高二数学同步单元测试--直线和圆的方程单元测试

2004－2005上期高二数学同步单元测试（三）
—直线和圆的方程（1）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1、．直线
3x +4y
=1的倾斜角是（ ） A)arctg 34 B) π+ arctg 34 C) π－arctg 34 D) π－arctg （-3
4）
2、若A(1，2)，B(-2，3)，C(4，y)在同一条直线上，则y 的值是（ ） A
21 B 2
3
C 1
D -1 3、已知直线3x+2y -3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是（ ） A 4 B
13132 C 26135 D 26
13
7 4、如果l 1，l 2的斜率分别是二次方程x 2-4x+1=0的两根，则l 1，l 2的夹角是（ ） A
6π B 4π C 3π D 8
π
5、直线l 1：ax-y-b=0,l 2：bx-y+a=0(ab ≠0,a ≠b),下列图形中正确的是 ( )
6、在△ABC 中，三边a 、b 、c 的对角分别为A 、B 、C,且lgsinA 、lgsinB 、lgsinC 成等差数列，则直线xsin 2A+ysinA-a=0与xsin 2B+ysinC-c=0的位置关系是( ) (A)重合 (B)平行 (C)垂直 (D)相交但不垂直
7、已知三条直线为l 1： x －2y+4a=0, l 2： x －y －6a=0, l 3： 2x －y －4a=0 )0(≠a , 则下列结论中正确的一个是 ( ) (A) 三条直线的倾斜角之和为900.
(B) 三条直线在y 轴上的截距b 1, b 2,b 3满足b 1+b 3=2b 2. (C) 三条直线的倾斜角α1,α2,α3满足α1+α3=2α2. (D) 三条直线在x 轴上截距之和为12|a|. 8、设点A(2,－3), B(－3,－2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则l 的斜率k 的取值范围是 ( )
(A)443-≤≥
k k 或 (B)4143-≤≥k k 或 (C)434≤≤-k (D)44
3
≤≤k 9、直线x-y=a 2与圆x 2+y 2=a 2(a ＞0)的交点个数有 ( ) （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）0个或1个或2个 10、已知集合{}1x |),(=+=y y x P ，{}
1|),(22≤+=y x y x Q ，则（ ）.
(A)Q P ⊂ (B)P =Q (C)Q P ⊃ (D)Q Q P =
11、将直线1=+y x 绕（1，0）点顺时针旋转90°后，再向上平移1个单位与圆
222)1(r y x =-+相切，则r 的值是 ( ) （A ）
22 （B ）2 （C ）2
23 （D ）1 12、方程0322222=++-++a a ay ax y x 表示的图形是半径为r （0>r ）的圆，则该圆圆心在 ( )
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上
13、设直线L 过点A （2，4），它被平行线0101=--=+-y x y x 与所截得线段的中点在直线032=-+y x 上，则L 的方程是________________.
14、经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_______________________ 15、三条直线x+y+1=0,2x -y+8=0和ax+3y -5=0只有两个不同的交点，则a=____________ 16、过点M （0，4）、被圆4)1(22=+-y x 截得的线段长为32的直线方程为
三、解答题：本大题共6小题，共74分
17、一直线被两直线l 1：4x ＋y ＋6 = 0，l 2：3x －5y －6 = 0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线的方程。

18、正方形中心为G （-1，0），一边所在直线的斜率为3，且此正方形的面积为4.14，求此正方形各边所在的直线方程。

19、设直线3x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＋x －2y ＝0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点， 若OP ⊥OQ ，求m 的值。

20、已知过两定点的一个交点O 的动直线与两圆分别交于点A 、B ，求线段AB 中点P 的轨迹方程。

21、过原点的两条直线把直线2x ＋3y －12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角。

22、已知圆C ：16)5(2
2
=-+y x ，在x 轴上取两点M 、N ，使得以MN 为直径的圆与圆
C 外切，若点A 对所有满足条件的M 、N ，使∠MAN 为定角，试求定点A 的坐标及∠MAN 的大小。

参考答案
一、 选择题：
1、C
2、C
3、D
4、C
5、B
6、A
7、C
8、A
9、B 10、A 11、A 12、D 二、 填空题：
13、3x-y-2=0 14、x+y -1=0 15、3或-6 16、x=0或15x+8y-32=0(写出一个方程给2分) 三、 解答题：
17、解：设线段MN, M(x 0,y 0), N(－x 0,－y 0), M ∈l 1, N ∈l 2,
∴4x 0＋y 0＋6 = 0 (1) －3x 0＋5y 0－6 = 0 (2), (1)－(2) 得x 0＋6y 0 = 0
∴M,N 在直线x ＋6y = 0上,又过原点,即所求.
18、解：∵正方形的面积为14.4 ∴正方形的边长为4.14 ∵正方形的一边所在直线的斜率为3 ∴可设该边所在直线的方程为y=3x+m 依题意得：
2
4
.141
93=
++-m ∴m=9或m= -3
∴正方形的两边所在直线的方程为：y=3x+9和y=3x-3 又知正方形的另两边所在直线的斜率为3
1- 可设为y=3
1
-
x+n 即x+3y-3n=0 ∴
2
4
.141
931=
+--n ∴n=35或n=37-
∴正方形的另两边所在直线的方程为：x+3y-5=0和x+3y+7=0
19、解：由3x ＋y ＋m ＝0得： y ＝-3x -m 代入圆方程得：02)76(102
2
=++++m m x m x 设P 、Q 两点坐标为P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)
则x 1 +x 2＝1076+-m x 1⋅x 2＝10
22m m +
∵OP ⊥OQ ∴
12
2
11-=⋅x y x y 即x 1⋅x 2+ y 1 ⋅y 2＝0 ∴ x 1⋅x 2+(-3x 1-m) (-3x 2-m) ＝0 整理得：10x 1⋅x 2+3 m (x 1 +x 2)+ m 2=0
∴010*********
2=+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛+-++⋅m m m m m 解得：m=0或m=21 又△＝(6m+7)2-40(m 2+2m)= -4m 2+4m+49 当m=0时，△＞0；当m=
21时，△＞0；∴m=0或m=2
1
20、 如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系 因为两定圆均过原点O ，故可设其方程分别 为：x 2+y 2-2ax-2by=0 ① x 2+y 2-2cx-2dy=0 ②
当动直线斜率存在时，设其方程为 y=kx ③
将方程③分别与方程①、②联立，可得
2
2
1)(21)(2k dk c x k bk a x B A ++=
++= 设线段AB 的中点为P （x ，y ），则 2
1)()(2k k
d b c a x x x B A ++++=+=
④ ∵点P 在直线y=kx 上 ∴将x
y
k =
代入④，消去k ，得：2
)(1)
()(x
y x y d b c a x ++++=
整理得：x 2+y 2-(a+c)x-(b+d)y=0 ⑤
当动直线斜率不存在时，其方程为：x=0，分别代入①、②可得A （0，2b ），B(0，2d) 则AB 的中点P 为（0，b+d ）,将此代入⑤式，仍成立。

∴所求动点P 的轨迹方程为 x 2+y 2-(a+c)x-(b+d)y=0
21、解：设直线2x ＋3y －12 = 0与两坐标轴交于A ，B 两点， 则A （0，4），B （6，0），设分点C ，D ，设θ=∠COD 为
x
y
B
A O P
所求角。

∵2=CA BC ，∴⎪⎩
⎪⎨⎧=+⨯+==+=38212402216c c y x ，∴C （2，38
）.
又2=DB AD ，∴⎪⎩
⎪⎨⎧=+==+⨯+=3421442162000y x ，∴D(4,34)，∴31,34==OD OC k k .
∴139
3
13413134|1|=⨯+-
=+-=OD
OC OD OC k k k k tg θ，∴139arctg =θ.
22、设以MN 为直径的圆的圆心P （a ，0） 半径为r 。

因为动圆与定圆相切，
∴r CP +=4，
即r a +=+4522 ∴4522-+=
a r
∴圆P 的方程为：
2222)425()(-+=+-a y a x
取a=0得：圆P 为12
2
=+y x ，M （-1，0），N （1，0）
取a=12得：圆P 为2
229)12(=+-y x ，M （3，0），N （21，0） 因为以MN 为直径的圆必关于y 轴对称，所以设定点A(0,b) 当a=0时，tan ∠MAN ＝
1
22
-b b ；当a=12时，tan ∠MAN ＝
2
6318b b +
由
1
263182
2
-=
+b b b
b ，解得b ＝±3
∴tan ∠MAN ＝
43，∴∠MAN ＝arctan 4
3
.以下作一般性证明：
设圆心P （a ，0），半径4522-+=
a r ，
M （2254+-+a a ，0），N （2254++-a a ，0） 取A （0，-3）时MA 的斜率k 1＝tan 25
43
2
+-+=
a a α
NA 的斜率k 2＝tan 25
43
2
++-=
a a β
∴tan ∠MAN ＝tan 4
3
tan tan 1tan tan )(=⋅+-=
-βαβαβα，
当A （0，3）时同理可得，故定点A 坐标为（0，± 3），定角∠MAN ＝arctan 4
3。