )(log 2)22
b f f f =-=-=，因为33log 5lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，
是增函数，所以c a b >>，故本题选D.
【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 6.对n 个不同的实数a 1，a 2，…，a n 可得n ！个不同的排列，每个排列为一行写成一个n ！行的数阵.对第i 行a i 1，a i 2，…，a in ，记b i =－a i 1+2a i 2－3a i 3+…+(－1)n
na in ，i =1，2，3…，n ！.例如用1，2，3可得数阵如图，对于此数阵中每一列各数之和都是12，所以b l +b 2+…b 6=－12+2×12－3×12=－24.那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b 1+b 2+…b 120等于（ ）
A. －3600
B. －1800
C. －1080
D. －720
【答案】C 【解析】 【分析】
根据用1，2，3，4，5形成的数阵和每个排列为一行写成一个n ！行的数阵，得到数阵中行数，然后求得每一列各数字之和，再代入公式求解.
【详解】由题意可知：数阵中行数为：5!120=， 在用1，2，3，4，5形成的数阵中，
每一列各数字之和都是：()5!512345360÷⨯++++=，
()()12120...3601234536031080b b b +++=⨯-+-+-=⨯-=-.
故选：C
【点睛】本题主要考查数列的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
7.已知ABC ∆中，60A =︒，6AB =，4AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，且满足OA OB OC ==.设AO AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A. 2 B. 1
C.
1118
D.
711
【答案】C 【解析】 【
分析】
由由OA OB OC ==，得：点O 是ABC ∆的外心，由向量的投影的概念可得：·18
·8AO AB AO AC ⎧=⎨=⎩，再代入运
算623
342λμλμ+=⎧⎨
+=⎩
，即可
【详解】解：由OA OB OC ==，得：点O 是ABC ∆的外心， 又外心是中垂线的交点，则有：·18·
8AO AB AO AC ⎧=⎨
=⎩，
即()?18()?8AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+=⎨+=⎩
，
又6AB =，4AC =，12AB AC =，
所以623342λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得：49
16λμ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
即4111
9618
λμ+=
+=， 故选：C ．
【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.
8.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =BC =BB 1=1，M 是AC 的中点，则三棱锥B 1－ABM 的外接球的表面积为（ ） A.
32
π B. 2π C. 54
π
D. 98
π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意找到三棱锥B 1－ABM 的外接球球心为1AB 中点,即可求出其半径,则可求出其表面积. 【详解】如图所示：
取1AB 中点为O ，AB 中点为D .并连接DM , 则OD ⊥平面ABM ,DA DB DM == 所以1OA OB OM OB ===
所以三棱锥B 1－ABM 的外接球球心为1AB 中点O . 所以12
22
AB R =
=
, 所以三棱锥B 1－ABM 的外接球的表面积为242S R ππ==. 故选:B
【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积,属于基础题.解本题的关键在于画出三棱柱，找到三棱锥的外接球球心.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
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A. 月跑步里程最小值出现在2月
B. 月跑步里程逐月增加
C. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小 【答案】ACD 【解析】 【分析】
根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解 【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A 正确； 月跑步平均里程不是逐月增加的，故B 不正确；
月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C 正确；
1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：ACD
【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理能力，属于基础题
10.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ）
A. 函数图像关于4
x π
=
对称
B. 函数在,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 C. 若12()()4f x f x +=，则122()2
x x k k Z π
π+=+∈
D. 函数f (x )的最小值为－2
【答案】BCD 【解析】 【分析】
去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．
【详解】解：由题意可得：
32cos (2,
2)2cos sin cos 44
()sin cos sin cos 2sin sin cos 52sin [2,2]
44x
x k k x x x f x x x x x x x x x
x k k ππ
ππππ
ππ⎧
∈-
+⎪<⎧⎪
=++-==⎨⎨
⎩⎪∈++⎪⎩
，
函数图象如下所示
故对称轴为4
x k π
π=+，()k Z ∈，故A 正确；
显然函数在,04π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减，故B 错误；
当524
x k π
π=
+，()k Z ∈时函数取得最小值()min 2f x =-D 错误； 要使12()()4f x f x +=，则12()()2f x f x ==，则1
12πx k 或1122
x k π
π=
+，222x k π=或
2222
x k π
π=
+，()12,k k Z ∈
所以2122
x x k π
π+=+或21x x k π+=， ()k Z ∈，故C 错误．
故选：BCD ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应用，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域，属于中档题．
11.已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的
是（ ）
A. 直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32,32⎣⎦
B. 点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. 点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 己知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【解析】 【分析】
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、
1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B
选项的正误；利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知
AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误.
【详解】对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，
AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =， 22
32cos ,228
8AB AM AB AM AB AM
a a ⋅⎡<>=
=
=
⎢⋅⨯++⎣⎦， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦
，A 选项正确；
对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD CC ∴⊥，
四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，
1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，
1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，
易知1A BD 是边长为22(1
2
3
2223A BD S ==△22362=.
设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，
易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ，
正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()
2
3
6233⨯⨯
=，
则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，
AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得1b =，()1,0,2E ∴，
所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，()1,1,0EF =， 而()2,2,0DB =，1
2
EF DB ∴=
，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()
222
2212205BF =-+-+-=，
DE BF ∴=，
所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；
对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：
若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，
11//CC DD ，22
22222
MC AC DN AD ∴
===+， 11
222
MC CC =≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.
12.函数f (x )=e x
+asinx ，x ∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（ ） A. 当a =1时，f (x )在(0，f (0))处的切线方程为2x －y +1=0 B. 当a =1时，f (x )存在唯一极小值点x 0且－1＜f (x 0)＜0 C. 对任意a ＞0，f (x )在(－π，+∞)上均存在零点 D. 存在a ＜0，f (x )在(－π，+∞)上有且只有一个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】
逐一验证选项，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线y ＝a 的交点问题． 【详解】选项A ，当1a =时，()sin x
f x e x =+，(),x π∈-+∞，
所以()01f =，故切点为()0,1，()cos x
f x e x '=+，
所以切线斜率()02k
f ='=，
故直线方程为：()120y x -=-，即切线方程为：21y x =+， 选项A 正确. 选项B ，当1a =时，()sin x
f x e x =+，(),x π∈-+∞，()cos x
f x e x '=+
()sin 0x f x e x ''=->恒成立，所以()f x '单调递增，
又202f π⎛⎫'-=> ⎪
⎝⎭
,34
34
331cos 44
2f e e ππ
ππ-⎛⎫⎛⎫'-=+-
= ⎪ ⎪⎝⎭
-⎝⎭
233422e e e ππ⎛⎫=> ⎪⎝>⎭,
所以34e π>
34
12e π<，所以304f π⎛⎫
'-< ⎪⎝⎭
所以存在03,4
2x ππ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，即00cos 0x e x += 则在()0，x π-上，()0f x '<，在()0x +∞，
上，()0f x '>， 所以在()0，x π-上，()f x 单调递减，在()0x +∞，
上，()f x 单调递增. 所以()f x 存在唯一的极小值点0x .
(
)000000sin sin cos 4x f x e x x x x π⎛
⎫=+=-=- ⎪⎝⎭
03,4
2x ππ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭,则03,44x πππ⎛⎫
-∈--
⎪
⎝⎭
()01,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以B 正确. 对于选项C 、D ，()sin x
f x e a x =+，(),x π∈-+∞ 令()0f x =，即 sin 0x e a x +=，所以1sin x x
a e -
=, 则令()sin x x F x e
=,(),x π∈-+∞ (
)cos sin 4x x
x x x F x e e π⎛
⎫- ⎪-⎝⎭'==,令()0F x '=,得,1,4
x k k k Z π
π=+≥-∈
由函数4y x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭的图像性质可知:
52,2+
4
4x k k π
πππ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭
04x π⎛
⎫-> ⎪⎝⎭，()F x 单调递减. 52,2++244x k k πππππ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭
04x π⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭，()F x 单调递增.
所以52,,14x k k Z k π
π=+
∈≥-时，()F x 取得极小值， 即当35,,44
x ππ=-时()F x 取得极小值， 又
3544
35sin sin 44e e ππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<,即3544
F F ππ
⎛⎫⎛⎫
-
<< ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
又因为在3,4ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上()F x 单调递减，所以(
)3434
2F x F e π
π⎛⎫
≥-=- ⎪⎝⎭
所以2,,04x k k Z k π
π=+∈≥时，()F x 取得极小值，
即当9,,
44
x ππ
=
时()F x 取得极大值，
又
9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即944
F F ππ
⎛⎫⎛⎫
>>
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以(
)4
42F x F e π⎛⎫≤=
⎪⎝⎭
当(),x π∈-+∞
时，(
)34
4
2e F x e π≤≤
所以当34
12e a π-<-
，即
34
a e π>时，f (x )在(－π，+∞)上无零点，所以C 不正确.
当4
12a
e π
-
=，即4a e π
=时，1=-y a 与()sin x x
F x e =的图象只有一个交点
即存在a ＜0，f (x )在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故D 正确. 故选：ABD ．
【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.6
2
1(2)x x -
的展开式中的常数项为____________________.(用数字作答) 【答案】240 【解析】 【分析】
在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 【详解】解：6
21(2)x x
-
展开式的通项公式为663162(1)r r r r r T C x --+=-， 令630r -=，求得2r ，可得展开式中的常数项为2462240C =，
故答案为：240．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．
14.一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________. 【答案】
15128
【解析】 【分析】
先定义事件A ，A ，B ，B ，从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件
(),,AAA B B AABA ABAA +，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。

【详解】设“甲摸到绿球”的事件为A ，则1()4
P A =， “甲摸到红球”的事件为A ，则3()4P A =
， 设“乙摸到绿球”的事件为B ，则1()4
P B =
， “乙摸到红球”的事件为B ，则3()4
P B =
， 在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是(),,AAA B B AABA ABAA +，
所以113133114444444P =
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+3311154444128⨯⨯⨯=. 故答案为：
15
128
【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是准确定义相关事件。

15.己知a ，b 为正实数，直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，则11
a b
+的最小值是_______________. 【答案】4 【解析】 【分析】
由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得01x b =-、00y =，进而可得1b a +=，再利用
()1111a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，结合基本不等式即可得解. 【详解】对()ln y x b =+求导得1
y x b
'
=
+， 因为直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)， 所以
01
1x b
=+即01x b =-， 所以()()00ln ln 10y x b b b =+=-+=，所以切点为()1,0b -， 由切点()1,0b -在切线y =x －a 上可得10b a --=即1b a +=，
所以
(
)1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭， 当且仅当1
2
b a ==
时，等号成立. 所以
11
a b
+的最小值是4. 故答案为：4.
【点睛】本题考查了导数的运算、导数几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.
16.已知双曲线2
2
18
y x -=，F 1，F 2是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆M 是△F 1PF 2
的内切圆.则M 的横坐标为_________，若F 1到圆M
上点的最大距离为则△F 1PF 2的面积为___________. 【答案】
(1). 1 (2). 【解析】
【分析】
利用双曲线的定义以及内切圆的性质，求得M 的横坐标.由F 1到圆M 上点的最大距离，求得圆M 的半径，求得直线1PF 的方程，由此求得P 点的坐标，从而求得12,PF PF ，进而求得△F 1PF 2的面积.
【详解】双曲线的方程为22
18
y x -=
，则1,3a b c ====.
设圆M 分别与1212,,PF PF F F 相切于,,B C A ，
根据双曲线的定义可知122PF PF -=，根据内切圆的性质可知
()121212122PF PF PB F B PC F C F B F C F A F A -=+-+=-=-=①，
而12126F A F A F F +==②. 由①②得：124,2F A F A ==，所以1
,0A , 所以直线MA 的方程为1x =，即M 的横坐标为1.
设M 的坐标为()()1,0M r r >，则1F 到圆M
上点的最大距离为1MF r +=
r =
3
r =
. 设直线1PF 的方程为()()30y k x k =+>，即30kx y k -+=.
M 到直线1PF
3
=
，解得k =所以线1PF
的方程为)3y x =+.
由)22
318y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩
且P
在第一象限，解得(P . 所以
116PF =
=，21214PF PF a =-=.
所以△F 1PF 2的面积为
()121212PF PF F
F r ⨯++⋅()1
1614623
=⨯++
⨯=故答案为：1；
【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查圆的几何性质、直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.。