3.2空间向量的坐标运算

如果向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何 关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐 标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交 基，进而确定各向量的坐标。
首先要选定单位正交基，进而确定各向量 的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。
作业:课本 P
107
第 7、8、9 题
类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论?
平面向量的基本定理: 如果 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,那么对于这 一平面内的任一向量 a , 存在唯一的一对实数 t1 , t2 使
a t1 e1 t2 e2 .
a
e2
e1
O
M
e2
a
N
C
e1
对向量 a 进行分解, OC OM ON t1 e1 t2 e2
即 OA ( x, y, z) A( x, y, z)
也就是说,以O为起点的有向 线段 (向量)的坐标可以和点的坐 标建立起一一对应的关系,从而互 相转化.
x
k i O j
A(x,y,z) y
空间向量运算的坐标规律:
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
3 B(1 , 1 , 0) , E1 1 , , 1 , 4
练习1:已知 a (2,3,5), b (3,1 ,4),
求
解:
a b , a b ,8a, a b
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
1.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 x2 y1 y2 z1 z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2
2.空间向量数量积的坐标表示：
设空间两个非零向量 a ( x1，y1，z1 )，b ( x2，y2，z2 )，
则a b x1x2 y1 y2 z1z2
3.长度的计算 已知 a ( x, y, z ) ,则 a
x2 y2 z2
4.空间两点间的距离公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、B( x2 , y2 , z2 ) ，则
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
3.2 空间向量的坐标
提 问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示. 那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?
一、空间直角坐标系
下图是一个房间的示意图,我们 来探讨表示电灯位置的方法.
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5
O 1
y
x
从空间某一个定点０ 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐 标系０－xyz．
z
o
y
x 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
说明: ☆我们一般建立的坐标系
设 a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) , 则
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a ( a1 , a2 , a3 )( R)
a // b
a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R)
B
O
3 ∴点 M的坐标是 2 , , 3 . 2
1 1 3 OM (OA OB ) (3 , 3 ,1) 1, 0 , 5 2 , , 3 , 2 2 2
AB (1 3)2 (0 3)2 (5 1) 2 29 .
类似地,有空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、 b 、c 不共面,那么对于空间任一向 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组
x, y, z
使
p xa yb zc .
证明思路：先证存在性
b E
p
O C B
A
对向量 p 进行分解,
作 AB // b, BD // a, BC // c
思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0 时， 的夹角在什么范围内？
例题：
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ，求： 线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
A
M
D
c p OB BA OC OD OE
xa yb zc
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
a
间的一个基底.如： a , b, c


单位正交基底： 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂 直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交 基底，常用 {i , j, k } 来表示.
对空间任一向量 数组
a
,由空间
z
a
向量基本定理，存在唯一的有序实
A(a1 , a2 , a3 )
k i
Oj
(a1 , a2 , a3 ),使 a a1 i a2 j a3 k.
有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) 就 叫做 a 在这一空间直角坐标系 x 下的坐标. 记为 a (a , a , a ) . 1 2 3
注意：（1）当 cos a , b 1时， a 与 b 同向；
（2）当 cos a , b 1时， a 与 b 反向； （3）当cos a , b 0 时， a b 。
6.空间两非零向量垂直的条件
a b a b 0 x1 x2 y1 y2 z1z2 0
Ｐ （５,４,６）
６
o 沿与y轴平行的方向 ５ Ｐ1 Ｐ Ｐ１ 向右移动４个单位
2
４
y
Ｐ2
Ｐ
2
x 沿与z轴平行的方向 向上移动６个单位 Ｐ
例２．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为
AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标 原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．
例2
B1 E1 如图, 在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，
A1 B1 ，求 BE1 4
C1 E1 B1
D1 F1
z
与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 O xyz ，则
D1 A1
F1
1 D (0 , 0 , 0) , F 0 , ， 1 . 1 D C y 4 O 1 3 BE1 1 , , 1 (1 , 1 , 0) 0 , , 1 , A B 4 4 x 1 15 1 1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4 4 4 15 BE1 DF1 15 16 17 17 cos BE1 , DF1 . | BE1 | , | DF1 | . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 4 4
k
空间向量
i , j, k 为基底
一一对应
i
j
有序实数组 ( x, y, z )
p
p xi y j zk
因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i ,
j, k } 以点O为原
点，分别以 i , j , k 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴， 这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫 做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量 i , j , k都叫做坐标向量.通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
y
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空间任一点A, 对应一个向量 OA,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z, 使 OA xi y j zk (如图). 我们说,点A的坐标为(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫 做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 显然, 向量 OA 的坐标，就是点A在此空间直角 z 坐标系中的坐标(x,y,z).
注：此公式的 几何意义是表 示长方体的对 角线的长度。
5.角度的计算 已知空间两非零向量 a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b
ab ab x1 x2 y1 y2 z1 z2 x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
都是右手直角坐标系.
x o
z
y
空间直角坐标系的画法:
z
1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
0 135 2.y轴和z轴的单位长度相同， o
x轴上的单位长度为y轴（或z 轴）的单位长度的一半．
1350
y
x
有了空间直角坐标系，那空间中的 任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
z
c
Ａ(a,b,c) b
o
a
y
经过A点作三个平面 分别垂直于x轴、y轴和z轴， 它们与x轴、y轴和z轴分别 交于三点，三点在相应的 坐标轴上的坐标a,b,c组成 的有序实数对（a,b,c)叫做 点Ａ的坐标
x
记为：Ａ（a,b,c)
例１
在空间直角坐标系中，作出点（５,４,６）. z 分析：
从原点出发沿x轴 Ｏ Ｐ1 正方向移动５个单位
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
小结：
1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键：
z
A` B` B D`
O A
C` D
y
C
x
在空间直角坐标系中,x轴上的点、 xoy坐标平面内的点的坐标各有什么 特点？
１．x轴上的点横 坐标就是与x轴交 z 点的坐标，纵坐标 B(0, y , z ) 和竖坐标都是０． R(0,0, z ) ２．xoy坐标平面 M ( x, y, z ) C ( x , o, z ) 内的点的竖坐标为 O ( 0, 0, 0 ) y ０，横坐标与纵坐 o Q(0, y ,0) 标分别是点向两轴 A( x , y ,0) x P ( x ,0,0) 作垂线交点的坐标．