八年级数学下册 11.2 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图像与性质新题型素材 (新版)苏科版

反比例函数的图像与性质新题型
反比例函数是初中数学的基础知识，也是历年各地中考的热点问题之一。

近年来，命题者力举创新，设计出许多清新优美、题型新课程理念的创新型试题，现举例如下。

一、结论开放型
例1、请你写出一个函数关系式，使它满足下列条件：
（1）在第二、第四象限的每一个象限内y 随x 的增大而增大；
（2）函数图像在第二、第四象限
（3）由图像上一点向x 轴、y 轴作垂线，所得矩形的面积为3.
这个函数的解析式为______________________
分析：这是一个结论开放型问题，由三个性质特别是第三个性质知这应是反比例函数特有的性质，在函数图像上任取一点（x 、y ），则3xy k ==，又因为函数图像在在第二、第四象限，所以0k ＜ 解：3y x
=- 点评：由于开放型试题答案的多样性和多层性，因此对训练同学们三位的灵活性和广阔性方面有较高的价值。

本题着重考查学生的逆向思维能力和发散思维能力。

二、判断说理型
例2、如图，Rt ABO ∆的顶点A （a ，b ）是一次函数y x m =+的图像与反比例函数k
y x
=的图像在第一象限的交点，且3ABO S ∆=
x
（1）根据这些条件你能求出反比例函数的关系式吗？如果能，请你求出来；如果不能，请你说明理由；
（2）能求出一次函数的关系式吗？
分析：（1）根据A 在k y x
=
的图像上，且3ABO S ∆=，可求得32k =，所以6k =，从而确定反比例函数关系式
2 （2）要确定y x m =+的关系式，需要知道A 点的坐标，但点A 无论在反比例函数图像的哪个位置，均能保证3ABO S ∆=，所以A 点不确定，即一次函数关系式不确定。

解：（1）∵A 在k y x
=
的图像上，且3ABO S ∆=，∴32k =，∴6k =，∵0k ＞，∴6k =，∴反比例函数的解析式为6y x = （2）不能求出一次函数的关系式，A 点的坐标不能唯一确定。

点评：这是一道判断说理型开放题，待定系数法求一次函数、反比例函数关系式应是我们掌握的重点，同时求反比例函数关系式的方法有多种，要灵活运用。

三、规律探索型
例3、如图，已知点A 在7y x
=-的图像上，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，当点A 在其图像上移动时，
AOB ∆的面积将发生怎样的变化？对于其他反比例函数是否也有同样的现象？怎样理解？
x
解析：AOB ∆的面积不变。

设顶点A （x 、y ），则12AOB xy ∆=。

又∵点A 在反比例函数图形上，∴7y x =-
，即7xy =-，∴1173522AOB xy ∙∆==⨯-=，即AOB ∆的面积与点A 的位置无关。

对于其他反比例函数也有相同的现象，12
AOB k ∆= 理由是：观察反比例函数xy k =的特征，从其憨厚素图像上任意一点向x 轴（y 轴）作垂线，垂足、原点和该点组成三角形的面积均为12k ，而无论k 为正负，12
S k = 点评：本题探索经历了从特殊到一般的探索过程，通过计算特殊情况，推广得到一般情况，都得到所组成的三角形的面积为12
k 这个定值，此方法可以拓展到求相应矩形的面积。