课时作业19：4.2.1 直线与圆的位置关系

§4.2直线、圆的位置关系
4.2.1直线与圆的位置关系
基础过关
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()
A．相切B．相交C．相离D．不确定
解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.
∴圆心(0，0)到直线ax＋by＝1的距离d＝
1
a2＋b2
＜1＝r，则直线与圆的位置关
系是相交．
答案B
2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()
A．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
解析依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c（c≠1）＝0，则圆心(0，0)到直线2x
＋y＋c＝0的距离为
|c|
22＋12
＝5，解得c＝±5.故所求切线方程为2x＋y＋5＝0
或2x＋y－5＝0.
答案D
3．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
解析 由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆
心C 在直线x －y －2＝0上．由⎩⎨⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，
得圆心C (1，－1)．又因为两平行线间距离d ＝
42
＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
答案 B
4．若直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k ＝________． 解析 圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0，即(x －3)2＋y 2＝1，其圆心为(3，0)、半径等于1.
由题意可得k <0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得|3k －0－0|k 2＋1
＝1，求得k ＝－24.
答案 －24
5．直线y ＝x ＋2被圆M ：x 2＋y 2－4x －4y －1＝0所截得的弦长为________． 解析 x 2＋y 2－4x －4y －1＝0可变为(x －2)2＋(y －2)2＝9，故圆心坐标为(2，2)，半径为3.圆心到直线x －y ＋2＝0的距离是22＝2， 故弦长的一半是9－2＝7，
所以弦长为27.
答案 27
6．过点A (－1，4)作圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线l ，求切线l 的方程． 解 由题易知，切线l 的斜率存在，设l 的方程为y －4＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋4＝0，
∴d ＝|2k －3＋k ＋4|k 2＋1＝1，∴4k 2＋3k ＝0， ∴k ＝0或k ＝－34，
∴切线l 的方程为y ＝4或3x ＋4y －13＝0.
7．已知曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋m ＝0.
(1)当m 为何值时，曲线C 表示圆？
(2)若直线l ：y ＝x －m 与圆C 相切，求m 的值．
解 (1)由C ：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋m ＝0，
得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5－m ，
由5－m >0时，得m <5，∴当m <5时，曲线C 表示圆；
(2)圆C 的圆心坐标为(－1，－2)，半径为5－m .
∵直线l ：y ＝x －m 与圆C 相切， ∴|－1＋2－m |2
＝5－m ， 解得：m ＝±3，满足m <5.
∴m ＝±3.
能力提升
8．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，从而圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|2
＝2，故圆上有3个点满足题意． 答案 C
9．圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1，0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于( )
A ．10－27
B ．5－7
C ．10－3 3
D ．5－32 2
解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5.
因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，
所以点(－1，0)在已知圆的内部，
则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1，0)为弦的中点时，弦长最小，
此时弦心距d ＝（2＋1）2＋（－3－0）2＝32，
所以最小弦长为2r2－d2＝225－18＝27，
所以m－n＝10－27.
答案A
10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为23，则a＝________．
解析圆心到直线的距离d＝|a－2＋3|
a2＋1
＝22－（3）2＝1，解得a＝0.
答案0
11．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
解析切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，
0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|
2
＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为
d2－r2＝8－1＝7.
答案7
12．(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，6)；
(2)求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3，0)．
解(1)∵点M的坐标适合圆的方程，
∴点M在圆x2＋y2＝10上，由题可知圆心为O(0，0)，则直线OM的斜率k OM＝6
2.
∵圆的切线垂直于经过切点的半径，
∴所求切线的斜率为k＝－2 6 .
故经过点M的切线方程为
y－6＝－2
6
·(x－2)，
整理得：2x＋6y－10＝0. (2)容易判断点Q(3，0)在圆外．
设切线的方程为y ＝k (x －3)，
即kx －y －3k ＝0，
又圆的圆心为(0，0)，半径为2，所以
|－3k |1＋k 2＝2. 解得：k ＝±255.
∴所求切线方程为：y ＝±255(x －3)，即25x ＋5y －65＝0或25x －5y －65
＝0.
创新突破
13．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．
(1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程．
(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎨⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，
即l 恒过定点A (3，1)．
因为圆心为C (1，2)，所以|AC |＝5<5(半径)，
所以点A 在圆C 内，
从而直线l 与圆C 恒交于两点．
(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .
因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2.
又l 过点A (3，1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.。