2019年广西柳州市中考总复习课时训练16：二次函数的图象和性质

课时训练(十六)
[第16课时二次函数的图像和性质]
夯实基础
1.[2016·怀化] 抛物线y=x2+2x-3的开口方向、顶点坐标分别是()
A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4)
B.开口向下,顶点坐标为(1,4)
C.开口向上,顶点坐标为(1,4)
D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4)
2.[2017·贵港] 将如图K16-1所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式是()
图K16-1
A.y=(x-1)2+1
B.y=(x+1)2+1
C.y=2(x-1)2+1
D.y=2(x+1)2+1
3.[2016·永州] 若抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是()
A.m<2
B.m>2
C.0<m≤2
D.m<-2
4.[2018·益阳] 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K16-2所示,则下列说法正确的是()
图K16-2
A.ac<0
B.b<0
C.b2-4ac<0
D.a+b+c<0
5.[2017·达州] 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K16-3,则一次函数y=ax-2b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是图K16-4中的()
图K16-3
图K16-4
6.[2016·钦州] 如图K16-5,在△ABC中,AB=6,BC=8,tan B=.点D是边BC上的一个动点(点D与点B不重合),过点D作DE⊥AB,垂足为E,点F是AD的中点,连接EF.设△AEF的面积为y,点D从点B沿BC运动到点C的过程中,D 与B的距离为x.则图K16-6中,能表示y与x的函数关系的大致图象是()
图K16-5
图K16-6
7.[2016·贵港] 如图K16-7,已知抛物线y=-x2+x+与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若点P是线段AC上方的抛物线上一动点,当△ACP的面积取得最大值时,点P的坐标是()
图K16-7
A.(4,3)
B.5,
C.4,
D.(5,3)
8.[2016·桂林] 已知直线y=-x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-(x-)2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P有()
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
9.[2017·百色] 经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线的解析式是.
能力提升
10.[2016·南宁] 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=x的图象如图K16-8所示,则方程ax2+b-
x+c=0(a≠0)的两根之和()
图K16-8
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不能确定
11.[2016·百色] 如图K16-9,正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线L经过O,P,A三点,点E是正方形内的抛物线上的动点.
图K16-9
(1)建立适当的平面直角坐标系.
①直接写出O,P,A三点的坐标;
②求抛物线L的解析式.
(2)求△OAE与△OCE的面积之和的最大值.
12.[2016·玉林、防城港、崇左] 如图K16-10①,抛物线L:y=ax2+bx+c与x轴交于A,B(3,0)两点(A在B的左侧),与y 轴交于点C(0,3),已知对称轴x=1.
图K16-10
(1)求抛物线L的解析式.
(2)将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),求h的取值范围.
(3)如图②,设点P是抛物线L上任一点,点Q在直线l:x=-3上,△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.
参考答案
1.A
2.C[解析] 设抛物线的解析式为y=ax2-2.把点(1,0)代入,得a-2=0,解得a=2.所以抛物线为y=2x2-2,抛物线y=2x2-2向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得y=2(x-1)2-2+3,即y=2(x-1)2+1.故选C.
3.A[解析] ∵抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,
∴4-4m+4>0.
解得m<2.
故选A.
4.B
5.C[解析] ∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>0.∵抛物线的对称轴是直
线x=-1,∴-=-1.∴b=2a.∴y=ax-4a,对于方程组-
消去y,可整理成:ax2-4ax-c=0,Δ=16a2+4ac.∵抛物线过
点(-3,0),∴9a-3b+c=0,∴c=-3a,∴16a2+4ac=16a2-12a2=4a2>0.∴直线与反比例函数图象有交点.故选C.
6.B
7.B[解析] 连接PC,PO,P A.
设点P的坐标为m,-m2+m+.
令x=0,得y=.
∴点C的坐标为0,.
令y=0,得-x2+x+=0.
解得x=-2或x=10.
∴点A的坐标为(10,0),点B的坐标为(-2,0).
∴S△P AC=S△PCO+S△POA-S△AOC=××m+×10×-m2+m+-××10=-(m-5)2+.
∴m=5时,△P AC的面积最大,为,
此时点P的坐标为5,.
8.A[解析] 以点B为圆心,线段AB的长为半径作圆,交抛物线于点C,M,N,连接AC,BC,由直线y=-x+3可求出点A,B的坐标,结合抛物线的解析式可得出△ABC是等边三角形,再令抛物线的解析式中y=0,求出抛物线与x轴的两交点的坐标,发现这两点与M,N重合,结合图形分三种情况研究△ABP,由此即可得出结论.
以点B为圆心,线段AB的长为半径作圆,交抛物线于点C,M,N,连接AC,BC,如图所示.
令一次函数y=-x+3中x=0,得y=3.
∴点A的坐标为(0,3).
令一次函数y=-x+3中y=0,得
-x+3=0.
解得x=.
∴点B的坐标为(,0).
∴AB=2.
∵y=-(x-)2+4
=-x2+x+3,
∴A(0,3)在抛物线上.
∵抛物线的对称轴为直线x=,点B(,0),
∴点B在对称轴上,
∴点C的坐标为(2,3).
∴AC=2=AB=BC.
∴△ABC为等边三角形.
令y=-(x-)2+4中y=0,
得-(x-)2+4=0.
解得x=-或x=3.
∴点M的坐标为(-,0),点N的坐标为(3,0).
△ABP为等腰三角形分三种情况:
①当AB=BP时,以点B为圆心,AB的长为半径作圆,与抛物线交于C,M,N三点;
②当AB=AP时,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,与抛物线交于C,M两点;
③当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,交抛物线于C,M两点.
∴能使△ABP为等腰三角形的点P有3个.
故选A.
9.y=-(x-4)(x+2)[解析] 设抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+2).把C(0,3)代入上式,得3=a(0-4)(0+2).解得a=-.故所求解析式为y=-(x-4)(x+2).
10.A[解析] 设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,由二次函数的图象可知x1+x2>0,a>0.设方程ax2+b-
x+c=0(a≠0)的两根为x3,x4.再根据根与系数的关系即可得出结论.
设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2.
由二次函数的图象可知,x1+x2>0,a>0.
∴->0.
设方程ax2+b-x+c=0(a≠0)的两根为x3,x4,则x3+x4=--
=-+.
∵a>0,∴>0.∴x3+x4>0.故选A.
11.解:(1)以点O为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系,如图所示.
①∵正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,
∴点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(4,0),点P的坐标为(2,2).
②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c.
∵抛物线L经过O,P,A三点,
-
∴解得
∴抛物线L的解析式为y=-x2+2x.
(2)∵点E是正方形内的抛物线上的动点,
∴设点E的坐标为m,-m2+2m(0<m<4).
∴S△OAE+S△OCE=OA·y E+OC·x E
=-m2+4m+2m
=-(m-3)2+9.
∴当m=3时,△OAE与△OCE的面积之和最大,为9.
12.解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,B(3,0),
∴A(-1,0).
∵抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,3),
∴当x=0时,c=3.
∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1,0),B(3,0),
∴-
∴-
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)∵C(0,3),B(3,0),
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点的坐标为(1,4).
∵对于直线BC:y=-x+3,
当x=1时,y=2;
将抛物线L向下平移h个单位长度,
∴当h=2时,抛物线的顶点落在BC上;
当h=4时,抛物线的顶点落在OB上.
∴将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),
则2≤h≤4.
(3)设P(m,-m2+2m+3),Q(-3,n).
①当点P在x轴上方时,过点P作PM⊥直线l,交直线l于点M,过点B作BN⊥MP,交MP的延长线于点N,如图所示.
∵B(3,0),△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,
∴∠BPQ=90°,BP=PQ.
∴∠PMQ=∠BNP=90°,∠MPQ=∠NBP.
在△PQM和△BPN中,
∴△PQM≌△BPN(AAS).
∴PM=BN.
∴PM=BN=-m2+2m+3.
根据点B的坐标,可得PN=3-m,且PM+PN=6.
∴-m2+2m+3+3-m=6,
解得m=1或m=0.
∴P(1,4)或P(0,3).
②当点P在x轴下方时,过点P作PM⊥l于点M,过点B作BN⊥MP的延长线于点N.同理可得,△PQM≌△BPN,∴PM=BN.
∴PM=6-(3-m)=3+m,
BN=m2-2m-3.
∴3+m=m2-2m-3.
解得m=或m=-.
∴P,--或-,-.
综上可得,符合条件的点P的坐标是(1,4),(0,3),,--和-,-.。