上海市金山中学高二数学下学期期中试题[2]

上海市金山中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题编辑整理：
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金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷
（时间120分钟 满分150分）
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分,第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,否则一律得零分．
1. 已知集合{2,3}A =,{1,2,}B a =,若A B ⊆，则实数a =________. 2。

若函数()2x f x =的反函数为1()f x -，则1(1)f -=________。

3. 函数cos sin sin cos x x y x x
=
的最小正周期T =________.
4。

已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是________.
5。

若圆柱的侧面展开图是一个正方形,则它的母线长和底面半径的比值是________。

6。

已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________。

7. 若一个圆锥的母线长为2,母线与旋转轴的夹角大小为30︒，则这个圆锥的侧面积为______.
8。

已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上,则此球的表面积为________。

9。

从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________. 10。

在ABC ∆中，D 为边BC 的中点,动点E 在线段AD 上移动时,若
B E A B
C B λμ=+，则s λμ=⋅的最大值为________.
11。

已知椭圆22
154
x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆上不同于A 、B
的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β,则
cos()
cos()
αβαβ-=+________。

12。

设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面,则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13.已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线,下列命题中正确的是…………………………（ ) (A ） 若12l l ⊥，23//l l ,则13l l ⊥ (B) 若12//l l ，23//l l ，则1l 、2l 、3l 共
面
（C) 若12l l ⊥，23l l ⊥，则13l l ⊥ (D ） 若1l 、2l 、3l 共点,则1l 、2l 、3l 共
面
14。

设6656510(31)x a x a x a x a -=++++，则0126||||||||a a a a +++
+的值为…
( ） (A ） 62
(B ） 64
（C ） 65
（D) 6624+
15.已知数列{}n a 和{}n b 对任意的*n N ∈都有n n a b >，当n →+∞时，数列{}n a 和
{}n b 的极限分别是A 和B ，
则………………………………………………………………………( ） (A ） A B > （B ） A B ≥
(C) A B ≠
（D) A 和B 的大小关系不确定
16。

已知ABC ∆的一边BC 在平面α内,A α∉,点A 在平面α内的射影为点P ，
则BAC ∠与BPC ∠的大小关系
为………………………………………………………………………（ ） (A ） BAC BPC ∠<∠ （B) BAC BPC ∠>∠ (C ） BAC BPC ∠≤∠
（D ） 以上情况都有可能
三、解答题(本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17。

(本题满分14分）
设复数22(4sin )2(1cos )z a i θθ=-++⋅，其中a R ∈，(0,)θπ∈，i 为虚数单位。

若z 是方程2220x x -+=的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值.
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第(1）小题满分4分，第（2)小题满分10分．
已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点3
(1,)2
. 过焦点F 且
与x 轴不重合的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点。

(1) 求椭圆Γ的方程；
（2） 当直线AB 的斜率为3时，求OM ON ⋅的值.
第18题 图
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1）小题满分8分，第（2）小题满分6分。

如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且四棱锥的体积为8
3
,M 是PD 的中点。

(1) 求异面直线PB 与CM 所成角的大小； (2） 求点B 到平面PCD 的距离。

第19题 图
20. (本题满分16分） 本题共有3个小题,第(1）小题4分,第(2）小题6分，第（3)小题6分。

设常数a R ∈，函数()()||f x a x x =-。

（1) 若1a =，求()f x 的单调递减区间；
(2) 若()f x 为奇函数,且关于x 的不等式()1mx f x +≥对所有的[1,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；
（3） 当0a <时，若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x 、2x 、3x ，且
1235x x x ++=-，求实数a 的值。

21。

(本题满分18分） 本题共有3个小题,第(1）小题4分，第(2)小题10分，第（3)小题4分。

若存在常数(01)p p <≤，使得数列{}n a 满足1||n n n a a p +-=对一切*n N ∈恒成立，则称{}n a 为“可控数列”.
（1) 若数列{}n a 的通项公式为1
*()12n n a N n -⎛⎫
=∈ ⎪
⎝⎭
,试判断数列{}n a 是否为“可
控数列”？并说明理由；
（2) 若{}n a 是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数p ,使lim 4n n a →∞
=?若存在,求出p 的值；若不存在,请说明理由；
(3) 若“可控数列”{}n a 的首项为2，1p =，求2018a 不同取值的个数及最大值。

（直接写出结果)
金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷 参考答案 一、填空题：
1。

3; 2. 0; 3.π; 4. 2-; 5. 2π； 6。

45︒； 7。

2π； 8. 6π； 9. 12
;
10. 18
；
11. 19
;
12.⎡⎣。

二、选择题：
13。

A; 14. B ； 15。

B ； 16. D 。

三、简答题：
17．解：方程2220x x -+=的根为
1x i =±。

……………………………………………(4分)
又z 在复平面内对应的点在第一象限,1z i ∴=+。

……………………………(6分)
221
2(1co 4s s 1
n )i a θθ=+∴=⎧-⎨⎩, ………………………………………………………………（8分)
解得1
cos 2
θ=-.
又(0,)θπ∈,23
π
θ∴=. …………………………………………………………（11分）
从而2a =±。

……………………………………………………………………… （13分)
所以3
π
θ2=,2±=a 。

……………………………………………………………(14分)
18．(1) 解：由
2222119
14a b a b
⎧-=⎪
⎨+=⎪⎩, ………………………………………………………………（2分） 解得2243
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.
所以椭圆Γ的方程为22
143
x y +=. ……………………………………………(4
分）
（2) 解：直线AB
的方程为
1)y x =-. …………………………………………………(5分)
由221)143y x x y
=-+=⎧⎪⎨⎪⎩
，得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
或85x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

所以8(5A
,(0,B ，
从而8(,5P -。

…………………………(8分）
因而，直线PA
的方程为8y x =
，(4,2
M ∴. …………………………(10分)
直线PB
的方程为4
y x +=-
，(4,N ∴-. …………………………（12分)
1697OM ON ∴⋅=-=。

…………………………………………………………(14
分）
19．(1) 解：PA ⊥平面ABCD ，由1
3
V S PA =⋅,得2PA =. ………………………
（1分）
连结AC 、BD 交于点O ，连结OM ，则//OM PB 。

故OMC ∠是异面直线PB 与CM 所成的角。

………………………………(3分)
又12OM PB ==，1
2
OC AC ==
CM ==…………………………………………………（6分)
在OMC ∆中，222cos 22OM CM OC OMC OM CM +-∠==⋅，6
OMC π
∴∠=。

故异面直线PB 与CM 所成角的大小为6
π
. …………………………………（8分）
（2） 解： 设点B 到平面PCD 的距离为h ，则
13C B P D D C P V S h ∆-=⋅=。

…………(10分)
又14
33
BCD P BCD V S PA ∆-=⋅=。

…………………………………………………（12
分)
由B PCD P BCD V V --=，得h =
即点B 到平面PCD ………………………………………………
（14分）
20．（1） 解： 当1a =时, (1),()(1)||0
(1),0x x x f x x x x x x ≥-<-⎧=-=⎨
⎩。

如图知，()f x 的单调递减区间为(,0]-∞和1
[,2
)+∞。

…………………（4分）
(2） 解:由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，解得0a =. …………………………(5分)
当[1,2]x ∈时，2()f x x =-.
从而21mx x -≥，1
()max m x x
≥+. ………………………………………………(8
分） 又1y x x =+
在[1,2]x ∈上递增，故当2x =时，)5
2
1(max x x =+。

故5
2
m ≥. ……………(10分)
(3） 解：当0
a <时,0
(),,(0)()a x x x f x x x a x -⎧=≥-<⎨⎩。

如图，()f x a =要有三个不相等的实根，
则2
04
a a -<<，解得
4a <-。

………………………………………………………………（12分)
不妨设123x x x <<，
当0x <时，由()x a x a -=，即20x ax a --=,得12x x a +=。

………………………(13分）
当0x ≥时，由()a x x a -=，即2
0x ax a -+=，
得3x =. ………………（14分)
由5a +=-
，解得82
a -=±。

因4a <-，得a
的值为
82
--。

…………………………………………………………（16分)
21．（1) 解:11111222n n n
n n a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1(0,1]2∈. 故{}n a 为“可控数列”. ……………………………………………………(4分)
(2） 解: 假设存在常数p 满足题意.
由{}n a 是单调递减的“可控数列”,得1n n n a a p +-=-。

……………………(5分)
1
1122
12n n n n n n a a p a a p a a p ------=--=--=-
累加，得211()n n a a p p p -=-+++。

………………………………………（8分) 当1p =时，6n a n =-，不合题意。

……………………………………………(9分）
当(0,1)p ∈时,1(1)51n n p p a p --=--，lim 51n n p a p
→∞=--。

…………………（11分） 令541p p -=-，得12
p =。

故p 的值为12
. ……………………………………………………………………
(14分）
（3) 解：
a的不同取值个数是2018,最大值为2019. …………………………
2018
(18分)(各2分)。