安徽省合肥地区高校附中高三联考数学文科试题.5.5

安徽省合肥地区高校附中高三联考
数学(文)试题
参考公式：
球的表面积公式2
4πS R =，球的体积公式3
4π3
V R =
，其中R 表示球的半径． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 复平面上，复数
21i
i
-+对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2． 已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对︒===
60,3,2B b a ，那么A ∠等于
A ．︒135
B ．︒45
C ．︒135或︒45
D ．︒60 3． 若b a 、为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是
A ．相交直线
B ．异面直线
C ．平行直线
D ． 异面或相交直线 4． 函数x y cos 2=的单调递减区间的是
A ．),0(π
B ．)0,2
(π
-
C ．)2,23(
ππ D ．)2
,(ππ-- 5． 函数)1(),1|(|log >+=a x y a 的图像大致是
A B C D
6．若互不相等的实数c b a ,,成等差数列，b a c ,,成等比数列，且103=++c b a ，则a 的值等于 A ．4 B ． -4 C ．-4或2 D ． 2
7．在平面直角坐标系中, 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0
x －y ＋4≥0x ≤a
(a 为常数)表示的平面区域的面积是9, 那么实
数a 的值为 A ． 1 B ． －1 C ． －5 D ． 58．已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的离心率为62,则椭圆22
221x y a b
+=的离心率是
A ．
1
2
B ．
23 C ．22
D 3
9．等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点D ，则AD 的长小于AC 的长的概率是
A ．
22 B ． 221- C ． 2
1
D ． 2
O x
y
O x y
-1 O 1 x
y
-1 O 1 x
y
10．若p 、q 是两个命题，则“q p ∨为真命题”是“)()(q p ⌝∧⌝为假命题”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件 11
．
定
义
}
)(|{N ）（M z N M z z N M ⋂∉⋃∈=*且，
}
4)2
1
(|{1≥=-x x M ，
}020092008|{2>++-=x x x N ，，则=*N M
A ．]20093[)1(，，⋃--∞
B ．），（，20093]1(⋃--∞
C ．),2009[)3,1(+∞⋃-
D ．)2009]3,1(∞+⋃-，（
12．定义在R 上的函数)(x f y =满足：)()(x f x f -=-，)1()1(x f x f -=+．当]1,1[-∈x 时，
3)(x x f =，则)2009(f 的值是
A ． -1
B ． 0
C ． 1
D ． 2
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分， 把答案填在答题卡的相应位置．
13．曲线2
1
x y =在点(4,2)处的切线方程为 ．
14．若a>0,b>0,a+2b=4,则ab 的最大值为 ．
15．阅读图1的程序框图，若输入3=m ，则输出 的=i ．（参考数值：923.62009log 3≈）
16．正方形内切圆面积与外接圆面积之比为2:1,则正方体内 切球表面积与外接球的表面积之比为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知两个向量(cos ,sin ),(22sin ,22cos )a x x b x x ==+，f(x)= a b •,[0,]x π∈ (1)求f(x)的值域； (2)若1=•b a ,求7cos()12
x π
+的值．
是 否
?2009≥a
i m a =
1=i
输入m
开始 1+=i i
结束
输出i
图1
18．（本小题满分12分）
一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、SC 的中点，P 是SD 上的一动点．
(1) 求证：BP ⊥AC ；
(2) 当点P 落在什么位置时,AP 平行于平面SMC ？ (3)
求三棱锥B-NMC 的体积．
19．（本小题满分12分） 某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：
[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100），
4．
（1）列出样本的频率分布表；
（2）估计成绩在85分以上学生的比例； （3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100）中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分， 乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
主视图
左视图
俯视图
1
2
1
S
D
A
B
C
M
N
P
20．(本小题满分12分) 已知函数ln 1
()x f x x
+=
． （1）求)(x f 的极值；
（2）函数)(x f 的图象与函数)(x g =m 的图象在区间[1
e
,+∞)上有公共点,求实数m 的取值范围．
21．（本小题满分13分）
函数()f x 是一次函数，且(1)1f -=-，(1)f e '=，其中e 是自然对数的底． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）在数列{}n a 中，()11a f =-e ，()1n n a f a +=，求数列{}
n a 的通项公式；
（3）若数列{}n b 满足n n n b a a -=+21ln(1)，试求数列{}n b 的前n 项和n S ．
22．（本小题满分13分）
设直线:1l y x =+与椭圆Ｃ：22
221(a b 0)x y a b
+=>>相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相
交于点F ．
（1）证明：点(a,b)在圆2
2
1x y += 外；
（2）若F 是椭圆的一个焦点，且2AF FB =，求椭圆Ｃ的方程．
合肥地区高校附中高三联考数学(文)
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D
B
D
D
B
B
A
C
A
C
C
C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13 x-4y+4=0 ； 14． 2； 15． 7； 16． 1:3． 三、解答题
17．解：(1)()4sin()4
f x x π
=+
，]4,22[)(-∈x f ． …6分
(2)
504
4
4
x x π
π
ππ≤≤∴
≤+
≤
， 又1=•b a ,sin()4
x π+
=
14)22,0(∈,∴πππ<+<42x ,∴ cos()4
x π+=-154,
7cos()cos[()]1243
x x πππ
+
=++=-3158 ． ………12分 18．(1)．连BD ∵面AC 为正方形，∴BD ⊥AC ．又SD ⊥底面AC, ∴SD ⊥AC ． ∵BD ∩SD=D, ∴AC ⊥面SDB, ∵BD ⊂面SDB ． ∴AC ⊥BD ． …………4分 (2)取SD 中点P ，连PN,AP,MN ． 则PN ∥DC 且PN=2
1
DC ∵底面AC 为正方形，∴AM ∥DC 且AM=
2
1
DC ． ∴四边形AMNP 为平行四边形∴AP ∥MN 又AP ⊄面SMC ． ∴AP ∥面SMC ． ………9分 (3)V=
1
12
． …………12分 19． 解：（1）样本的频率分布表：…………4分
分组 频数 频率 [40，50） 2 0．04 [50，60） 3 0．06 [60，70） 14 0．28 [70，80） 15 0．30 [80，90） 12 0．24 [90，100） 4 0．08 合计
50
1
（2）估计成绩在85分以上的有6+4=10人，
所以估计成绩在85分以上的学生比例：
5
1
5010=． ……8分 （4）[40，50）内有2人，记为甲、A ． [90，100）内有4人，记为乙、B 、C 、D ．
则“二帮一”小组有以下12种分组办法：甲乙B ，甲乙C ，甲乙D ，甲BC ，甲BD ，甲CD ，A 乙B ，A 乙C ，A 乙D ，ABC ，ABD ，ACD ．
其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙B ，甲乙C ，甲乙D ．
所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为4
1
123==P ． …………12分 20．解 ：（1）21(ln 1)()(0,),()x f x f x x -+'+∞=的定义域为=2
ln x
x
-， 令()01f x x '==得．
当(0,1),()0,()x f x f x '∈>时是增函数， 当(1,),()0,()x f x f x '∈+∞<时是减函数，
∴()1,()(1)1f x x f x f ===极大值在处取得极大值． ………6分
（2）由（Ⅰ）知)1,1()(e x f 在上是增函数，在),1(+∞上是减函数，且0)1(=e
f ， 所以要使函数)(x f 的图象与函数)(x
g =m 的图象在区间[
1
e
,+∞)上有公共点，只要使得10≤≤m ．
所以m 的取值范围为]1,0[． ………12分 21． 解：（1）设()f x kx b =+，则()f x k '=，
由(1)1,(1)1f k b k e f k e b e -=-+=-=⎧⎧⇒⎨⎨
'===-⎩⎩
，()1f x ex e ∴=+-． …3分 （2）
()1n n a f a +=，11n n a ea e +∴=+-，()n n n a ea e e a +∴+=+=+111，
∴数列{}n a +1是以e 为公比的等比数列，首项为a e +=11，
n n n a a e e -∴+=+⋅=111(1)，即n n a e =-1． …8分
（3）
n n n n n n b a a e e n e n --=+=-=---2121ln(1)(1)ln (21)(21)，
n n S b b b b ∴=+++
+123 n e e e n e n =-+-+-++---23(1)(33)(55)[(21)(21)]
n e e e n e n =+++
+--+++
+-2
3
[35(21)][135(21)]n T n =-2，
其中，n n T e e e n e =+++
+-23
35(21) ……①
n n n eT e e n e n e +∴=++
+-+-2313(23)(21) ……②
②－①，得n n n e T e e e e n e +-=--++
++-23
1(1)2()(21)
n n e e e e e n e +=-+++
++-23
12()(21)
n n e e e n e e
+-=-
+--12(1)
(21)1，
n n n n e e e e T e e +-+-∴=---12
(21)2(1)1(1)
， 从而n n n n e e e e S n e e +-+-=----122
(21)2(1)
1(1)
． ……13分
22．解：（1）证明：将1122
22=++=b y a x x y 代入，消去x ，得
0)1(2)(222222=-+-+a b y b y b a ①
由直线l 与椭圆Ｃ相交于两个不同的两点，得
0)1(4)1)((44222222224>-+=-+-=∆b a b a a b a b b ，
∴ 122>+b a ，所以点(a,b)在圆2
2
1x y += 外． ……6分 （2）解：设),(),(2211y x B y x A ，
由①，得 2
2222122221)
1(2b a a b y y b a b y y +-=+=+，
因为 2122y y FB AF -==，得，
所以， 2
22
222212222212)1(2y b a a b y y y b a b y y -=+-=-=+=+，， 消去2y ，得
2
2
222222)2(2)1(b a b b a a b +-=+-， 化简，得2
2
2
2
8)1)((b a b a =-+．
因F 是椭圆Ｃ的一个焦点，故1,12
2
-==a b c ， 代入上式，解得 2
7
2922==
b a ， ， 所以，椭圆Ｃ的方程为 17
2922
2=+y x ． ………13分。