半角公式 课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册

cos 2 = 1 − 2 sin2
cos α = 1 − 2sin2
cos α = 2cos 2
α
2
−1
1−cos α
2
cos
α
2
=±
1+cos α
2
α
sin α
1 − cos α
tan =
=
2 1 + cos α
sin α
tan
α
2
=±
1−cos α
．
1+cos α
sin
α
2
α
2
cos 2α = 2cos 2 a − 1



+ 2()，则 < < +
2
所以 = 1 −
sin

2



，sin ，tan 的值．
2
2
2
2
=
4
5
1−
2
=
=
2
= 2ຫໍສະໝຸດ 可得10，
10
=
3 10
，
10

2
4
5
=
4
1+5
2
4

当为偶数时，角 在第一象限，故由（1）
2
=
10
10
3 10
10
=
2
2

2
如果用和 分别代替二倍角的余弦公式中的2和，可以得到什么？
cos = cos 2

2
− sin2
cos15°可以怎样求？
方法一：两角差的余弦公式
cos 15° = 45° − 30°
方法二：二倍角公式
cos 2

2
= 1 + cos
cos 2 15° = 1 + cos30°
2.3简单的三角恒等变换
2.3.1 半角公式
你能回想起二倍角的余弦公式吗？
cos 2 = cos 2 − sin2
= 2cos 2 −1
= 1 − 2 sin2 ．
公式中的2α和α可以换成其它存在二倍关系的角吗？
可以，倍角和半角是相对而言的，公式中的2和可以换成其它存

3
在二倍关系的角，如和 ，3和 ，4和2……


= 2
2
2
有理形式

2
证明：因为 = 1 − 22 = 2 2 − 1
所以
又
cos = 22
故
即证。


2



2
2
=
= tan 2
2
1 +
2
2


2

1 −
2
2 = tan
=


sin
1
．
3

2
=
10

，cos
10
2
=
3 10

，tan
10
2

2
=
1
．
3
当为奇数时，角 在第三象限，此时有
sin

2
=−
10

，cos
10
2
=−
3 10

，tan
10
2
1
3
= ．
求证：tan

2
=

1+
=
1−


2

1 + cos = 2 2 ， 1 −
2
由cos = 2cos 2

2

2
−1得：cos 2

2
=
1+cos

，进而得到cos
2
2

2
能用cos 表示sin ，tan 吗？
sin

2
=±
1−cos

，tan
2
2
=±
1−cos
．
1+cos
=±
1+cos
．
2
观察这三个公式有什么共同特点：
半
角
公
式
sin

2
=±
1−cos
10
1
3
= ．
3
5

2
已知 = ，求cos
(1)0 < <
解:(1)当0 < <
又 =
3
5

2
cos

2
tan

2
=
1−cos
2
=
1+cos
2
=
1−cos
1+cos
时，0 <

2
<

4
(2)角在第一象限
解:(2)当角在第一象限时， 2 < <

2
= 2cos 2

2

2
−1= 1 − 2sin2 ．
cos15°可以怎样求？
方法一：两角差的余弦公式
方法二：二倍角公式
cos 2
cos 15° = 45° − 30°

2
= 1 + cos
cos 2 15° = 1 + cos30°

2
推广到一般情况，如果已知cos 的值，你能求出cos 的值吗？
2
22
2

2
课堂小结
1.熟悉公式的推导思路


1—
=±
2
2


1 +
=±
2
2

1—

= ±
2
1 + = 1+
=
1—

2.辨清1个易错点：

2
在 、

2
、

2
的公式中，应注意符号的选取．
结构框图
2
=
，
2
4

sin

1
2
tan =
=−
2 cos
7
2
3
5

2
已知 = ，求cos
(1)0 < <



，sin ，tan 的值．
2
2
2
(2)角在第一象限
解:(1)当0 < <
又 =
半
角
公
式
sin

2
cos

2
tan

2
=±
1−cos
，
2
=±
1+cos
，
2
=±
2
2
③二倍角公式变形：
1 + cos 2 = 2cos 2
1 − cos 2 = 2 sin2
< < 2,求cos



，sin ，tan 的值
2
2
2
3
解：∵ < < 2，
2
3
∴ < < ．
4
cos

1 + cos
7 2
=−
=−
，
2
2
4

sin =
2
1 − cos
，
2
cos

2
=±
1+cos
，
2
tan

2
=±
1−cos
．
1+cos
等式右边的符号都有“±”；
等式右边都是用含cos 的式子．
半角式中的“±”能省略吗？ 不能，需针对具体情境对符号进行确定．
如何确定半角公式中的符号？

2

2
(1)当给出角的具体范围时，先求 的范围，然后根据 终边所在象限确定符号.
1−cos
．
1+cos
3
5

2
时，0 <

2
所以 �� = 1 − 2 =
sin

2
cos

2
tan

2
=
1−cos
2
=
1+cos
2
=
1−cos
1+cos
4
=
1−5
2
=
2
=
=
3 10
，
10
=
2
4
5
10
，
10

2

4
=
4
1+5
<
10
10
3 10
=±
P84 练习第2题
P90 习题2.3第1题
辨析，判断正误：
（1）sin 15° = ±
半角公式常戴帽,
象限确定帽前号;
1加余弦想余弦，
1减余弦想正弦。

1−cos 30°
，（
2
）
∴sin 15° > 0，sin 15° =
1−cos 30°
．
2
3
4
3
2
若cos = ，且

2
①分析角度关系：， ；
②知cos α，求cos
α
α
，sin
(2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.
半角公式
1 − cos 2 = 2 sin2
sin

2
=±
1−cos
，
2
1 + cos 2 = 2cos 2
cos

2
=±
1+cos
，
2

=

tan

2
=±
1−cos
．
1+cos
分析：（1）∵15° ∈ 0，90° ，